一種處理Cole-Cole色散媒質的FDTD改進方案

劉廣東， 張開銀， 范士民

（阜陽師范學院物理與電子科學學院，阜陽 236037）

一種處理Cole-Cole色散媒質的FDTD改進方案

劉廣東， 張開銀， 范士民

（阜陽師范學院物理與電子科學學院，阜陽 236037）

對柯爾－柯爾（Cole-Cole）色散媒質的時域有限差分（FDTD）方案嘗試給出改進：（1）保留了Cole-Cole經驗公式中的靜態電導率項；（2）擴展到三維情形；（3）人體乳房組織的模型參數源于實驗測量.數值算例結果初步證實改進方案的可行性和有效性.改進方案適用于模擬更一般柯爾－柯爾色散媒質中的電波傳播.

時域有限差分方法；色散媒質；柯爾－柯爾模型

0 引言

時域有限差分（finite-difference time-domain，FDTD）方法首次由Yee于1966年提出［1－2］，近年來已發展成為模擬電波傳播的常用工具之一［3－4］.研究表明：生物肌體組織、土壤、巖石、水、等離子體和雷達吸波材料等諸多媒質是頻率相關的，一般稱為色散媒質［5－6］.自然地，應用FDTD方法處理色散媒質的電磁問題近幾年來引起了較多的關注［7－12］.對于色散媒質，德拜（Debye）、洛倫茲（Lorentz）、德魯（Drude）和柯爾－柯爾（Cole-Cole）等著名的模型被廣泛應用于描述其電參數隨頻率的變化關系［7－8］.為了處理前三種色散媒質的電磁問題，魏兵等人已提出一種通用的FDTD方案［7］.生物電磁頻譜特性是生物醫學工程領域的基本問題.實驗測量結果顯示：相比Debye、Lorentz等色散關系，Cole-Cole經驗公式最適合建模生物組織的電磁特性［5］.

然而，不同于前三種媒質，差分分數階導數是FDTD法模擬Cole-Cole媒質電波傳播所面臨的主要困難［9］.對此，已有兩類處理方法：①是Debye近似法，它們需要求解非線性優化問題，不僅耗時，而且容易陷入局部最優［13］；②是Rekanos等人提出的帕德（Padé）近似法，由分數階導數導出一組整數階輔助微分方程（auxiliary differential equations，ADEs），便于直接實現FDTD方案［9］.近年來，Rekanos等人忽略建模Cole-Cole色散媒質的經驗公式中的靜態電導率項，在此基礎上，提出了一種FDTD實現方案，并利用假設的模型參數進行了一維（one-dimensional，1－D）數值試驗，仿真結果顯示該方案理論上是可行性的，還指出有望成為建模生物組織電波傳播的一種實用工具［9］.不過，筆者認為，該方案在推廣應用之前，還有不少問題值得探討，如：①根據實驗測量數據擬合Cole-Cole模型參數中，一般含有靜態電導率項［5］，如何利用這些參數；②針對真實測量數據的仿真性能；③高維情形.

為了更準確地表征Cole-Cole色散媒質的電磁頻譜特性，本文改進Rekanos等人的工作［8－9］，保留Cole-Cole經驗公式中的靜態電導率項，得到一種適用于三維（three-dimensional，3－D）單極或多極、無耗或有耗Cole-Cole色散媒質的FDTD一般實現方案.數值算例中，利用文獻［3］中的來自實驗測量的人體乳房組織Cole-Cole模型參數，檢驗了改進方案的性能.

1 輔助微分方程（ADEs）

描述多極Cole-Cole色散媒質空間r點電參數的經驗公式為［5］

這里，第w極的相對介電常數之差為Δεw＝εs，w－ε∞．

利用帕德近似，可以將（1）式轉換為［14］

其中，系數A、B的具體形式和計算方法參見文獻［9］和［14］，M和N為Padé多形式的階數.數值計算表明：①M＝N是最佳選擇（下文統一記為N）；②階數越高，計算精度越高，復雜度也越高；③當N＝4時，已經可以獲得滿意的計算精度，本文也取這一結果.這樣，（4）式可以簡化為

（3）式的第w極的電極化強度Pw相應地轉化為［14］

對（6）式應用傅里葉（Fourier）逆變換，可以得到一組（W個）時域輔助微分方程為

其中，w＝1，2，…，W，Pw為第w極的時域電極化強度，E為時域電場.這些輔助微分方程由于包含整數階時間導數，便于通過有限差分實現離散化.

