求解計(jì)及失負(fù)荷概率約束機(jī)組組合問(wèn)題的快速啟發(fā)式算法

李文啟，郭為民，楊 明，魏 強(qiáng)，程鳳璐

（1.國(guó)網(wǎng)河南省電力公司，鄭州 450052；2.國(guó)網(wǎng)河南省電力公司電力科學(xué)研究院，鄭州 450052；3.山東大學(xué)電氣工程學(xué)院，濟(jì)南 250061）

0 引言

機(jī)組組合是電力系統(tǒng)運(yùn)行調(diào)度體系中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，與在線經(jīng)濟(jì)調(diào)度相比，其對(duì)系統(tǒng)運(yùn)行經(jīng)濟(jì)性的提升效果更為顯著［1－5］。由于電力系統(tǒng)運(yùn)行中存在發(fā)、輸電設(shè)備隨機(jī)故障等不確定性因素［6－7］，在機(jī)組組合過(guò)程中配置一定的旋轉(zhuǎn)備用，是提高系統(tǒng)運(yùn)行可靠性水平的一種有效手段，但是配置過(guò)多旋轉(zhuǎn)備用可能會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)發(fā)電成本提高。因此，合理配置旋轉(zhuǎn)備用就成為學(xué)術(shù)界、工業(yè)界關(guān)注的焦點(diǎn)問(wèn)題［8－9］。

本文提出一種有效的以失負(fù)荷概率上限為約束的快速啟發(fā)式機(jī)組組合算法。該算法的特點(diǎn)在于其快速性與魯棒性，即使是含有上百臺(tái)機(jī)組的系統(tǒng)并且考慮高階故障，該算法可在較短時(shí)間內(nèi)給出最優(yōu)或次優(yōu)的但必定為可行的解算結(jié)果，從而使以失負(fù)荷概率為約束的機(jī)組組合方法在計(jì)算耗時(shí)上具有了與傳統(tǒng)確定性機(jī)組組合方法相近的優(yōu)勢(shì)，利于該類(lèi)方法在生產(chǎn)實(shí)際中的推廣應(yīng)用。

1 問(wèn)題描述

失負(fù)荷概率通常是指給定時(shí)間跨度內(nèi)由于機(jī)組故障等各類(lèi)擾動(dòng)事件造成用戶供電中斷的概率［10］。由于該指標(biāo)直接反應(yīng)系統(tǒng)運(yùn)行的可靠性，因而把它作為機(jī)組組合問(wèn)題的約束條件將比采用備用約束更加直觀與合理［11］。計(jì)及失負(fù)荷概率約束的機(jī)組組合模型可以如下描述。

決策目標(biāo)為機(jī)組包括發(fā)電及啟動(dòng)成本在內(nèi)的運(yùn)行成本最小的表達(dá)式為：

式（1）中右邊第2項(xiàng)為發(fā)電機(jī)組的啟動(dòng)成本，與停機(jī)時(shí)長(zhǎng)有關(guān)，此處采用非線性函數(shù)表示為：

式中：φi為啟動(dòng)成本中的固定成本部分；βi為冷啟動(dòng)成本，Γi為機(jī)組的熱時(shí)間常數(shù)，反映機(jī)組的冷卻速度。

尋求目標(biāo)函數(shù)最小化的過(guò)程中必須滿足如下約束條件。

功率平衡約束為：

式中：Dt為時(shí)段t的負(fù)荷需求。

發(fā)電機(jī)輸出功率上、下限約束為：

采用確定性備用配置策略的機(jī)組組合方法還規(guī)定了系統(tǒng)的最小備用需求約束（即容量約束）：

而對(duì)于以失負(fù)荷概率上限為約束的機(jī)組組合方法，系統(tǒng)最小備用需求約束式（5）將被失負(fù)荷概率約束所替代，即要求：

除上述約束外，機(jī)組組合模型還應(yīng)包括最小開(kāi)停機(jī)時(shí)間約束。由于該類(lèi)約束將在所采用的拉格朗日松弛法的單機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃階段計(jì)及，因而并不需要將其解析表達(dá)［12－13］。

