淺析函數的一類“凸”性質

陳志強

摘 要： 本文結合凸函數和平方凸函數的概念，給出了N次冪凸函數的定義和判斷N次冪凸函數的三個定理.

關鍵詞： 凸函數 平方凸函數 N次冪凸函數

凸函數的重要性及其應用價值已為大家所熟知，尤其在A凸函數和平方凸函數的概念提出N次冪凸函數的概念，給出了關于對數函數的三個“凸”性質，進一步拓展了凸函數的研究領域，擴大了凸函數的應用價值，使凸函數在不等式研究中發揮更廣泛的作用.

定義：設f（x）在區間I上有定義，如果對任意x■，x■∈I，有f（■）≤■

則稱f（x）在區間I上是下凸函數；反之，則稱f（x）在區間I上是上凸函數.

拓展定義1[1]：設f（x）在區間I上有定義，如果對任意x■，x■∈I，t∈（0，1）有

f（tx■+（1-t）x■）≤tf（x■）+（1-t）f（x■）

則稱f（x）在區間I上是下凸函數；反之，則稱f（x）在區間I上是上凸函數.

一、預備知識

在引入新概念之前，我們再給出一個常用概念——平方凸函數.通過算術平均值、幾何平均值、調和平均值可以分別用來定義凸函數、幾何凸函數、調和凸函數的概念，運用這一規律，我們利用凸函數與平方凸函數的概念模式，再結合N次冪平均值，進一步建立了N次冪凸函數的概念.

定義2[2]：設f（x）是定義在區間I？哿R■上的正值函數，如果對任意x■，x■∈I，t∈（0，1）有

f（■）≤■

則稱f（x）在區間I上是平方下凸函數；反之，則稱f（x）在區間I上是平方上凸函數.

定義3：設是定義在區間I？哿R■上的正值函數，如果對任意x■，x■∈I，t∈（0，1）有

f（■）≤■

則稱f（x）在區間I上是N次冪下凸函數；反之，則稱f（x）在區間I上是N次冪上凸函數.

二、N次冪凸函數性質

我們已經給出了N次冪凸函數的概念，這里針對凸函數的特點，根據N次冪凸函數的概念，進一步研究N次冪凸函數y=f（x），其反函數、復合函數、倒數函數的凸性.

定理1：設區間1，M？哿R■，f：I→M.

（1）若y=f（x）為I上嚴格增加的N次冪下（上）凸函數，則反函數y=f■（x）為M上嚴格增加的N次冪上（下）凸函數.

（2）若y=f（x）為I上嚴格減少的N次冪下（上）凸函數，則反函數y=f■（x）為M上嚴格減少的N次冪下（上）凸函數.

證明：這里僅證定理1（1）的前一種情況，其他同理可證.

因為y=f（x）在I上為嚴格遞增函數，所以反函數y=f■（x）在M上為嚴格增函數.

任取y■，y■∈M，則存在x■，x■∈I

使x■=f■（y■），x■=f■（y■），y■=f（x■），y■=f（x■）

因為y=f（x）為I上是N次冪下凸函數，所以對任意t∈（0，1），

有f（■）≤■

即f（■）≤■？搖？搖（*）

且f（■）∈M，■∈M

又y=f（x）的反函數y=f■（x）在M上是嚴格增函數，于是（*）式化為

f■（f■）≤f■（■）

即f■（■）≥■

根據定義3及y=f■（x）在M上是嚴格增函數，可知函數y=f■（x）在區間M上是嚴格增加的N次冪上凸函數.

定理2：設f（u）是定義在區間I？哿R■上的正值函數，g：A→B，區間A？哿R■，區間B？哿I.

（1）若y=f（u）為I上嚴格增加的N次冪下（上）凸函數，u=g（x）為A上的N次冪下（上）凸函數，則y=f（g（x））為A上的N次冪下（上）凸函數.

（2）若y=f（u）為I上嚴格減少的N次冪下（上）凸函數，u=g（x）為A上的N次冪上（下）凸函數，則y=f（g（x））為A上的N次冪下（上）凸函數.

