粒子濾波算法在多傳感器測量中的應用

摘 要： 目標跟蹤是粒子濾波算法在處理非線性問題的一種典型應用，但由于在線處理能力或傳輸條件的限制，實際應用中往往無法對多個傳感器數(shù)據(jù)同時處理。據(jù)此，給出了一種基于多傳感器選優(yōu)的粒子濾波算法。假設每個時刻可以處理一個測量數(shù)據(jù)，該算法先采用加權的概率密度函數(shù)來評價每個傳感器獲得的測量值，并用粒子濾波對概率密度函數(shù)的加權進行實時更新，基于最大熵標準來選取最優(yōu)測量數(shù)據(jù)進行處理。同時，最大熵標準保證了最優(yōu)似然函數(shù)分布最寬，從而緩解粒子衰竭問題。通過數(shù)值仿真實驗證明，該算法可以選擇最優(yōu)觀測數(shù)據(jù)進行處理，有效降低多傳感器測量中粒子濾波在線實時處理性能的要求，也較好地緩解了粒子濾波的“衰竭”問題。

關鍵詞： 粒子濾波； 最大熵； 傳感器選擇； 粒子衰竭

中圖分類號： TN911.6?34 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2014）01?0024?03

0 引 言

隨著計算機性能的大幅度提升，以貝葉斯理論為基礎的粒子濾波算法為非線性問題的解析解決提供了一條重要途徑，目標跟蹤則是其在非線性模型跟蹤中的一個典型應用。在很多工程實踐中，大規(guī)模分布式傳感器有利于提高跟蹤精度，由于在線處理能力或傳輸條件的限制，使得數(shù)據(jù)往往不能在線實時處理。此外，粒子的退化現(xiàn)象嚴重制約了粒子濾波算法的發(fā)展，直到重采樣思想的提出，解決了粒子退化問題，粒子濾波才迅速發(fā)展起來。重采樣為了獲得一個相對集中的后驗概率分布，將權重低的采樣點用權重高的點來替換，但這樣卻易導致了“粒子衰竭”現(xiàn)象的出現(xiàn)，即在濾波過程中只將少數(shù)幾個甚至一個粒子進行復制，使得用于描述后驗概率密度的粒子不充分，限制了算法追蹤某些具有極低權值的狀態(tài)的能力。

據(jù)此，本文提出了一種多傳感器選優(yōu)的粒子濾波算法。該方法可以有效地利用多個觀測值，根據(jù)狀態(tài)向量離散分布的最大熵標準，選擇一個最優(yōu)觀測數(shù)據(jù)進行處理。一方面大大降低了實際應用對粒子濾波在線實時處理性能的要求，另一方面，最大熵標準也較好地緩解了“粒子衰竭”問題。

1 粒子濾波算法

粒子濾波在計算上常采用序貫蒙特卡洛方法來實現(xiàn)，即用一組隨機或已知某種分布的樣本來描述估計量的概率分布，再根據(jù)得到的測量值，通過重要性函數(shù)對各樣本點的權值大小進行調(diào)整，以該帶權值的樣本序列來逼近真實的后驗概率分布，從而序貫更新狀態(tài)。

假定系統(tǒng)狀態(tài)空間模型如下（分別是狀態(tài)方程和測量方程）：

[xt=fxt-1+εt-1yt=hxt+νt] （1）

其中，狀態(tài)模型[f·]和觀測模型[h·]都是已知的且可以為非線性系統(tǒng)，[εt-1]和[νt]為互不相關的過程噪聲和測量噪聲。狀態(tài)方程反映了系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率[p（xtxt-1）]，測量方程則反映了似然概率[p（ytxt）。]用[Xt=x1，x2，…，xt，][Yt=y1，y2，…，yt]分別表示[t]時刻的狀態(tài)序列和觀測值序列。

在此模型的基礎上，為了獲得后驗概率密度[p（xtyt），]粒子數(shù)量為[N]的序貫蒙特卡洛算法可以分為以下步驟：

（1） 初始化：在[t=0]時刻，對[i=1，2，…，N]采樣[xi0～][px0]，其中[px0]為先驗概率。

（2） 重要性采樣：根據(jù)觀測值序列確定重要性函數(shù)[qxtxit-1，y1：t]，然后進行重要性采樣：

[xit～qxtxit-1，y1：t]