上述即為對(duì)計(jì)及失負(fù)荷概率約束機(jī)組組合問(wèn)題的描述，其中，式（6）是該模型的關(guān)鍵。對(duì)于任何一種給定的機(jī)組組合方式，系統(tǒng)失負(fù)荷概率可通過(guò)構(gòu)建系統(tǒng)的發(fā)電容量停運(yùn)概率表（COPT，Capacity Outage Probability Table）進(jìn)行求取［10］。然而，由于優(yōu)化前無(wú)法預(yù)知機(jī)組的組合方式，失負(fù)荷概率函數(shù)L（u）實(shí)際上是難以事先給出的。而文獻(xiàn)［14］引入附加｛0，1｝整數(shù)變量、文獻(xiàn)［12］、［15］和［16］采用備用與失負(fù)荷概率擬合的方式，其根本出發(fā)點(diǎn)均是希望優(yōu)化前在機(jī)組啟停決策變量與失負(fù)荷概率之間建立直接的函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而可采用統(tǒng)一優(yōu)化方法進(jìn)行求解。然而，這些方法要么計(jì)算效率不高，要么無(wú)法保證解的可行性。

2 一種快速啟發(fā)式算法

2.1 總體流程

由于無(wú)法預(yù)知機(jī)組組合方式，從而確定備用與系統(tǒng)失負(fù)荷概率之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這里采用計(jì)及備用約束的常規(guī)機(jī)組組合與系統(tǒng)運(yùn)行可靠性評(píng)估迭代求解的啟發(fā)式算法。算法初始化時(shí)將系統(tǒng)在各個(gè)時(shí)段的備用需求置為零，利用拉格朗日松弛法進(jìn)行無(wú)備用約束的機(jī)組組合預(yù)決策。在此基礎(chǔ)上，根據(jù)機(jī)組組合預(yù)決策結(jié)果以及給定的最大允許失負(fù)荷概率對(duì)系統(tǒng)在各個(gè)時(shí)段的備用需求進(jìn)行估計(jì)，進(jìn)而進(jìn)入下一次計(jì)及備用約束的機(jī)組組合計(jì)算，開(kāi)始機(jī)組組合與運(yùn)行可靠性評(píng)估的迭代過(guò)程。在該過(guò)程中，當(dāng)一次機(jī)組組合計(jì)算完成后，若在線機(jī)組所能提供的備用容量無(wú)法滿足當(dāng)前機(jī)組組合方式下維持給定系統(tǒng)運(yùn)行可靠性水平所需的備用容量，則更新備用需求，重新進(jìn)行計(jì)及備用約束機(jī)組組合的計(jì)算，反之，則算法收斂，計(jì)算結(jié)束。算法總體流程如圖1所示。

2.2 計(jì)及備用約束機(jī)組組合問(wèn)題的求解

求解計(jì)及備用約束機(jī)組組合問(wèn)題是上述算法的重要組成部分，此處采用拉格朗日松弛法進(jìn)行求解。在機(jī)組組合問(wèn)題的優(yōu)化模型中，功率平衡約束與備用需求約束導(dǎo)致各機(jī)組的決策相互關(guān)聯(lián)，無(wú)法單獨(dú)進(jìn)行，而拉格朗日松弛法的求解思路便是將這兩類(lèi)約束進(jìn)行松弛，使松弛后的問(wèn)題可以對(duì)各臺(tái)機(jī)組獨(dú)立求解。

基于問(wèn)題描述部分所給出的機(jī)組組合模型，利用拉格朗日乘子對(duì)約束式（3）與約束式（5）進(jìn)行松弛，松弛后優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)為：

