電力系統電壓穩定分析方法綜述

王卓欣，李禹鵬

（國網上海市電力公司浦東供電公司，上海 200122）

現代電力系統由于采用了多種控制措施（如短路快速切除、配置先進勵磁控制系統等），功角失穩事故的發生概率大為減少。由于負荷的持續增長、大功率遠距離交直流輸電的出現，電力電子裝置的廣泛運用，電壓穩定性問題已經成為威脅電力系統安全的主要問題［1］。而電力系統在某初始運行狀態下遭受擾動，通過電壓穩定性分析，可以確定系統中所有母線電壓維持在可以接收范圍內的能力［2］。

作為電壓穩定運行與控制的基礎，電壓穩定性理論得到了長足發展。雖然電壓穩定機制尚未有統一清晰的解釋［3－5］，但目前研究人員根據實際情況對分析問題做一定簡化后提出的電壓穩定分析模型，可對大多數電壓穩定問題進行解釋，并得到眾多有意義的結論。常見的電壓穩定分析方法有靈敏度法、連續潮流法、時域仿真法、小擾動法等［6］。依照電壓穩定分析是否關聯系統的動態變化特性，可將已有的方法分為靜態分析方法和動態分析方法兩大類。本文重點分析有關電壓穩定問題的數學模型，并通過分析典型的靜態分析方法和動態分析方法，為電壓穩定分析提供參考。

1 電壓穩定數學模型

根據電壓穩定性定義，可用1組微分代數方程的初值問題，描述擾動后的電壓變化軌跡，考察擾動后的電壓軌跡是否可以收斂到穩定平衡點。對于電壓穩定分析的數學描述，與暫態功角穩定分析的數學描述類似，但電壓穩定現象通常具有很長的時間跨度，所涉及到的動態元件的響應速度相差很大，因此其數學模型可表示為不同時域范圍上的微分代數方程［7］。系統的暫態和瞬時過程，可用微分代數方程表示：

式中：˙x為具有快速動態的系統狀態變量；y為可瞬時變化的系統變量；zC為具有慢速動態的系統狀態變量；zD為離散變量；p為可變參數。

系統的中長期過程，可用連續／離散時間動態方程表示：

zD（k＋1）＝hD（x，y，zC，zD（k），p） （3）

zC＝hC（x，y，zC，zD，p） （4）

式中：k為離散時間，k＝0，1，2，…。

電壓穩定分析模型特點，如表1所示。

表1 電壓穩定分析模型特點

由表1可知，式（1）至式（4）包含了研究系統電壓穩定問題的全部模型［7］，可通過研究該類微分—差分—代數方程組獲得電壓穩定性信息。顯然，這是十分困難的。在具體工作中，通常根據關注的時域范圍，忽略某些沒有必要考慮的動態過程，并根據具體的研究目的選取不同的分析方法。本文將從數學模型式（1）至式（4）出發，對現有典型電壓穩定靜態和動態分析方法進行歸納比較。

2 電壓穩定靜態分析方法

2.1 分析方法

由微分方程理論可知［4］，若式（1）至式（4）無平衡點，則系統必然發生電壓崩潰。電壓穩定靜態分析方法是將微分代數方程平衡點是否存在，作為判斷系統電壓穩定性的依據。

令

很顯然，式（1）至式（4）的平衡點，即式（5）至式（8）的解。式（5）至式（8）可簡寫為：

式中：u為除p之外所有的變量向量。

式（9）包含了電壓穩定靜態分析的所有模型，實際應用中包括常規潮流模型和各種動態元件的平衡點方程［9］。

靜態分析方法主要研究式（9）的解隨參數p的緩慢變化的狀況。實際中參數p的變化是任意的，為了研究方便，通常選取1種最有代表性的變化模式來研究。

式中：p0為初始參數向量；d為參數增長方向向量；λ為標量，表示參數向量沿指定方向的增長大小。

式（9）可進一步簡化為：

參數λ對式（11）解的影響，可表示為優化問題：

該優化問題即求解式（11）的最優解λmax，λmax被稱為靜態電壓穩定極限點，對靜態電壓穩定分析具有重要意義。對式（12）應用Kuhn-Tucker最優化條件［4］可知，靜態電壓穩定極限點處的雅可比矩陣φu為奇異陣，而各種電壓穩定靜態分析方法均建立在此結論基礎之上。

