凸輪軸疲勞及瞬態(tài)動力學特性研究

劉功文 郝志勇 張慶輝 鄭 康 王連生

（浙江大學）

1 前言

在配氣機構運行過程中凸輪軸主要承受氣門彈簧反作用力、氣門動態(tài)沖擊力及從動件等部件的摩擦及阻力矩等。這些激勵源會使配氣機構產生不規(guī)則的振動與沖擊，增加機構中運動件與固定件之間的撞擊次數和強度。隨著發(fā)動機轉速的提高，在這些周期性變化的載荷作用下，凸輪軸易發(fā)生疲勞斷裂的現(xiàn)象。因此，對凸輪軸開展相關強度與疲勞的研究工作具有一定的意義。

文獻[1]采用裂解建模方法對凸輪軸進行了疲勞斷裂的理論預測；文獻[2～4]對某斷裂的凸輪軸通過有限元模型或顯微觀察分析了其強度特性；文獻[5～6]對凸輪軸進行有限元疲勞計算。目前的工作都存在有限元模型缺少驗證、導入軸段各方向力和力矩載荷不全及研究內容多集中在材料選取或金相顯微分析等方面。

本文基于動力學理論對某凸輪軸建立一維仿真模型，得到凸輪軸各段質量點的力和力矩等數據，對凸輪軸進行模態(tài)試驗且與有限元結果進行對比，根據實際情況在凸輪軸有限元模型中依次加入載荷及位移約束，以進行三維瞬態(tài)有限元強度分析，獲得凸輪軸的應力分布情況，并以有限元仿真結果作為輸入對凸輪軸進行疲勞仿真分析。

2 模型動力學及疲勞理論

2.1 動力學理論

以多體系統(tǒng)動力學理論中的拉格朗日方程法為理論基礎，建立多體動力學的數學模型方程[7]。對于機構中的剛體i采用質心在慣性參考系中的笛卡爾坐標（3個移動和3個轉動方向變量）和反映剛體方位的歐拉角或廣義歐拉角作為廣義坐標，即：

接著建立系統(tǒng)的約束方程和作用力方程，并將其寫成廣義坐標的表達式，最后應用拉格朗日乘子法建立系統(tǒng)的運動微分方程：

式中，T為系統(tǒng)動能；q為系統(tǒng)廣義坐標陣列；Q為廣義力列陣；ρ為對應于完整約束的拉氏乘子列陣；u為對應于非完整約束的拉氏乘子列陣；φ（q，t）=0為完整約束方程；θ（q，q˙，t）=0 為非完整約束方程。

將完整約束方程和非完整約束方程寫成更一般的形式：

式中，u˙為廣義速度陣列；λ為約束反力及作用力矩陣；F為系統(tǒng)動力學微分方程；G為用戶定義的微分方程；φ為描述約束的代數方程陣列。

對于一維動力學計算，其基本思路是將各零部件等效成集中質量M、彈簧K和阻尼C系統(tǒng)組成動力學方程并求解，則可得到系統(tǒng)中物體上任意點在系統(tǒng)運動過程中的受力、運動位移及速度等數據。

2.2 疲勞分析理論

疲勞分析通過雨流計數法得到應力歷程的雨流矩陣，再根據Miner線性累積損傷理論對結構的疲勞強度計算。

Miner作出如下假設[8]：試樣所吸收的能量達到極限值時產生疲勞破壞。基于這一假設，若破壞前可吸收的能量極限值為W，破壞前的總循環(huán)數為N，在某一循環(huán)數n1時試樣吸收的能量為W1，由于試樣吸收的能量與其循環(huán)數間存在正比關系，則有：

若試樣的加載歷史由 σ1、σ2、…、σl的 l個不同應力水平構成，各應力水平下的疲勞壽命依次為N1、N2、…、Nl，各應力水平下的循環(huán)數依次為 n1、n2、…、nl，則損傷為：