圖1 快速啟發(fā)式算法總體流程圖

式中：L為拉格朗日函數(shù)；λt、μt分別為功率平衡約束與備用需求約束對(duì)應(yīng)的拉格朗日乘子，其值非負(fù)。

該目標(biāo)函數(shù)在λt、μt給定時(shí)，去除對(duì)決策無(wú)影響的常數(shù)項(xiàng)后，可表示為：

由此可見(jiàn)，此目標(biāo)函數(shù)是對(duì)機(jī)組可分的。在進(jìn)行最小化該目標(biāo)函數(shù)時(shí)需遵從機(jī)組輸出功率上下限約束以及機(jī)組的最小開(kāi)停機(jī)持續(xù)時(shí)間約束。由于此兩類(lèi)約束同樣屬于單機(jī)約束，因而松弛后可對(duì)每臺(tái)機(jī)組單獨(dú)求解。

然而，對(duì)原問(wèn)題松弛后，問(wèn)題的可行域?qū)?huì)增大，因而松弛后問(wèn)題的解并不一定總在原問(wèn)題的可行域內(nèi)。如果松弛后問(wèn)題的解不在原問(wèn)題可行域內(nèi)，那么迭代過(guò)程中需增大拉格朗日乘子，加大對(duì)違背約束的懲罰力度，促使松弛后問(wèn)題的解趨向于原問(wèn)題的可行域。如果松弛后問(wèn)題的解在原問(wèn)題可行域內(nèi)，那么松弛后問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)是在原問(wèn)題目標(biāo)函數(shù)基礎(chǔ)上減去非負(fù)項(xiàng)得到的，因而，松弛后問(wèn)題的解實(shí)際上是原問(wèn)題解的下限。此時(shí)，在循環(huán)過(guò)程中，將以使式（7）值最大化為目標(biāo)更新拉格朗日乘子，此時(shí)所形成的最大最小問(wèn)題被稱(chēng)為原問(wèn)題的對(duì)偶問(wèn)題。當(dāng)對(duì)偶問(wèn)題與原問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)值之差（對(duì)偶間隙）小于給定值時(shí)，則算法收斂。

拉格朗日松弛法求解計(jì)及備用約束機(jī)組組合問(wèn)題的流程如圖2所示。各模塊具體功能及實(shí)現(xiàn)方法如下。

1）初始化 初始化部分采用優(yōu)先級(jí)表法［17］確定機(jī)組啟停初值，并在此基礎(chǔ)上通過(guò)經(jīng)濟(jì)調(diào)度程序確定乘子λt初值；乘子μt初值設(shè)為0。

2）單機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃 依據(jù)乘子λt、μt的值，對(duì)每臺(tái)機(jī)組采用動(dòng)態(tài)規(guī)劃法［17］求解松弛后問(wèn)題，得到新的啟停機(jī)計(jì)劃。

3）備用需求約束檢驗(yàn) 檢驗(yàn)新的啟停機(jī)計(jì)劃是否能夠滿足備用需求約束。

4）更新乘子μt若備用需求約束不能滿足，則需增大μt，重新進(jìn)行單機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃過(guò)程。μt更新按次梯度方向，步長(zhǎng)選擇及加速收斂的方法可參考文獻(xiàn)［13］。

5）經(jīng)濟(jì)調(diào)度計(jì)算 若備用需求約束滿足，則進(jìn)行經(jīng)濟(jì)調(diào)度，得到新的乘子λt。

6）收斂標(biāo)準(zhǔn)檢驗(yàn) 檢驗(yàn)此時(shí)原問(wèn)題與對(duì)偶問(wèn)題目標(biāo)函數(shù)的差值，若小于預(yù)設(shè)值，程序收斂。

7）重置乘子μt若收斂標(biāo)準(zhǔn)沒(méi)有達(dá)到，則將μt重新置零，合并最新得到的乘子λt，代入模塊（2）重新進(jìn)行單機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃計(jì)算。

