平移不變小波變換在遙測數據去噪中的應用

摘 要： 有效去除遙測數據中的噪聲，對數據的正確判讀和后續處理具有重要意義。通過對遙測數據進行研究，為抑制去噪時在信號奇異點處產生的偽吉布斯現象，采用平移不變小波去噪處理遙測數據。針對傳統小波閾值函數存在的缺陷，采用新閾值函數的平移不變法改善降噪效果。仿真結果表明，平移不變小波變換去噪方法提高了信噪比，降低了均方根誤差，證明了該方法的有效性。

關鍵詞： 小波閾值； 遙測數據； 去噪； 平移不變； 偽吉布斯現象

中圖分類號： TN911.7?34 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2014）01?0008?03

0 引 言

飛行器的遙測數據反映了其工作環境和各系統各部件的工作狀態，記錄飛行過程中的重要數據，對于判斷飛行器是否正常，以及分析各種異常現象有著重要作用[1]。由于環境影響，實際得到的遙測數據不可避免的受到噪聲污染，這對數據的正確判讀和后續處理造成困難。

隨著小波技術逐漸成熟，小波變換在遙測數據處理領域得到廣泛應用[2?3]。小波閾值去噪[4?6]因其計算簡單應用最為廣泛，但閾值去噪過程中在信號的奇異點處會產生偽吉布斯現象，平移不變小波變換可以有效去除偽吉布斯現象。針對軟硬閾值函數的不足，本文試圖采用一種新閾值函數，結合平移不變算法，得到一種基于新閾值的平移不變去噪算法對遙測數據進行去噪處理。通過仿真實驗證明了平移不變小波去噪在遙測數據處理中的有效性。

1 平移不變小波去噪

1.1 Donoho小波閾值去噪

Donoho小波閾值去噪[7?8]是D.L.Donoho在小波變換的基礎上提出的，小波變換能將信號的能量集中于少數小波系數上，而白噪聲在任何正交基上的變換仍是白噪聲，并且幅度相同。相對來說，經過小波變換，信號的小波系數必定大于能量分散、幅值較小的噪聲的小波系數。因此，選擇一個合適的閾值，對小波系數進行閾值處理，就可以去除噪聲且保留有用信號。

假設一個疊加了高斯白噪聲的有限長信號：

[x（i）=s（i）+n（i）， i=1，2，…，N] （1）

式中：[s（i）]為原始信號；[x（i）]為含噪信號；[n（i）]為高斯白噪聲；[N]為信號長度。利用Donoho小波閾值去噪，其步驟如下：

（1） 作離散小波變換

選擇合適的小波和分解層數[J，]將[x（i）]運用式（2）進行小波分解至第[J]層；得到相應的小波分解系數，其中[wx（j，k）]，[ws（j，k）]，[wn（j，k）]分別是含噪信號、原始信號、噪聲在第[j]層上的小波系數。

[wx（j，k）=ws（j，k）+wn（j，k）， j=0，1，2，…，J；k=0，1，2，…，N] （2）

（2） 進行閾值處理

對分解得到的小波系數用閾值處理， D. L. Donoho提出的硬、軟函數分別如式（3），式（4）所示：

[wj，k=sgn（wj，k）（wj，k-λ），wj，k≥λ0，wj，k<λ] （3）

[wj，k=wj，k，wj，k≥λ0，wj，k<λ] （4）

式中：[sgn（?）]為符號函數，閾值[λ=σ2logN，]硬、軟閾值函數的示意圖如圖1所示。

圖1 硬、軟閾值函數示意圖

（3） 進行小波逆變換

用小波逆變換將經閾值處理過的小波系數[w（j，k）]重構，得到去噪后的信號[s（i），i=1，2，…，N。]

1.2 平移不變小波變換

平移不變量[9?12]小波去噪法是閾值去噪法的改進。傳統的小波閾值去噪法在信號的奇異點處會產生偽吉布斯現象，平移不變小波去噪能有效解決這一問題。實際表明，平移不變小波去噪不但能夠有效的抑制偽吉布斯現象，并且較傳統閾值法，平移不變小波去噪得到了更高的信噪比和更小的均方根誤差。

平移不變小波去噪方法是將含噪信號在一定范圍內循環平移，對每次循環平移得到的信號做離散小波變換并完成閾值去噪處理，進行逆循環平移并對每次平移去噪后的結果進行平均。[N]次循環平移的平移不變小波去噪用公式表達為：