（3） 根據(jù)采樣結(jié)果調(diào)整權值，并歸一化：

[ωik=ωik-1pytxitpxitxit-1qxitxit-1，y1：tωit=ωitj=1Nωjt] （2）

（4） 重新采樣：根據(jù)歸一化后的權值[ωit]對粒子進行優(yōu)劣替換，得到更接近后驗分布的樣本[xit]。

（5） 經(jīng)過反復逼近，估計量的后驗概率分布可以表示為：

[pxty1：t≈i=1Nωitδxt-xitj=1Nωjt] （3）

由于不依賴于平穩(wěn)和高斯的假想，粒子濾波對處理非平穩(wěn)非高斯問題有較好的效果。

2 多傳感器選優(yōu)的粒子濾波算法

從粒子濾波算法中可知，似然函數(shù)[p（ytxit）]是基于測量噪聲的概率密度函數(shù)[pvt]，其一般為窄帶分布。同時，粒子值[xit]，[i=1，2，…，N]是依賴于過程噪聲概率密度函數(shù)[pεt-1]。如果[pεt-1]分布較寬，用于生成預測結(jié)果[p（ytxit）]的預測值[h（xit）]也將服從一個較寬的分布，從而導致式（2）得出的權值趨于不均勻，即大多數(shù)權值接近零，而極少數(shù)接近觀測值的粒子將賦予非常大的權值。K.Diriakidis在高斯分布下對類似情況進行了證明[1]。這樣，在重采樣環(huán)節(jié)，只有極少數(shù)權值大的粒子被選擇作為新的粒子供下輪使用。

此外，假設有兩個粒子[xi1t，][xi2t，]根據(jù)中值定理，其在測量空間中的距離可以通過式（4）計算：

[ht（xi1t）-ht（xi2t）=?ht（ηt）（xi1t-xi2t）] （4）

其中[ηt]是連接[xi1t]和[xi1t]線段上的點，則對[?ht]的范數(shù)有較小敏感度的觀測值可以更好地緩解粒子衰竭。

在多傳感器情況下，觀測空間[yt∈Rm]可以描述為：

[yk=Y1，t?YM，t=h1，t（xt）?hM，t（xt）+vt] （5）

式中：[Y1，t∈Rm1，…，YM，t∈RmM]為分解的若干個子空間。狀態(tài)向量[xt]可以通過任意一個子系統(tǒng)[yt∈Rm1]觀測到。

如引言所述，由于傳輸或者在線處理的限制，假設單位時刻只有一個子空間的數(shù)據(jù)將會被用于計算并估計狀態(tài)向量。為了緩解粒子衰竭，在蒙特卡洛計算中應減少權值接近零的粒子數(shù)，確保中等權值的粒子數(shù)最多。

基于似然函數(shù)的分布分析，為了保證有足夠多中等權值的粒子，所選傳感器子系統(tǒng)[Ys，t]的后驗概率密度函數(shù)[p（xtyt，s，Yt-1）]應該有一個緩的峰。換句話說，從緩解“粒子衰竭”的角度，最佳傳感器子系統(tǒng)可以產(chǎn)生一個最寬邊的后驗概率分布。后驗分布的寬度可以采用有條件熵測量，如下：

[Hxtyt，s，Yt-1=E-log p（xtyt，s，Yt-1）yt，s，Yt-1] （6）

式中：[E]表示數(shù)學期望；[s=1，2，…，M]表示子空間的個數(shù)。

近似蒙特卡洛方法的離散原理，式（6）可以寫成以下形式：

[Hxtyt，s，Yt-1=-j=1Nwsj，tlogwsj，t] （7）

其中[wsj，t]表示基于第[s]個傳感器子系統(tǒng)計算出的權值。而有最寬概率分布（最大熵）的傳感器可通過下面標準得出：

[maxsH（xtyt，s，Yt-1）] （8）

最大熵標準選擇出的傳感器子系統(tǒng)，對[?ht]的范數(shù)有較弱的敏感性，從而保證狀態(tài)變量是一個寬分布。

3 仿真實驗

為了檢驗本文方法的有效性，選擇以下經(jīng)典仿真算例，其狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為：