2.3 備用需求的更新

本文算法的另一個(gè)重要部分是備用需求的更新。備用需求的更新主要包括3個(gè)環(huán)節(jié)：首先是根據(jù)當(dāng)前機(jī)組組合方式構(gòu)建發(fā)電容量停運(yùn)概率表；其次是根據(jù)給定的失負(fù)荷概率上限從發(fā)電容量停運(yùn)概率表中截取到對(duì)應(yīng)的備用需求容量；最后是對(duì)估計(jì)得到的當(dāng)前備用需求與當(dāng)前在線機(jī)組能夠提供的備用容量進(jìn)行比較，判斷程序是否收斂并形成下次迭代的備用需求容量。

發(fā)電容量停運(yùn)概率表如表1所示。其中，第一列為升序排列的系統(tǒng)可能出現(xiàn)的停運(yùn)容量；第二列為與停運(yùn)容量對(duì)應(yīng)的發(fā)生概率。

表1 發(fā)電容量停運(yùn)概率表

圖2 拉格朗日松弛法流程圖

根據(jù)發(fā)電容量停運(yùn)概率表，時(shí)段t系統(tǒng)的失負(fù)荷概率指標(biāo)Lt可表示為：

式中：Mt為時(shí)段t在線機(jī)組所對(duì)應(yīng)的發(fā)電容量停運(yùn)概率表的總行數(shù)，即系統(tǒng)可能存在的運(yùn)行狀態(tài)總數(shù)；m為狀態(tài)序號(hào)；為狀態(tài)m發(fā)生的概率；為狀態(tài)m下是否有失負(fù)荷的情況發(fā)生，有取1，無(wú)取0；Δ為狀態(tài)m下的停運(yùn)容量；Rt為系統(tǒng)在時(shí)段t的備用容量。

對(duì)于某一時(shí)段，當(dāng)機(jī)組組合方式對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)失負(fù)荷概率指標(biāo)高于給定的允許值時(shí)，說(shuō)明當(dāng)前時(shí)段在線機(jī)組所提供的備用容量無(wú)法滿足要求，機(jī)組組合應(yīng)向備用容量增多的方向發(fā)展。這里用當(dāng)前機(jī)組組合方式下滿足給定失負(fù)荷概率約束的備用容量來(lái)估計(jì)下一次迭代過(guò)程中系統(tǒng)的備用需求，將備用需求的調(diào)整步長(zhǎng)ΔRt設(shè)定為：

對(duì)于任意時(shí)段t，系統(tǒng)備用需求的更新流程如圖3所示。

3 解的可行性及最優(yōu)性

啟發(fā)式算法應(yīng)在保證解算結(jié)果的可行性同時(shí)，盡量提高解的優(yōu)化程度。本文算法的收斂條件設(shè)定為某次迭代過(guò)程中，已得機(jī)組組合方式對(duì)應(yīng)的備用容量能夠滿足此方式下根據(jù)發(fā)電容量停運(yùn)概率表以及給定的系統(tǒng)失負(fù)荷概率上限所確定的備用需求。在此條件下，如果算法收斂，那么解算結(jié)果顯然能夠滿足系統(tǒng)的失負(fù)荷概率上限約束及其他機(jī)組組合相關(guān)約束，這樣的結(jié)果當(dāng)然是可行的。

圖3 備用更新流程圖

于此同時(shí)，對(duì)于計(jì)及失負(fù)荷概率約束機(jī)組組合問(wèn)題的迭代式求解方法［11］，備用以較小步長(zhǎng)（如1MW）增長(zhǎng)無(wú)疑是較為穩(wěn)妥的，可能得到較優(yōu)的結(jié)果，但顯然此法計(jì)算效率不高。所以，在所設(shè)計(jì)的迭代算法中，直接根據(jù)當(dāng)次迭代的機(jī)組組合情況按給定失負(fù)荷概率上限求得下次迭代過(guò)程中的備用需求。這種備用方法是基于如下認(rèn)識(shí)：在相同備用條件下，機(jī)組增多會(huì)使系統(tǒng)的失負(fù)荷概率增大。實(shí)際上，在一定系統(tǒng)備用情況下，新增機(jī)組增加了系統(tǒng)發(fā)生事故的可能性，由此，在相同備用容量下必然會(huì)增加系統(tǒng)的失負(fù)荷概率。