2.2 特征值分析法

根據線性代數理論，矩陣的奇異性條件之一為該矩陣有1個特征值為0。因此，可在當前運行點下將式（11）的雅克比矩陣φu進行特征值分解，找到其中模最小的特征值，該特征值的模可以表示當前運行點處雅可比矩陣的奇異程度，也就是靜態電壓穩定裕度的度量［10］。

上述方法可做進一步修改。不失一般性，以式（11）作為潮流方程為例，其在當前運行點（u，λ）處的修正方程為：

式中：ΔP為節點有功功率平衡量；ΔQ為無功功率平衡量；Δθ為電壓相角；ΔU為電壓幅值修正量。

假設ΔP＝0，得到：

式中：：＝表示“定義為”。

由文獻［6］可知，JQU和φu在包括鞍結分岔點的任何運行點處均具有相同的奇異性，因此JQU可以代替φu作為電壓穩定裕度的度量。且由JQU的定義可知，其維數約為φu的一半，因而對其進行特征值分解可節省大量時間。此外，根據文獻［10］的報道，隨著參數的增長，JQU的最小特征值，比φu的最小特征值具有更好的線性，更適合作為預測系統電壓穩定裕度的指標。

特征值分析法是很多靜態電壓穩定分析方法的基礎，具有理論分析上的價值，但由于提供信息單一，計算量較大，因而在工程實際中很少單獨使用。

2.3 模態分析法

特征值分析法只利用到矩陣φu或者JQU中距離原點最近的特征值這一信息，文獻［11，12］對特征值分析法做進一步改進。對JQU進行特征值分解：

式中：ξ為JQU的右特征向量；Λ為對角特征值矩陣；η為左特征向量。

由式（14）、式（15）可得：

由式（16）可知，JQU的特征值及其對應的右特征向量和左特征向量（模態向量），確定了相應母線的Q—U靈敏度，因此該方法被稱為模態分析法。

模態分析法［3］可以用來指明系統在當前運行條件下的相對不穩區域，在電壓穩定分析中的應用較廣泛。利用模態分析法，構造出一種指明系統電壓穩定薄弱線路和薄弱節點的指標，通過算例驗證了方法的有效性［13］。

2.4 靈敏度分析法

工程上常把U—Q曲線上某點的斜率作為該運行點下某母線電壓穩定性和電壓穩定裕度的度量。實際上，JQU逆矩陣的對角元素的值代表了相應母線處U—Q曲線在該運行點處的斜率，即該點處的U—Q靈敏度，通過其數值的正負可以判斷該母線處的電壓穩定性狀況［1］。因此，JQU的逆矩陣即最基本的靈敏度矩陣。

更一般地在式（9）的平衡點處，用η（u，p）表示任何感興趣的量，則η（u，p）相對參數p變化的靈敏度可由式（17）［4］求得：

式中：▽pη為η（u，p）在參數向量p張成的空間中的梯度場；▽uη為η（u，p）在變量向量u張成的空間中的梯度場。

當系統趨向于靜態電壓穩定極限點時，式（17）定義的靈敏度將逐漸趨于無窮大［14］，這可作為判別和監視系統靜態電壓穩定性的依據。由于靈敏度法具有嚴密的數學背景，并且意義明確，所以其在電壓穩定分析與控制方面有著比較廣泛的應用［15－20］。

2.5 連續潮流分析法

若得到式（11）的解隨著λ變化的完整軌跡，即可獲得需要的靜態電壓穩定信息，進而確定靜態電壓穩定極限點或當前運行點的靜態電壓穩定裕度。該方法經過文獻［21-23］的發展，在理論性和實用性方面均已比較完善。隨著參數λ的變化，式（11）的解會有如下兩個變化階段：