當損傷為1時試樣吸收的能量達到極限值W，試樣發(fā)生疲勞破壞。當臨界損傷和為不等于1的其它常數時，稱為修正Miner法則，其數學表達式為：

3 凸輪軸多體動力學模型

3.1 配氣機構結構

該柴油機的配氣機構由凸輪、平面挺柱、挺桿、搖臂、氣門彈簧、上下氣門彈簧座、氣門及氣門鎖夾等零部件構成，其采用側置式凸輪軸結構。

3.實事求是的求真價值。解放思想、實事求是，是我國經濟發(fā)展的源動力。小崗人當年發(fā)起的大包干就是為了改變當時生產力落后、生產關系僵化的現(xiàn)實，改變當時不切實際、浮夸成風、農民生活困頓的現(xiàn)實。新時代，實事求是的求真價值仍是我國社會經濟改革的壓艙石，一定要徹底脫離教條主義、經驗主義和主觀主義的桎梏，要立足實際，因地制宜，合理定位，擯棄“一刀切”“形而上”簡單粗暴的工作作風，踏準節(jié)奏，腳踏實地地將改革進行到底。

3.2 模型參數的確定

模型的基本技術參數如表1所列。模型中需要設置的質量參數有挺柱單元質量、氣門單元質量、彈簧單元質量等，其均可利用軟件計算獲得；凸輪型線數據由給定的凸輪軸圖紙得到；缸內壓力曲線由試驗測得；各零部件剛度由有限元軟件計算得到；零部件之間的相對阻尼等采用經驗值[9]；除了施加穩(wěn)態(tài)轉速激勵外，還考慮曲軸前端的轉速波動載荷，該機曲軸已經過優(yōu)化，添加橡膠扭振減振器后衰減了波動幅值。圖1所示為優(yōu)化后的曲軸前端在額定工況3 400 r/min時的轉速波動曲線。

表1 模型基本參數

3.3 動力學仿真建模

建立凸輪軸動力學模型，其中X向為凸輪軸的旋轉方向，Y向為水平方向，Z向為垂向方向。模型分為2部分，一部分是凸輪軸軸段部分，該部分主要模擬配氣機構的動力學特性，提供氣門正時開閉的驅動力；另一部分是氣門結構，包括凸輪、挺桿、氣門彈簧、上下氣門彈簧座及搖臂等零部件。

力學計算時將各部分視為彈性體，根據作用在系統(tǒng)中各構件的彈性關系，考慮運動特性中的阻尼、氣門間隙、變形等各種因素，同時模型考慮凸輪軸沿軸線旋轉和軸向平動，計入軸段徑向軸承及止推軸承的彈性支承剛度，用非線性的彈簧阻尼來模擬。計算工況采用該柴油機的額定工況轉速3400r/min，建立氣門運動方程[10]，求解凸輪軸各軸段的受力和扭矩。

3.4 凸輪軸激勵

通過該動力學計算可以獲得凸輪軸在額定轉速下承受的動態(tài)載荷，其主要為動態(tài)受力、動態(tài)彎矩和扭矩。

在瞬態(tài)動力學分析中，外加載荷將集中作用于凸輪軸軸段作為輸入激勵。取額定轉速一個周期時間為例，某凸輪軸軸段的受力及彎/扭矩曲線如圖2所示。

4 凸輪軸有限元計算

4.1 有限元建模

進行凸輪軸動態(tài)應力計算時，應建立較為精細的凸輪軸結構有限元模型，保證凸輪軸結構各局部應力梯度分布，避免有限元離散過程造成局部結構的應力失真，對于凸輪軸應力集中部位如凸輪圓角等處的網格應足夠細密，以保證能反映出局部細節(jié)的實際應力狀態(tài)。

為保證模型和計算結構的準確性，對凸輪軸前處理采用8節(jié)點六面體單元進行有限元網格劃分。劃分好的模型如圖3所示。網格單元說明如表2所列。凸輪軸的材料參數如表3所列，其中軸段材料為45號鋼，皮帶輪為粉末冶金。

表2 凸輪軸單元類型說明

表3 凸輪軸材料參數

4.2 模態(tài)分析

有限元求解凸輪軸自由模態(tài)時無需對其進行自由度約束，設置好材料參數和計算分析步驟即可得出分析結果。同時,為了使有限元模型貼近真實情況，對凸輪軸進行自由狀態(tài)下的模態(tài)試驗。為保證試驗的準確性，在凸輪軸表面均勻的布置31個測點，如圖4所示。