在半對(duì)數(shù)坐標(biāo)系下，在總?cè)萘繛?44 MW的10機(jī)系統(tǒng)中相繼加入3臺(tái)容量為76 MW機(jī)組時(shí)，備用容量與失負(fù)荷概率之間的關(guān)系曲線如圖4所示。

圖4說(shuō)明了隨著新機(jī)組的加入，在任意給定的備用容量情況下系統(tǒng)的失負(fù)荷概率均會(huì)上升。因而，當(dāng)在第k次迭代過(guò)程中確定了k＋1次迭代的備用需求后，若k＋1次迭代機(jī)組組合結(jié)果有新機(jī)組投入運(yùn)行，要維持相同的失負(fù)荷概率，備用需求量一定會(huì)增加，故可以認(rèn)為第k次迭代按式（9）確定的備用需求增長(zhǎng)步長(zhǎng)是適中的。盡管如此，在采用迭代算法時(shí)，算法收斂后仍需嘗試進(jìn)行減機(jī)組操作，以防配置過(guò)多的備用容量［11，18］。減機(jī)組操作流程如圖5所示。圖5中，邊際機(jī)組按機(jī)組組合完成前最后一次經(jīng)濟(jì)調(diào)度計(jì)算得到的機(jī)組邊際成本高低排序選取。

圖4 備用容量與失負(fù)荷概率關(guān)系圖

圖5 減機(jī)組流程

4 算例分析

通過(guò)對(duì)單區(qū)域及多區(qū)域RTS-96系統(tǒng)進(jìn)行測(cè)試，可以驗(yàn)證所提方法的有效性。RTS-96系統(tǒng)中含有26臺(tái)火電機(jī)組，機(jī)組運(yùn)行特性及成本參數(shù)見(jiàn)文獻(xiàn)［19］，機(jī)組可靠性參數(shù)見(jiàn)文獻(xiàn)［20］。計(jì)算發(fā)電容量停運(yùn)概率表時(shí)，要求截?cái)嗾`差小于10－7。在單區(qū)域及多區(qū)域測(cè)試系統(tǒng)中，要保證該截?cái)嗾`差，均需考慮三階故障全部及部分的四階故障。

采用文獻(xiàn)［11］與本文方法分別對(duì)單區(qū)域RTS-96系統(tǒng)進(jìn)行機(jī)組組合計(jì)算。機(jī)組初始啟停狀態(tài)及已開(kāi)停機(jī)時(shí)間見(jiàn)表2。表2中，“＋”表示開(kāi)啟，“－”表示關(guān)閉，數(shù)字表示狀態(tài)持續(xù)時(shí)間。系統(tǒng)在24 h內(nèi)的負(fù)荷需求變化見(jiàn)表3。假設(shè)各個(gè)時(shí)段中系統(tǒng)允許的失負(fù)荷概率上限均為5×10－5。

表2 機(jī)組初始狀態(tài) h

表324 h負(fù)荷需求 MW

采用文獻(xiàn)［11］與本文方法決策得到的機(jī)組啟停計(jì)劃相同（見(jiàn)圖6）。圖6中，0表示停機(jī)，1表示開(kāi)機(jī)。在計(jì)算時(shí)間上，采用文獻(xiàn)［11］方法計(jì)算用時(shí)3516.14 s，本文方法計(jì)算用時(shí)8.37 s，計(jì)算速度提升顯著。