1）當參數λ從0逐漸增大，且距離靜態電壓穩定極限點尚遠時，取λ為所謂的“延拓參數”，逐步求解式（11）。

2）當平衡點距離靜態電壓穩定極限點足夠近時，式（11）的雅可比矩陣φu的病態性會逐漸增強，這時，如果繼續增大參數λ，會導致求解式（11）的牛頓迭代過程不收斂。此時，需要選取某電壓幅值變量（通常選取最小者或者減小最快者）作為延拓參數，并減小該延拓參數，求解式（11）得到下一個解點處u中除延拓參數外的余下分量以及參數λ的值。若λ開始變小，則說明運行點已經越過了靜態電壓穩定極限點。

連續潮流法可以提供許多關于靜態電壓穩定裕度的信息，但需要較長的計算時間，因此常與靈敏度法、特征值分析法結合使用［24－25］。

2.6 崩潰點分析法

在靜態電壓穩定研究中，臨界點具有重要意義。連續潮流法雖然可以得到臨界點在內的完整曲線，但由于數值計算方法的近似性，并不能直接獲得臨界點的準確值。直接求取靜態電壓臨界點時，應用牛頓法求解式（11）的“決定性系統”，得到的解即式（11）的臨界點［26］。電力系統中常用Moore-Spence方程描述“決定性系統”［27］：

式中：l為n維任意向量；v為φu（u，λ）的右特征向量。

由文獻［27，28］可知，當（u，λ，w）是式（18）的正解時，（u，λ）為式（11）的臨界點。

崩潰點分析法理論背景明確，其難點在于分析實際電力系統時方程維數較高，求解相對困難。文獻［26，29］提出了兩種降階求解式（18）的方法，應用效果良好。此外，文獻［26］指出，崩潰點法和連續潮流法結合使用，可提高連續潮流在崩潰點處的計算準確性；文獻［30，31］結合崩潰點法和連續潮流法，詳細分析了交直流混合系統的靜態電壓穩定性，取得流入良好的應用效果。

3 電壓穩定動態分析方法

3.1 數值積分法

3.1.1 暫態時域仿真

數值積分法是研究大擾動后暫態電壓穩定性的最準確實用的方法，其研究的時域范圍小于10 s，涉及到發電機機電暫態過程、勵磁系統、調速系統、快速無功補償裝置、HVDC和異步電動機的動態響應過程。

暫態時域仿真的數學模型與式（1）至式（4）類似，但不考慮參數p的緩慢變化，慢動態過程式（4）也被忽略，則暫態時域仿真數學模型變為：

顯然，暫態電壓穩定分析數學模型式（19）、式（20）與暫態功角穩定分析數學模型完全一致。因此，可以使用相同的數值積分方法，對暫態電壓穩定問題進行時域仿真分析。但在暫態電壓穩定分析中，發電機勵磁［18］、快速無功補償裝置［32］以及負荷的動態特性［33－35］與電壓穩定性密切相關，因此在使用暫態功角穩定分析程序進行暫態電壓穩定分析時，需要格外注意以上三種動態模型的建立。總體來說，基于數值積分的時域仿真法，目前仍是暫態電壓穩定研究中應用最廣泛的方法。

3.1.2 中長期時域仿真

許多影響電壓穩定性的系統元件的響應時間會持續數分鐘，歷史上的電壓崩潰事故也證實了這一點。典型的影響中長期電壓穩定的因素有投切電容器、勵磁限制、有載調壓變壓器、負荷恢復特性等。此外，影響暫態電壓穩定性的發電機等因素，對中長期電壓穩定性也會產生影響。因此，完整的中長期電壓穩定分析研究對象，包括式（1）至式（4）描述的短期、長期、離散以及連續動態變化過程。

在基于數值積分方法的中長期時域仿真中，需把離散變量作為連續變量處理［36］，即把式（1）至式（4）中的離散長期變量zD和連續長期變量zC，用連續長期變量z統一表示；離散長期過程hD和連續長期過程hC，用連續長期過程h統一表示。這樣，式（1）至式（4）變為：

式中：x為快動態過程狀態變量；y為代數變量；z為慢動態過程的狀態變量。

式（21）至式（23）包含了快動態過程和慢動態過程，因而該模型為剛性系統。剛性系統仿真中的步長有3種處理方法［3，12，36－39］：一是采用足夠小的步長進行數值積分；二是在快動態過程結束后加大積分步長；三是根據系統行為自動調整步長。第1種方法與暫態穩定分析方法沒有區別，后兩種方法中變量的變化率可作為調整步長的判據。由于加大了步長，需采用隱式積分法保證數值穩定性，并且需采用微分代數方程聯立求解，以保證收斂性。

