獨立學院高等數學教學中融入數學實驗的實踐

李繁榮 LI Fan-rong；崔艷英 CUI Yan-ying

（北京工業大學耿丹學院，北京 101301）

（Gengdan Institute of Beijing University of Technology，Beijing 101301，China）

1 獨立學院高等數學教改的思路

獨立學院作為“未來我國高等教育發展的有力補充”，增加了民眾接受高等教育的機會（大批精英教育時期上不了大學的學生也可以接受高等教育），其確立了應用型而非學術型人才的培養目標。目前，獨立學院高等數學課程的教學大多借鑒甚至照搬一本或二本院校的模式。但針對發生了根本改變的學生現狀，教育內容和教育方法迫切需要改變。

高等數學是一門抽象的學科，依靠邏輯而不是觀測結果作為其真理的標準，但同時也使用觀測、模擬的手段作為發現真理的手段[1]。“學習任何東西，最好的途徑是自己去發現”（G·波利亞）。在“大眾本科教育”的理念下，基于獨立學院的人才培養目標，本院采取了應用Matlab，在高等數學中融入數學實驗的教學改革。在重點介紹基本概念、基本思想、基本方法的前提下，實現數學軟件Matlab與高等數學內容的整合，利用Matlab強大的圖形繪制功能，將難以講解說明的數學規律顯現出來，舍去一些繁瑣、冗長的數學結論、定理的理論證明，代之以實驗的方法去驗證，并利用數學軟件Matlab的計算功能弱化運算的技能技巧。

2 應用Matlab，在高等數學中融入數學實驗的意義

應用Matlab的圖形繪制功能，可以使得高等數學教學中過去用很長時間很難理解的問題變得直觀、容易，而且親身經歷式的數學實驗使得數學的學習不再那么枯燥乏味，不再是被動的吸收而是主動的獲取[2]，更好地發揮了數學實驗在高等數學學習中的優勢，重塑了學生學習數學的信心，有效地激發了學生的學習興趣；利用數學軟件matlab在實驗室進行高等數學的教學，讓學生借助計算機去探索數學問題，形成一定的數學素養，從而在實踐、實習、畢業設計等實踐環節中自覺地運用數學，提高了學生應用數學的能力，有助于完成應用型人才的培養目標，提高應用型人才的綜合素質。同時也將全面提高教師的教學水平和綜合能力。

3 教學實例

多元函數微積分學一直是高等數學課程中重要而又非常難以掌握的部分，學生理解起來總存在很大的閑難，究其原因，主要是空間想象能力有限，在教學時為了加深學生對知識點的深刻認識，可以利用Matlab強大的圖形繪制功能，繪制出三維曲面圖形，從而能夠讓同學們直觀的認識多元函數，克服心理和知識上的困難。下面以多元函數極值內容為例，簡述怎樣應用Matlab將數學實驗融入高等數學的教學。

實驗1：例1、運用Matlab繪制三個二次曲面圖形。

①z=x2+y2②z=- x2+y2

得到如圖1所示。

圖1

讓學生分析三個函數在點P（0，0）的函數值與點P領域內其他點函數值的大小關系，再結合一元函數極值的概念，推廣出二元函數極值的概念，老師再給出嚴謹的定義。

思考題：怎么找出所有的極值點？

一元函數極值點的特征：極值點 駐點或不可導點。

實驗2：分析二元函數在極值點的偏導數

在Matlab命令窗口運行

圖2

從圖2可以看到當y固定在y=0時，函數①z=x2+0=x2和都是以x為自變量，z為應變量的一元函數，圖形為兩條曲線，二元函數的極值點分別是這兩個一元函數的極值點，得到：函數①z=x2+y2在極值點P（0，0）有（0，0）=0，函數在極值點 P（0，0）對x的偏導數不存在，再讓學生自己動手分析出：函數①z=x2+y2在極值點 P（0，0）有（0，0）=0，函數在極值點P（0，0）對y的偏導數不存在。再讓學生分析函數③z=xy 在點 P（0，0）的偏導數，得到=0。最后歸納總結出類似于一元函數極值的結論：極值點 駐點或偏導數不存在的點，并得到求二元函數極值的步驟如下：

第二步判別所有可疑的極值點是否為極值點。

思考題：對于駐點或偏導數不存在的點怎么判別其是否為極值點？有同學回答可以從圖形上直接觀察判斷。

例2、設z=x4-8xy+2y2-3，求f（x，y）的極值點和極值。

求得三個駐點，分別是 P（-2，-4），Q（0，0），R（2，4）。

在Matlab命令窗口運行

可見在圖3中不容易觀測極值點，這是因為z的取值范圍為[-200，1000]，是一幅遠景圖，局部信息丟失較多，觀測不到圖像細節。

實驗3、分析例1中三個函數在點（0，0）附近的等高線：①z=x2+y2（圖4）

圖3

contour(x,y,z,20)%參數20是等高線的數量

③z=xy（圖 6）

圖4

圖5

圖6

圖7

引導學生分析總結出：在兩個極值點附近，等高線是封閉的；非極值點附近，等高線不封閉。由此得到從圖形上判斷可疑的極值點是否為極值點的方法。

讓學生動手畫出例2中函數的等高線（圖7）。

由圖 7 可見，點 P（-2，-4）和 R（2，4）有等高線環繞，隨著圖形灰度的逐漸變淺，函數值逐漸減小，點P（-2，-4）和 R（2，4）均為極小值點，而點 Q（0，0）周圍沒有等高線環繞，不是極值點。最后再介紹一下極值點的充分條件定理，感興趣的同學可以課后自學。

通過對以上內容的學習，學生在實驗過程中直觀、深入地了解了二元函數極值的概念和求二元函數極值的方法，同時提高了學生學習興趣和動手能力。在高等數學的教學中融入數學實驗，運用數學軟件matlab深入淺出地將數學中的概念、定理介紹給學生，讓學生真正理解并熟練運用它們解決實際問題，是一種有效提高學生學習興趣和動手能力，反過來促進他們理解數學概念、定理的教學方法。

[1]美國國家研究委員會.人人關心數學教育的未來[M].世界圖書發行公司,1993.

[2]畢義明,郝琳.論大學數學實驗的內容與實現方法[J].實驗室研究與探索,2005,24（7）∶62-64.

[3]姜啟源等編著,蕭樹鐵主編.數學實驗[M].高等教育出版社,1999.