圖6 單區(qū)域RTS-96系統(tǒng)機(jī)組組合結(jié)果

計(jì)算效率的提升源自備用更新方法的改進(jìn)，采用本文備用更新方法，僅需進(jìn)行二次迭代。這里用第11 h的備用更新情況進(jìn)行說(shuō)明。初始時(shí)，系統(tǒng)要求的備用容量為0 MW，進(jìn)行無(wú)備用約束的機(jī)組組合計(jì)算，得到第11 h機(jī)組組合方式對(duì)應(yīng)的備用容量為96 MW。在此情況下，對(duì)系統(tǒng)可靠性進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)要將失負(fù)荷概率控制在5×10－5以下，需要備用容量為400 MW。因而，當(dāng)前系統(tǒng)的失負(fù)荷概率上限約束無(wú)法滿足，需進(jìn)行下一次迭代。在第二次迭代中常規(guī)機(jī)組組合的備用容量下限約束定為400 MW，而經(jīng)過(guò)機(jī)組組合計(jì)算所得的機(jī)組組合方式能夠提供備用容量為435 MW。此時(shí)，為滿足當(dāng)前機(jī)組組合方式下的失負(fù)荷概率上限約束，需要提供的備用容量為420 MW。由于系統(tǒng)能夠提供的備用容量大于維持系統(tǒng)運(yùn)行可靠性所需的備用容量，因而該次迭代得到的機(jī)組組合方式能夠滿足失負(fù)荷概率上限約束，程序收斂。

為進(jìn)一步檢驗(yàn)本文算法的計(jì)算效率，對(duì)2區(qū)域、3區(qū)域、4區(qū)域、6區(qū)域及8區(qū)域RTS-96系統(tǒng)進(jìn)行測(cè)試，負(fù)荷水平均參照單區(qū)域系統(tǒng)倍增。測(cè)試結(jié)果如表4所示。

表4 算法比較結(jié)果

從表4可以看出，對(duì)于各種情況，本文方法均可在較少的迭代次數(shù)內(nèi)收斂，計(jì)算時(shí)間較短，能夠滿足機(jī)組組合問(wèn)題對(duì)計(jì)算效率的要求。其中，對(duì)8區(qū)域系統(tǒng)的計(jì)算時(shí)間較對(duì)6區(qū)域系統(tǒng)的計(jì)算時(shí)間增長(zhǎng)較多，這主要是由于隨著機(jī)組數(shù)目的增多，機(jī)組組合問(wèn)題的求解時(shí)間增長(zhǎng)較為明顯。同時(shí)，由于負(fù)荷的增長(zhǎng)，在線機(jī)組的增多，使形成發(fā)電容量停運(yùn)概率表的工作量增長(zhǎng)顯著，從而導(dǎo)致較長(zhǎng)的計(jì)算時(shí)間。但盡管如此，15 min左右的計(jì)算時(shí)長(zhǎng)對(duì)于機(jī)組組合問(wèn)題而言是可以接受的。

5 結(jié)語(yǔ)

本文提出了一種求解計(jì)及失負(fù)荷概率約束機(jī)組組合問(wèn)題的新的啟發(fā)式算法。算法采用給定備用需求約束機(jī)組組合與系統(tǒng)運(yùn)行可靠性評(píng)估的迭代求解策略進(jìn)行模型求解，并在求解過(guò)程中，充分認(rèn)識(shí)到隨著在線機(jī)組數(shù)量的增多，維持相同系統(tǒng)失負(fù)荷概率所需的備用容量亦會(huì)增多這一規(guī)律。利用當(dāng)前所得機(jī)組組合信息對(duì)系統(tǒng)實(shí)際所需的備用容量進(jìn)行估計(jì)，提高了備用需求的更新速度，使算法在保持較高計(jì)算精度的同時(shí)，總體計(jì)算效率大幅提高。通過(guò)對(duì)單區(qū)域及多區(qū)域RTS-96系統(tǒng)的測(cè)試計(jì)算，驗(yàn)證了算法的有效性。

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