文獻［40-42］對基于數值積分法的中長期電壓穩定時域仿真的求解方法和建模要求進行了論述，并通過算例分析進行驗證。目前，用于中長期時域仿真的系統建模，仍需要更深入的研究［43］。

3.1.3 準穩態長期時域仿真法

采用數值積分法求解微分代數方程，即式（21）至式（23），可對大擾動后的中長期電壓穩定性進行精確分析，但該方法計算時間較長，難以考慮參數連續增長和離散動作元件對系統的影響。而在分析中長期電壓穩定性問題時，相比于慢動態過程，快動態過程會很快結束。因此，可以把短期動態方程式（1）用平衡點方程式（5）表示，以提高計算速度。長期時域仿真準穩態法［7］的數學模型為：

應用準穩態方法處理快動態過程的合理性，可參見文獻［4，6］。準穩態長期時域仿真原理示意圖，如圖1所示。

圖1給出了應用準穩態法得到的擾動后連續3個步長范圍內的時域仿真曲線［14］。其中，縱坐標表示某條母線的電壓幅值；h表示時間步長；點A到A′、B到B′的變化，由通常代表LTC和發電機過勵磁限制動作的離散動態過程式（25）引起；點A′到B、B′到C的變化，由表示負荷慢速恢復特性［8］的長期連續動態過程式（26），或者系統參數隨時間的緩慢變化引起。圖1中各點的計算流程如圖2所示。

文獻［7，17，18，44］應用該方法對標準算例和實際電力系統算例進行分析，結果表明在進行中長期電壓穩定分析時，準穩態方法的精度滿足要求，并且計算速度較快。但文獻［14］指出，使用該方法需要注意兩方面問題：一是擾動較大時，準穩態方法可能會忽略短期的電壓不穩定過程，為此文獻［14］推薦，在暫態時域內采用數值積分求解式（1）至式（2），在快動態過程消失后采用準穩態方法求解式（1）至式（4）；二是系統發生電壓崩潰時，可能會導致暫態方程式（1）不存在平衡點，此時將無法使用準穩態方法進行分析，但在實際應用中，電壓崩潰之后的系統電壓穩定性，通常是沒有實際意義和研究價值的。

3.2 基于微分方程定性理論的小擾動分析方法

時域仿真方法研究大擾動后的電壓穩定性非常有效，而對于系統平衡點附近的小擾動穩定性可采用微分方程定性理論進行分析，通過研究微分方程解的一般性質來進行分析。研究平衡點處的小擾動穩定性，不需要考慮式（1）至式（4）中參數p的影響，一般認為離散動態元件不動作。因此，小擾動穩定性研究的數學模型與式（21）至式（23）完全一致。在大多數情況下，非線性微分代數方程組，即式（21）至式（23）的一次線性近似系統，可用來研究原系統在平衡點處的局部性質，此時可應用成熟的線性系統理論進行分析。

一次線性近似系統可表示為：

式中：Δ為相應變量的擾動量；方程左側為各變量擾動量對時間的變化率；系數矩陣中的各分量為式（21）至式（23）對各變量的偏導數。

電壓穩定問題涉及時間范圍通常較寬［1］，同時涉及到幾乎所有的電力系統機電和機械動態過程。如果對所有動態元件建立模型并進行線性化，則會帶來極大的分析難度。因而，如何根據研究目的建立盡可能簡化、又能準確反映系統動態過程的模型，成為小擾動分析的關鍵［45］。

嚴格來說，即使研究局部性質時，一次線性近似系統也不是總能替代原系統。文獻［46］指出，只有系統雙曲平衡點（該平衡點處的1階線性系統的系數矩陣沒有虛軸上的特征值）附近的局部穩定性，才可以由線性化方法來分析，而對于系統的非雙曲平衡點，則需要采用中心流形理論［47］來分析其局部穩定性。

