基于分數階Fourier變換的雷達目標檢測算法

黃桂根 李 品 丁 堅

(南京電子技術研究所 南京 210013)

0 引言

線性調頻(LFM)信號是現代雷達系統中常用的一種大時寬-帶寬積信號，基于匹配濾波的數字脈壓方法是LFM 信號經典的信號處理方法。

當前，隨著雷達作用距離越來越大，在進行脈壓時所需處理的數據量也大幅度增加，使得信號處理的實時性面臨挑戰;另一方面，地面或大型艦載雷達工作模式越來越多，要求雷達系統在不同的工作模式下采用不同參數的LFN 信號，從而要求信號處理設備能夠存儲多種匹配濾波器系數(時域或頻域系數)，所需的硬件資源增加。

由于分數階Fourier 變換對LFM 信號具有獨特的能量聚斂性質［1］，本文探索性的提出了一種基于分數階Fourier 變換的雷達目標檢測算法，通過與經典的數字脈壓方法對比，分析了這種方法的優勢及其不足，對后續需要進一步開展研究的問題進行了探討。

1 分數階Fourier 變換定義［4 ～6］

分數傅里葉變換FRFT，也稱為角度傅里葉變換(AFT)或者旋轉傅里葉變換(RFT)，其定義式為:

其中P為FRFT 的階，可以為任意實數，α=Pπ/2，n為整數。FRFT 變換的核為:

變換核對階次(角度)α 是完全連續的。我們稱變換后的XP(u)為時域信號x(t)在旋轉角度為α 的u域的表達。

FRFT 是一種線性算子，記為FP。FP具備以下性質［1］:

零度旋轉對應信號自身:F0= I;

旋轉角度α=π/2，即變換階次P=1 時，對應普通Fourier 變換FT:F1= F;

FP為加性算子:FP1FP2= FP1+FP2;

FP具有周期性:FP= FP+4k，k 為整數，即對應α 以2π 為周期，由于這一性質，后面的分析僅限于α 的一個周期[-π，π] 內進行。

2 分數階Fourier 變換對LFM 信號的聚斂

根據分數階Fourier 變換的逆變換公式［1］:

可知，信號x(t)的分數階 Fourier 變換XP(u)可解釋為x(t)在以逆變換核K-P(t，u)為基的函數空間上的展開，而該核是u域上的一組正交的Chirp 基，此即為分數階Fourier 變換的Chirp 基分解特性。因此一個Chirp 信號在適當的分數階Fourier 域(即旋轉一定α 角度的u域)中將表現為一個沖擊函數，即分數階Fourier 變換在某個分數階Fourier 域中對給定的Chirp 信號具有最好的能量聚斂特性。這種聚斂性對分析和處理Chirp 信號，如檢測Chirp 信號和估計Chirp 信號參數具有很好的作用。

圖1 為FRFT 對Chirp 信號的聚斂仿真結果。圖中Chirp 信號參數為:時寬為32μs，帶寬為4MHz，采樣率為4MHz，零中頻。

圖1 FRFT 對Chirp 信號聚斂的示意圖

由文獻［1］及上面的分析可知，任意確定參數的Chirp 信號，其調制斜率對應于u域內范圍內的唯一旋轉角度αK值，進行分數階Fourier 變換時，如果旋轉角度取:

則Chirp 信號將在u域出現能量聚斂，如圖2所示。

圖2 Chirp 信號在u 域聚斂時的旋轉角度

2．1 分數階Fourier 變換實現單目標檢測

實際目標回波存在一定的占空比，如圖3所示，圖中輸入SNR 為0dB，雷達探測量程為60km，目標距離為15km，其它仿真參數與圖1 相同，后面的仿真均以這一組參數進行，不再贅述。為了統一表述，本文中的圖例橫坐標均為采樣點數。