[xt=xt-12+25xt-11+x2t-1+8cos（1.2t）+vt-1] （9）

假設通過兩個傳感器進行測量，其觀測方程分別為：

[yt，1=（xt）220+vt，1] （10）

[yt，2=（xt）220+vt，2] （11）

令觀測噪聲均為零均值的高斯噪聲，且其相關矩陣滿足：

[Q=2000.2]

因為噪聲影響的不同，[y1]的干擾量為[y2]的10倍。根據(jù)本文和最大熵標準，易知第二個傳感器應該被選為最優(yōu)子系統(tǒng)。

首先給出狀態(tài)隨時間變化的關系，如圖1所示。圖2，圖3分別是兩個傳感器（子系統(tǒng)）得到的觀測數(shù)據(jù)。

圖1 狀態(tài)空間隨時間變化關系

圖2 第一路傳感器得到觀測隨時間變化

設定初始粒子數(shù)為200，對兩路觀測分別用粒子濾波進行狀態(tài)空間的估計，結(jié)果見圖4和圖5。從結(jié)果中可以看出，最優(yōu)子系統(tǒng)的估計結(jié)果明顯優(yōu)于噪聲影響更大的測量回路（估計值與原始狀態(tài)的差異）。而經(jīng)本文提出的算法以及最大熵標準計算可知，在傳感器子系統(tǒng)1和2的選擇中，最大熵標準得到的平均值為1.9。進一步給出最優(yōu)回路估計過程中，離散分布的粒子數(shù)隨時間變化曲線如圖6所示，可以看出離散分布的粒子隨著狀態(tài)估計并沒有明顯的收斂趨勢，本文方法對粒子濾波的“衰竭”問題有著良好的緩解作用。

圖3 第二路傳感器得到觀測隨時間變化

圖4 第一路子系統(tǒng)狀態(tài)估計結(jié)果

圖5 第二路子系統(tǒng)狀態(tài)估計結(jié)果

圖6 最優(yōu)傳感器估計中離散粒子數(shù)目的變化趨勢

4 結(jié) 論

通過[H（xtyt，s，Yt-1）]和[?ht]之間數(shù)學關系的建立，本文給出了一種基于粒子濾波的多傳感器數(shù)據(jù)選優(yōu)、在線處理算法。從理論分析和仿真實驗驗證，該算法不僅有效實現(xiàn)了選優(yōu)在線計算，并且較好地緩解了“粒子衰竭”問題。本文對于解決粒子濾波的“衰竭”問題以及多傳感器目標跟蹤、信息融合等領域有著潛在的理論和工程實用價值。

參考文獻

[1] KIRIAKIDIS K. Nonlinear modeling by interpolation between linear dynamics and its application in control [J]. Journal of Dynamic Systems Measurement and Control?transactions of The Asme， 2007， 129（6）： 813?824.

[2] 楊可，傅忠謙，王劍亭，等.多目標濾波中的多傳感器概率假設密度算法[J].電子與信息學報，2012，34（6）：1368?1373.

[3] 宋強，熊偉，何友.多傳感器多目標系統(tǒng)誤差融合估計算法[J].北京航空航天大學學報，2012，38（6）：835?840.

[4] OSHMAN Y. Optimal sensor selection strategy for discrete?time state estimators [J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems， 1994， 30（2）： 307?314.

[5] ARULAMPALAM M S， MASKELL S， GORDON N， et al. A tutorial on particle filters for online nonlinear/non?Gaussian Bayesian tracking [J]. IEEE Transactions on Signal Processing， 2002， 50（2）： 174?188.

[6] ZHENG Hua， PEI Cheng?ming， LIU Dong?lai. Efficient frequencies estimation using bayesian approach for parsimonious time?varying auto?regressions [C]// Proceedings of the 2010 2nd International Conference on Future Computer and Communication. Wuhan， China： ICFCC， 2010， 2： 489?493.