2 時域有限差分（FDTD）方案

設Cole-Cole色散媒質的導磁系數與頻率無關，相對磁導率為μr.結合（2）式，可以得到該媒質中的時域麥克斯韋（Maxwell）方程組為

其中，μ0為自由空間磁導率.

為了方便描述離散化時域矢量F，引入記號

其中，Δt為時間步長.這樣，F（適用于Pw和E）的n階偏導數的中心差分近似為［14］

其中，n＝0，1，2，3，4，ln＝「n／2」表示對n／2上取整，例如，當偏導數的階數n＝2時，l2＝1，此時m可能取－1、0、1三個值，相應的三個中心差分參數（、、）分別取1.0、－2.0、1.0，類似地，中心差分參數見表1所示.

假定已知iΔt時刻的Pw、E和（i＋1／2）Δt時刻的H，分別差分式（7）、（8），引入輔助變量，經過一些計算、整理，Cole-Cole色散介質中FDTD隨時間的推進步驟可簡述如下：

1）計算輔助矢量Φw其中［14］

這里，w＝1，2，…，W，ν＝max｛2｜m｜－1，0｝．

2）更新（i＋1）Δt時刻的電場E

3）更新（i＋1）Δt時刻的電極化強度Pw

4）更新（i＋3／2）Δt時刻的磁場H

總結起來，上述FDTD方案的時間步進流程如圖1所示.

3 數值算例

由于Cole-Cole模型比Debye、Lorentz等模型更適合描述生物組織電參數的色散特性，對生物組織的FDTD方案可能應用到乳腺癌早期檢測等微波醫學成像領域［8－10，13－14］.本文的數值算例選擇人體乳房組織來檢測上述FDTD改進方案的性能.假設各組織的相對磁導率為μr＝1．0．乳房各組織的Cole-Cole模型的電參數取自文獻［5］，它們是通過擬合實驗測量數據獲得，極數取W＝4，各參數具體取值如表2所示.

本文仿真的激勵源選取超寬帶（ultra-wideband，UWB）調制高斯脈沖［15］其中， ＝100 ps，t0＝4 ，中心頻率fc＝3.2 GHz.激勵源的波形及頻譜如圖2所示.可見，該激勵源主要包含了10 MHz～10 GHz的頻譜范圍.在此范圍內，各乳房組織的電參數隨頻率的變化關系如圖3所示.可見，乳房各組織是頻率相關的，色散效應對FDTD建模的精度有重要影響，不同生物組織的色散特性不盡相同.

3.1 一維（1－D）算例

為了檢驗上述FDTD方案仿真電磁波在一維（1－D）真實Cole-Cole媒質中的傳播，假設有均勻脂類乳房組織充滿z≥0的空間.

其中，f、f分別為頻率的上下限.在10 MHz～10 GHz的寬頻下，圖4分別給出、的實部和負虛部的對比

HL情況，其相對均方誤差e（）＝2.1%．可見，通過Padé近似來克服差分分數階導數的困難是合理的.

研究發現：早期乳腺腫瘤尺寸一般在毫米（mm）數量級［15］，這里取FDTD網格尺寸Δz＝1 mm，時間步長Δt＝Δz／（2c0），c0為自由空間光速.采用（16）式所示的調制高斯脈沖激勵沿z軸正方向傳播且沿x方向極化的平面波.仿真區域右側采用最簡單的吸收邊界條件，即Ex（zmax，t＋Δt）＝Ex（zmax－Δz，t）．

仿真期間，分別記下Cole-Cole媒質中任意相鄰兩個網格的時域電場Ex（z，t）和Ex（z＋Δz，t）．仿真結束后，接著處理這些時域電場：①通過傅里葉變換獲得相應頻域電場（z，ω）和（z＋Δz，ω）；②分別按照文獻［9］的式（34）和（35）計算復波數γ（ω）的實部γRe和虛部γIm；③根據下式計算復相對介電常數的FDTD估計值

3.2 三維（3－D）算例

為了驗證上述方案的高維性能，在三維（3－D）直角坐標系下，取如圖6所示的簡單癌變半球狀乳房模型［15］，其中乳房半球半徑50 mm，皮膚層厚2 mm，胸壁厚30 mm，兩個球狀腫瘤1和2的半徑均為3 mm，腫瘤1的中心坐標分別為x1＝50 mm、y1＝50 mm和z1＝50 mm，腫瘤2的中心坐標分別為x2＝70 mm、y2＝70 mm和z2＝50 mm.