證明 這里僅證定理2（1）的前一種情況，其他同理可證.

任取x■，x■∈A，t∈（0，1）

因為u=g（x）為A上的N次冪下凸函數，則

g（■）≤■

且g（■）∈B，■∈B

又y=f（u）為I上嚴格增加的N次冪下凸函數，于是

f（g（■））≤f（■）

且f（■）≤■

故f（g（■））≤■

根據定義3，y=f（g（x））為A上的N次冪下凸函數.

定理3：設f（x）是定義在區間I？哿R■上的正值函數，若f（x）是區間I上的N次冪上凸函數，則y=■在區間I上是N次冪下凸函數.

證明：任取x■，x■∈I，t∈（0，1）

因為f（x）是區間I上的N次冪上凸函數，所以

■≤■

又由Cauchy不等式，可得

■·■≥1

于是

■≤■≤■

根據定義3，y=■在區間I上是N次冪下凸函數.

三、小結

本文利用凸函數與平方凸函數的概念模式，結合N次冪平均值，建立了N次冪凸函數的概念，給出了關于N次冪凸函數的三個性質，主要是N次冪凸函數其反函數、復合函數、倒數函數的凸性.

參考文獻：

[1]華東師范大學數學系.數學分析[M].北京：高等教育出版社，1991.197.

[2]吳善和.平方凸函數與琴生型不等式[J].自然科學.2005，26（1）：16.endprint

摘 要： 本文結合凸函數和平方凸函數的概念，給出了N次冪凸函數的定義和判斷N次冪凸函數的三個定理.

關鍵詞： 凸函數 平方凸函數 N次冪凸函數

凸函數的重要性及其應用價值已為大家所熟知，尤其在A凸函數和平方凸函數的概念提出N次冪凸函數的概念，給出了關于對數函數的三個“凸”性質，進一步拓展了凸函數的研究領域，擴大了凸函數的應用價值，使凸函數在不等式研究中發揮更廣泛的作用.

定義：設f（x）在區間I上有定義，如果對任意x■，x■∈I，有f（■）≤■

則稱f（x）在區間I上是下凸函數；反之，則稱f（x）在區間I上是上凸函數.

拓展定義1[1]：設f（x）在區間I上有定義，如果對任意x■，x■∈I，t∈（0，1）有

f（tx■+（1-t）x■）≤tf（x■）+（1-t）f（x■）

則稱f（x）在區間I上是下凸函數；反之，則稱f（x）在區間I上是上凸函數.

一、預備知識

在引入新概念之前，我們再給出一個常用概念——平方凸函數.通過算術平均值、幾何平均值、調和平均值可以分別用來定義凸函數、幾何凸函數、調和凸函數的概念，運用這一規律，我們利用凸函數與平方凸函數的概念模式，再結合N次冪平均值，進一步建立了N次冪凸函數的概念.

定義2[2]：設f（x）是定義在區間I？哿R■上的正值函數，如果對任意x■，x■∈I，t∈（0，1）有

f（■）≤■

則稱f（x）在區間I上是平方下凸函數；反之，則稱f（x）在區間I上是平方上凸函數.

定義3：設是定義在區間I？哿R■上的正值函數，如果對任意x■，x■∈I，t∈（0，1）有

f（■）≤■

則稱f（x）在區間I上是N次冪下凸函數；反之，則稱f（x）在區間I上是N次冪上凸函數.

二、N次冪凸函數性質

我們已經給出了N次冪凸函數的概念，這里針對凸函數的特點，根據N次冪凸函數的概念，進一步研究N次冪凸函數y=f（x），其反函數、復合函數、倒數函數的凸性.

定理1：設區間1，M？哿R■，f：I→M.

（1）若y=f（x）為I上嚴格增加的N次冪下（上）凸函數，則反函數y=f■（x）為M上嚴格增加的N次冪上（下）凸函數.

（2）若y=f（x）為I上嚴格減少的N次冪下（上）凸函數，則反函數y=f■（x）為M上嚴格減少的N次冪下（上）凸函數.

證明：這里僅證定理1（1）的前一種情況，其他同理可證.

