一種新型離散指數混沌映射的實現及其研究

摘 要： 針對Logistic映射參數簡單、混沌區間范圍小的缺點，提出一種新型的離散指數混沌映射。通過引入指數項和增加參數個數，進而擴大映射的混沌區間。利用常規的動力學分析方法，對指數混沌映射進行了動力學特性分析，包括Lyapunov指數圖、分岔圖等。在此基礎上，對Logistic映射和離散指數混沌映射進行了特性比較。最后對由該離散混沌映射產生的序列進行NIST測試，測試結果表明序列性能更良好。

關鍵詞： 指數混沌； Logistic映射； 動力學特性； 序列性能分析

中圖分類號： TN918?34 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2014）01?0083?03

0 引 言

混沌信號應用于保密通信，是目前信息安全研究領域的熱點之一[1?3]。考慮到模擬混沌系統在通信中同步不易實現，并且離散混沌系統有著運算簡單速度快的特性，可以選用離散混沌映射應用于保密通信中。

1976年，生物學家R. May在《Nature》發表論文，提出了Logistic映射。它向人們表明簡單的確定論數學模型竟然也可以產生看似隨機的行為。在Logistic映射提出后，許多專家學者對其進行了研究。但是Logistic映射存在參數少，并且混沌區間范圍較小的缺點，這就導致Logistic映射產生的偽隨機序列用于加密時的密鑰空間小。

為了克服Logistic映射的上述缺陷，本文提出了一個新的一維離散指數混沌映射，并對該映射進行了基本動力學特性分析，包括Lyapunov指數圖和分岔圖等。最后對由該映射產生的混沌偽隨機序列進行NIST測試，測試結果表明序列隨機性能良好。

1 指數混沌映射的構造

一維離散混沌映射主要以Logistic映射為代表，該方程是一個具有重要意義的非線性迭代方程，具體表示如下：

[xn+1=μxn（1-xn）=μxn-μx2n， 0≤μ≤4，xn∈[0，1]] （1）

當[μ=4]時，映射稱為滿映射。為了研究滿映射的情況，將方程（1）拆分為一個線性項和一個二次曲線項，令[y1=4x，y2=4x2，]則[y1-y2]代表的是[MN]線段的長度，也就是映射的迭代值，且[MN][∈][0，1]，如圖1（a）所示。線段[MN]在[x=]0和[x=1]處的長度均為0，代表映射過（0，0）和（1，0）點。[MN]與[MN]代表不同的迭代值。

在Logistic映射的基礎上，通過引入指數項和二次曲線項，構造如下離散混沌方程：

[xn+1=exn-a（xn-b）2+c] （2）

類比以上方法，令[y1=ex，][y2=a（x-b）2-c，][MN]代表映射的迭代值，如圖1（b）所示。令[y=ex-a（x-b）2+c，]則對[y]求導得[y′=ex-2a（x-b）。]假設[MN]線段在[x=0]和[x=1]處長度都為0，即映射過（0，0）和（1，0）兩點，并且取[x]值時映射值為1。因此可以得到以下方程組：

[1-ab2+c=0e-a（1-b）2+c=0ex-2a（x-b）=0ex-a（x-b）2+c=1] （3）