[T（x，（Sh）h∈H）=Aveh∈HS-h（T（Sh（x）））] （5）

式中：[Sh]為在時域對信號[x]進行平移，位移為[h1≤h≤N]，[h]為正整數；[T]為對信號進行閾值法去噪處理；[S-h=（Sh）-1]是對信號進行位移為[h]的逆平移；[Ave]為平均運算。

2 新閾值的平移不變小波去噪

軟硬閾值法能得到原始信號的近似最優估計，且計算速度快，因而在實際中得到了廣泛的應用。但當信號中存在奇異點時，硬閾值函數在[λ]和[-λ]處的不連續性會導致偽吉布斯現象；軟閾值函數法雖然連續性好，得到結果相對平滑，但對大于閾值的小波系數（[wj，k≥λ]）采取恒定值壓縮，導致信號的估計值與實際值總是存在恒定偏差。針對軟、硬閾值函數去噪算法中存在的缺陷，文獻[13]提出了一種新的閾值函數，其函數表達式為：

[fnewx=sgnxx-λexpx-λλ，x≥λ0，x<λ] （6）

在[x<λ]內，小波系數全被置零，這與傳統閾值法一致，在[x≥λ]時，采用在一定范圍內緩變壓縮，壓縮量逐漸減小，大于這個范圍不進行壓縮處理的方法。新閾值函數以[wj，k=wj，k]為漸近線，隨著[wj，k]的增大，[wj，k]逐漸接近[wj，k]，這個性質使得新閾值函數克服了軟閾值函數中[wj，k]與[wj，k]存在恒定偏差的缺點。當[x]非常接近[λ]時，小波系數不是直接被置零，而是漸進為零，使得函數在點[x=λ]處連續。本文應用該閾值的平移不變小波去噪方法對遙測數據進行去噪處理，改善了去噪效果。

3 仿真實驗

3.1 降噪效果評價標準

為了比較不同去噪方法性能的優劣，引入信噪比（SNR）、均方根誤差（RMSE）兩個參數，分別定義如下：

[SNR=10logi=1Nx2（i）i=1Nx（i）-x（i）2， i=1，2，…，N] （7）

[RMSE=1Ni=1Nx（i）-x（i）2， i=1，2，…，N] （8）

式中：[x（i）]為原始信號；[x（i）]為去噪后的信號。對某一含噪信號[x（i）]去噪，得到的信號信噪比（SNR）越大，均方根誤差（RMSE）越小，則去噪效果越好。

3.2 仿真實驗及性能分析

根據遙測信號的變化特性，模擬出信噪比為5的遙測信號，視覺上該信號被噪聲污染嚴重，不易讀出信號電平值，并且信號中含有較多的奇異點，不利于后續數據處理和應用。應用Matlab 2012a，選用“Haar”小波，分別采用硬閾值函數法、軟閾值函數法、新閾值函數法和基于新閾值函數的平移不變法對其進行小波去噪仿真比較，仿真結果如圖2所示。

圖2 各種算法去噪結果比較

根據降噪效果的評價標準，采用4種方法去噪后的效果比較如表1所示。

表1 信噪比為5的遙測信號4種降噪方法效果比較

[去噪方法＼硬閾值＼軟閾值＼改進閾值＼新閾值平移不變＼SNR＼22.965 7＼21.786 6＼31.567 9＼32.773 5＼RMSE＼0.303 7＼0.347 9＼0.112 8＼0.098 2＼]

從仿真結果可以看出，改進閾值平移不變去噪法較其他三種方法提高了信噪比，降低了均方根誤差，有效抑制了閾值去噪在信號奇異點處產生的偽吉布斯現象。較好去噪效果的獲得是以犧牲更多的計算時間為代價的，對于采樣點數為[n]的信號，普通閾值去噪法的計算量為[On，]平移不變小波變換去噪方法的計算量為[Onlog2 n。]雖然平移不變法小波去噪相比閾值法去噪計算量較大，但目前的數據處理系統足夠滿足該計算量要求。

4 結 語

平移不變小波去噪方法應用于信號去噪可以有效抑制信號奇異點處產生的偽吉布斯現象。用新閾值函數代替傳統閾值函數，結合平移不變小波變換，得到基于新閾值函數的平移不變小波去噪方法更加改善了去噪效果，將其應用于遙測數據的去噪處理，得到較好的去噪效果。這對遙測數據的處理具有實用價值。

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