因為y=f（x）在I上為嚴格遞增函數，所以反函數y=f■（x）在M上為嚴格增函數.

任取y■，y■∈M，則存在x■，x■∈I

使x■=f■（y■），x■=f■（y■），y■=f（x■），y■=f（x■）

因為y=f（x）為I上是N次冪下凸函數，所以對任意t∈（0，1），

有f（■）≤■

即f（■）≤■？搖？搖（*）

且f（■）∈M，■∈M

又y=f（x）的反函數y=f■（x）在M上是嚴格增函數，于是（*）式化為

f■（f■）≤f■（■）

即f■（■）≥■

根據定義3及y=f■（x）在M上是嚴格增函數，可知函數y=f■（x）在區間M上是嚴格增加的N次冪上凸函數.

定理2：設f（u）是定義在區間I？哿R■上的正值函數，g：A→B，區間A？哿R■，區間B？哿I.

（1）若y=f（u）為I上嚴格增加的N次冪下（上）凸函數，u=g（x）為A上的N次冪下（上）凸函數，則y=f（g（x））為A上的N次冪下（上）凸函數.

（2）若y=f（u）為I上嚴格減少的N次冪下（上）凸函數，u=g（x）為A上的N次冪上（下）凸函數，則y=f（g（x））為A上的N次冪下（上）凸函數.

證明 這里僅證定理2（1）的前一種情況，其他同理可證.

任取x■，x■∈A，t∈（0，1）

因為u=g（x）為A上的N次冪下凸函數，則

g（■）≤■

且g（■）∈B，■∈B

又y=f（u）為I上嚴格增加的N次冪下凸函數，于是

f（g（■））≤f（■）

且f（■）≤■

故f（g（■））≤■

根據定義3，y=f（g（x））為A上的N次冪下凸函數.

定理3：設f（x）是定義在區間I？哿R■上的正值函數，若f（x）是區間I上的N次冪上凸函數，則y=■在區間I上是N次冪下凸函數.

證明：任取x■，x■∈I，t∈（0，1）

因為f（x）是區間I上的N次冪上凸函數，所以

■≤■

又由Cauchy不等式，可得

■·■≥1

于是

■≤■≤■

根據定義3，y=■在區間I上是N次冪下凸函數.

三、小結

本文利用凸函數與平方凸函數的概念模式，結合N次冪平均值，建立了N次冪凸函數的概念，給出了關于N次冪凸函數的三個性質，主要是N次冪凸函數其反函數、復合函數、倒數函數的凸性.

參考文獻：

[1]華東師范大學數學系.數學分析[M].北京：高等教育出版社，1991.197.

[2]吳善和.平方凸函數與琴生型不等式[J].自然科學.2005，26（1）：16.endprint

摘 要： 本文結合凸函數和平方凸函數的概念，給出了N次冪凸函數的定義和判斷N次冪凸函數的三個定理.

關鍵詞： 凸函數 平方凸函數 N次冪凸函數

凸函數的重要性及其應用價值已為大家所熟知，尤其在A凸函數和平方凸函數的概念提出N次冪凸函數的概念，給出了關于對數函數的三個“凸”性質，進一步拓展了凸函數的研究領域，擴大了凸函數的應用價值，使凸函數在不等式研究中發揮更廣泛的作用.

定義：設f（x）在區間I上有定義，如果對任意x■，x■∈I，有f（■）≤■

則稱f（x）在區間I上是下凸函數；反之，則稱f（x）在區間I上是上凸函數.

拓展定義1[1]：設f（x）在區間I上有定義，如果對任意x■，x■∈I，t∈（0，1）有

f（tx■+（1-t）x■）≤tf（x■）+（1-t）f（x■）

則稱f（x）在區間I上是下凸函數；反之，則稱f（x）在區間I上是上凸函數.

一、預備知識

在引入新概念之前，我們再給出一個常用概念——平方凸函數.通過算術平均值、幾何平均值、調和平均值可以分別用來定義凸函數、幾何凸函數、調和凸函數的概念，運用這一規律，我們利用凸函數與平方凸函數的概念模式，再結合N次冪平均值，進一步建立了N次冪凸函數的概念.