發射陣列天線取最簡單的情形，只有一根天線元，放置于乳房頂部正上方5 mm.接收天線陣列對稱放置在乳房中部、平行于胸壁的圓周上，由前后左右4個天線元組成，各天線元距離乳房皮膚層5 mm.產生的后向散射信號被它們同時接收.本文中，忽略了對各天線元具體形狀的建模，即視為發射和接收點.為了抑制皮膚層的反射，設乳房模型浸在電參數為εr＝9.0和σ＝0.0 S·m－1的非色散匹配液體中［15］.

FDTD網格尺寸取為Δ＝1 mm×1 mm×1 mm，時間采樣步長為Δt＝Δ／（2·c0）．由于計算區域的最外側是常規的非色散媒質，主FDTD區域周圍用8層分裂場完美匹配層（perfectly matched layer，PML）吸收邊界截斷［1－2］.微波輻照總時間設為3 ns，按照圖1所示的計算流程，仿真并存儲接4個接收天線的電場分布.其中，各天線記錄的0.7 ns～1.7 ns時間段的電場分量Ez如圖7所示.

由圖7可見，來自皮膚層的散射場的幅度明顯強于腫瘤散射幅度，這嚴重抑制了腫瘤信息的獲取，為此，再次仿真了無腫瘤存在時的電場分布，通過作差法［16］提取腫瘤的0.7 ns～3.0 ns時間段和1.4 ns～1.5 ns時間段的電場分量分別如圖8和圖9所示.相比之下，較淺層的腫瘤1的散射場到達較早，且幅度較強，此外，還存在多重散射.

另外，與幾何模型相對應，在第二個納秒瞬間，通過腫瘤1和2中心的x-y橫截面、通過腫瘤1中心的x-z橫截面和通過腫瘤2中心的y-z橫截面上歸一化的電場分量Ez幅度分布的快照分別如圖10～圖12所示.為了便于比較，圖中附加的黑色圓周示意真實腫瘤的輪廓.

綜合以上仿真結果發現：1）盡管乳房各組織是有耗媒質，若能有效抑制皮膚層的強散射（例如使用匹配液體［15］），來自腫瘤的微弱散射信號仍然可被檢測；2）借助適當的算法（例如共焦成像［16］），腫瘤的尺寸、位置等信息可以被提取；3）本文的FDTD改進方案對模擬3－D乳房組織中的電波傳播是可行的.

4 結論

改進了Rekanos等人的FDTD方案.改進后的方案適用于模擬一般的Cole-Cole色散媒質中的電波傳播，媒質可以是一維或多維的，可以是單極或多極的，可以是無耗或有耗的.一維和三維的初步數值結果顯示：在UWB的頻譜范圍，該方案具有易實現和較高的數值精度.這為應用到微波醫學成像等領域奠定了基礎.當然，該方案的可行性和魯棒性還需經歷高級模型、其它媒質、噪聲影響等因素的檢驗，此類問題將另文討論.

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A Modified FDTD Scheme for Wave Propagation in General Cole-Cole Dispersive Media

LIU Guangdong，ZHANG Kaiyin，FAN Shimin
（College of Physical and Electronic Science，Fuyang Teachers College，Fuyang 236037，China）

For finite-difference time-domain（FDTD）scheme in simulation of electromagnetic wave propagation in Cole-Cole dispersive media.Several improvements are made：（1）preserving a term with static ionic conductivity in Cole-Cole model，which is fit for real Cole-Cole media；（2）extending to three-dimensional（3-D）case；（3）selecting parameters of human breast tissues from experiment.Feasibility and validity of the scheme is preliminarily demonstrated by numerical examples.The modified scheme is propitious to wave propagation in general Cole-Cole dispersive media.

finite-difference time-domain（FDTD）method；frequency-dependent media；Cole-Cole model

date： 2013－06－29；Revised date： 2013－10－11

O441.4

A

1001-246X（2014）03-0363-09

2013－06－29；

2013－10－11

國家自然科學基金（61071022，51271059）、安徽省自然科學基金（1308085MA13）、安徽省科技計劃項目（12010302080）和阜陽師范學院重點基金（2011FSKJ01ZD）資助項目

劉廣東（1972－），男，江蘇灌云，博士，副教授，研究方向為電磁散射和逆散射，E-mail：liu_guang_dong＠126.com