圖3 FRFT 實現單目標檢測仿真

通過對單目標回波分數階Fourier 變換的Monte-Carlo 仿真過程中，還可以得到以下結論:

a.在其它參數確定后，僅目標距離發生改變時，回波信號在u域聚斂所需旋轉的角度α(對應FRFT變換時的階次P)不會發生改變。這一結論為多個目標的搜索、檢測提供了可能性;

b.標距離與聚斂后u域距離具有一一對應關系。

2．2 分數階Fourier 變換實現多目標檢測

如圖4所示為根據(3)式進行旋轉聚斂，雷達探測距離上存在四個目標時，聚斂后的幅度與Chirp信號的時域波形。

圖4 FRFT 實現單目標檢測仿真

需要指出的是，當時域信號通過分數階Fourier變換至u域后，量綱發生了變化［6］，在u域的目標距離與目標真實距離為非線性的一一對應關系。如果要得到目標的真實距離，則在u域獲得目標的距離值后，需要進行距離修正，修正后的距離方為目標的真實距離值。

2．3 目標距離修正

由于u域與時域為非線性的對應關系，且此一關系難以得到顯性表達式，為此，我們采用系數修正的方法進行目標的距離修正。具體的方法是:先通過仿真得到u域每一距離點所需的距離修正系數，在回波聚斂的u域進行目標檢測和測距，得到目標在u域的距離值，該距離值乘以其對應的距離修正系數，即可得到目標的真實距離值。

圖5 為前面的仿真參數所對應的一組距離修正系數值。

圖5 距離修正系數

3 與傳統脈壓的對比分析及下一步要完善的工作

為了說明基于分數階Fourier 變換目標檢測方法的性能，通過Monte-Carlo 仿真，將FRFT 方法與傳統脈壓算法的性能進行對比。在相同的輸入SNR 條件下，對比分析兩種目標檢測方法的檢測SNR。

如表1所示為基于分數階Fourier 變換目標檢測方法與傳統匹配脈壓方法的檢測性能對比結果，仿真結果為100 次取平均。由表1 可見，基于分數階Fourier 變換目標檢測方法的性能稍遜于經典的匹配濾波脈壓方法，但差距小于0.5dB。圖6 為其中的一次仿真結果。

表1 FRFT 脈壓與傳統脈壓的檢測性能對比

圖6 輸入SNR=-6dB 時FRFT 聚斂與數字脈壓結果

仿真過程中，發現基于分數階Fourier 變換的目標檢測結果，主副瓣比與未加窗的傳統脈壓一致。但是，經典的基于匹配濾波的數字脈壓方法可以通過匹配濾波器加窗的方法實現抑制副瓣，用于分數階Fourier 變換目標檢測的抑制副瓣措施目前沒有找到好的辦法，這有待于后續的工作中進行研究。

4 結束語

由于分數階Fourier 變換對LFM 信號具有獨特的能量聚斂性質，本文探索性的提出了一種基于分數階Fourier 變換的雷達目標檢測方法。由于可以直接u域進行目標檢測、測距和距離修正，不需要存儲匹配濾波器系數，不同參數的LFM 信號，僅需要存儲一個對應能量聚斂時的旋轉角度α 值;且不要逆變換返回時域。相較于傳統的脈壓算法，該方法在存儲空間和運算量等方面都有一定的提升潛力。有必要針對其不足之處開展進一步的研究。

［1］陶然，齊林，王越，分數階Fourier 變換的原理及應用［M］.北京:清華大學出版社，2004.

［2］Haldun M.Ozaktas，Orhan Arikan，M.Alper Kutay and Gozde Bozdagi，Digital Computation of the Fractional Fourier Transform［J］.IEEE Transaction on Signal Processing，1996，44(9):2141-2150.

［3］龐存鎖，劉磊，單濤，基于短時分數階傅里葉變換的時頻分析方法，電子學報，2014，42(2):347-352.

［4］Luis B.Almeida.The fractional fourier and time-frequency representations［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，1994，42(11):3084-3091.

［5］Cagatay Candan，M.Alper and Haldun M.Ozaktas.The Discrete Fractional Fourier Transform［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2000，48(5):1329-1337.

［6］平先軍，陶然，周思永等.一種新的分數階傅里葉變換快速算法［J］.電子學報，2001，29(3):406-408.

［7］趙興浩，鄧兵，陶然.分數階傅里葉變換數值計算中的量綱歸一化［J］.北京理工大學學報，2005.25(4):360-364.

［8］敦鵬，竺小松，張富通.RFRFT 域非均勻采樣信號重構算法研究，電子信息對抗技術，2013，28(6):14-17.