定義2[2]：設f（x）是定義在區間I？哿R■上的正值函數，如果對任意x■，x■∈I，t∈（0，1）有

f（■）≤■

則稱f（x）在區間I上是平方下凸函數；反之，則稱f（x）在區間I上是平方上凸函數.

定義3：設是定義在區間I？哿R■上的正值函數，如果對任意x■，x■∈I，t∈（0，1）有

f（■）≤■

則稱f（x）在區間I上是N次冪下凸函數；反之，則稱f（x）在區間I上是N次冪上凸函數.

二、N次冪凸函數性質

我們已經給出了N次冪凸函數的概念，這里針對凸函數的特點，根據N次冪凸函數的概念，進一步研究N次冪凸函數y=f（x），其反函數、復合函數、倒數函數的凸性.

定理1：設區間1，M？哿R■，f：I→M.

（1）若y=f（x）為I上嚴格增加的N次冪下（上）凸函數，則反函數y=f■（x）為M上嚴格增加的N次冪上（下）凸函數.

（2）若y=f（x）為I上嚴格減少的N次冪下（上）凸函數，則反函數y=f■（x）為M上嚴格減少的N次冪下（上）凸函數.

證明：這里僅證定理1（1）的前一種情況，其他同理可證.

因為y=f（x）在I上為嚴格遞增函數，所以反函數y=f■（x）在M上為嚴格增函數.

任取y■，y■∈M，則存在x■，x■∈I

使x■=f■（y■），x■=f■（y■），y■=f（x■），y■=f（x■）

因為y=f（x）為I上是N次冪下凸函數，所以對任意t∈（0，1），

有f（■）≤■

即f（■）≤■？搖？搖（*）

且f（■）∈M，■∈M

又y=f（x）的反函數y=f■（x）在M上是嚴格增函數，于是（*）式化為

f■（f■）≤f■（■）

即f■（■）≥■

根據定義3及y=f■（x）在M上是嚴格增函數，可知函數y=f■（x）在區間M上是嚴格增加的N次冪上凸函數.

定理2：設f（u）是定義在區間I？哿R■上的正值函數，g：A→B，區間A？哿R■，區間B？哿I.

（1）若y=f（u）為I上嚴格增加的N次冪下（上）凸函數，u=g（x）為A上的N次冪下（上）凸函數，則y=f（g（x））為A上的N次冪下（上）凸函數.

（2）若y=f（u）為I上嚴格減少的N次冪下（上）凸函數，u=g（x）為A上的N次冪上（下）凸函數，則y=f（g（x））為A上的N次冪下（上）凸函數.

證明 這里僅證定理2（1）的前一種情況，其他同理可證.

任取x■，x■∈A，t∈（0，1）

因為u=g（x）為A上的N次冪下凸函數，則

g（■）≤■

且g（■）∈B，■∈B

又y=f（u）為I上嚴格增加的N次冪下凸函數，于是

f（g（■））≤f（■）

且f（■）≤■

故f（g（■））≤■

根據定義3，y=f（g（x））為A上的N次冪下凸函數.

定理3：設f（x）是定義在區間I？哿R■上的正值函數，若f（x）是區間I上的N次冪上凸函數，則y=■在區間I上是N次冪下凸函數.

證明：任取x■，x■∈I，t∈（0，1）

因為f（x）是區間I上的N次冪上凸函數，所以

■≤■

又由Cauchy不等式，可得

■·■≥1

于是

■≤■≤■

根據定義3，y=■在區間I上是N次冪下凸函數.

三、小結

本文利用凸函數與平方凸函數的概念模式，結合N次冪平均值，建立了N次冪凸函數的概念，給出了關于N次冪凸函數的三個性質，主要是N次冪凸函數其反函數、復合函數、倒數函數的凸性.

參考文獻：

[1]華東師范大學數學系.數學分析[M].北京：高等教育出版社，1991.197.

[2]吳善和.平方凸函數與琴生型不等式[J].自然科學.2005，26（1）：16.endprint