3.3 基于分岔理論的電壓穩定動態分析方法

歷史上電壓失穩事故表明，隨著系統某些參數緩慢變化，系統電壓可能會出現突然崩潰現象［48］，該現象可用分岔理論來分析。

對式（1）至式（4），不考慮離散變量（或將離散變量連續化），并把描述快動態過程和慢動態過程的微分方程用統一的微分方程~f（·）表示，則應用分岔理論分析電壓穩定的數學模型為：

應用一次線性近似系統描述上述模型可得：

假設gy非奇異，則可消去Δy，進而可得：

根據現有研究成果［14］，在單參數微分代數方程式（28）至式（29）中，存在3種分岔現象。

1）鞍結點分岔 在鞍結分岔點，1對平衡點重合并消失。該分岔現象對應于母線電壓的快速崩潰，在電壓失穩中經常出現。式（28）至式（29）所述系統，處于鞍結分岔點的判別條件為Fx奇異。實際上，鞍結點分岔屬于靜態分岔范疇。

2）Hopf分岔 在Hopf分岔點處，Fx的1對共軛特征值穿越虛軸。該分岔對應于系統的振蕩失穩。文獻［27，28］詳細分析一般形式單參數微分系統Hopf分岔的理論基礎和計算方法；文獻［46］對電力系統中Hopf分岔的計算和應用做了全面的總結。

3）奇異誘導分岔 在奇異誘導分岔點處，式（32）中矩陣gy奇異。文獻［49］給出了電力系統奇異誘導分岔點的完整計算方法；文獻［50］對電力系統奇異誘導分岔現象進行了深入研究。

研究表明，分岔理論可以深刻解釋電壓失穩機理，但由于電力系統的高度復雜性，分岔理論尚不能作為分析系統電壓穩定性的工程實用方法。

4 電壓穩定分析方法的模型演化

在電壓穩定數學模型式（1）至式（4）的基礎上，根據不同研究目的，并且在計算精度和速度之間進行取舍，可對原模型進行不同程度的簡化，進而得到許多具有使用價值的電壓穩定分析方法。電壓穩定分析數學模型演化示意圖如圖3所示。

由圖3可以看出，分析電力系統電壓穩定問題所采用的各種實用方法，均可以歸結為對非線性微分—代數系統的研究。當研究系統參數緩慢變化下的系統行為時，可只關注微分—代數系統的平衡點條件，進而研究對象轉化為非線性代數方程；當研究小擾動下的系統行為時，可對原非線性微分代數系統進行線性化，把研究對象轉化為線性微分方程；當研究大擾動下的系統行為時，可使用數值積分方法求解非線性微分代數方程，對系統進行時域仿真分析。

圖3將現有的電壓穩定分析方法歸納于一個統一的數學框架中，有利于分析具體問題時選取合適的數學工具，并為發展新的電壓穩定分析方法以及利用數學理論探索電壓穩定機理提供有利條件。

圖3 電壓穩定分析數學模型演化示意圖

5 結論

本文在統一的數學模型框架內對各種電壓穩定靜態分析方法和動態分析方法的理論基礎、數學模型、物理意義和適用范圍進行了分析。

電壓穩定靜態分析方法中，特征值分析法和靈敏度法可以得到度量當前運行點下靜態電壓穩定裕度的指標；連續潮流法可以得到系統電壓隨負荷增長的完整曲線；崩潰點法可以準確快速得到該曲線上的轉折點，二者可以結合使用。從理論上說，靜態分析方法研究的是系統動態方程的平衡點存在性問題，只能給出電壓穩定的必要條件，但由于靜態分析方法簡單快速，因此得到廣泛應用。

電壓穩定動態分析方法是深入理解電壓穩定機理和進行電壓穩定控制的重要基礎和工具。其中，時域仿真法方法成熟、結果精確，是進行離線分析和驗證控制效果的必要工具；小擾動分析法具有完整的理論基礎，但在電壓穩定模型的建立和提高計算速度方面仍有發展空間；分岔分析法具有嚴格的非線性系統理論基礎，可以分析電壓穩定的動力學本質，溝通靜態分析方法和動態分析方法，但不適合分析實際電力系統的電壓穩定問題。

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