使用單點激勵多點響應的方法，對采集到的加速度傳感器信號處理后獲得振動信息，分析出其模態(tài)頻率。表4為前9階模態(tài)頻率有限元計算結果與試驗值的對比。從表4可知，有限元計算結果和試驗值之間最大誤差僅為-3.97%，滿足工程要求，說明該有限元模型可用于仿真分析。

表4 凸輪軸模態(tài)試驗與仿真分析結果對比

4.3 瞬態(tài)應力分析

瞬態(tài)應力分析采用有限元軟件進行計算。分析所需的位移邊界條件和動力學模型設置一致，如圖5所示。

對軸承段和凸輪軸段中心點通過多點約束（coupkin）單元與各段外表面單元節(jié)點連接。為模擬實際軸承，對其中3個滑動軸承段中心點處施加Y、Z向的接地彈簧和阻尼結構單元，彈簧剛度為1.0 255×108N/m，阻尼系數為 8 220 N·s/m；皮帶輪附近的止推軸承段中心點處用X向的接地彈簧和阻尼結構替代，彈簧剛度為 5×105N/m，阻尼系數為6 329 N·s/m，數值常量與實際滑動及止推軸承一致，則在X、Y、Z 3個方向的位移約束均定義完成，從而保證瞬態(tài)應力計算時模型不產生剛體位移。

由一維動力學模型計算分析即可獲得各凸輪軸段處的動態(tài)力、彎矩及扭矩等載荷，將其作為激勵源分別施加在對應凸輪軸段的中心點處，構建起載荷的邊界條件約束，經計算獲得瞬態(tài)應力響應。

通過瞬時模態(tài)求解序列完成模型求解，獲得結構的瞬態(tài)應力響應。圖6為凸輪軸轉動運行一個周期各節(jié)點的最大等效應力分布情況，可見高應力區(qū)域出現(xiàn)在第1缸凸輪與軸段的過渡圓角處，應力值為60．876 MPa，而45號鋼的許用應力為210 MPa，即凸輪軸應力滿足材料的強度要求。

4.4 疲勞安全系數分析

在獲得結構瞬態(tài)應力數據后，便可采用基于有限元方法的疲勞分析軟件對結果進行疲勞預測，分析模塊允許計算彈性或彈塑性載荷歷程，綜合多種因素（平均應力、應力集中等），按照累積損傷理論和雨流計數法，根據各種應力或應變進行疲勞壽命和耐久性分析設計。圖7為凸輪軸的疲勞安全因子分布。

當使用壽命為107次時，計算結果表明，凸輪軸的疲勞安全因子最小值為3.094，出現(xiàn)在最大應力所在的前端圓角處，滿足設計要求。

4.5 不考慮轉速波動時的瞬態(tài)動力學對比分析

采用同樣的計算方法，對凸輪軸進行不考慮曲軸轉速波動時的瞬態(tài)動力學計算，并將結果與前述計算結果在3 400 r/min工況下相比較。圖8～圖10為考慮和不考慮曲軸轉速波動時，最大應力點在時域與頻域及該點外圍圓角處節(jié)點路徑應力的比較。

由圖8可知，不考慮轉速波動的最大應力值為59.657 MPa，略低于考慮轉速波動時的結果；在0.005～0.01 s與0.026～0.032 s兩個時間段，考慮轉速波動時峰值明顯增大，這兩個時間過程也恰好是第1缸氣門彈出與收回的階段；而在氣門處于最大升程時間段0.013～0.018 s時，考慮轉速波動效應的影響，其計算結果卻普遍小于不考慮時的幅值，初步估計是從凸輪桃尖與從動件傳至軸段圓角處的振動與此刻轉速波動在相位上是疊加相消的影響，從而削弱了該點的集中應力。

圖9為對最大應力點時間歷程進行傅里葉變換得到的頻域結果。從圖9可知，考慮轉速波動的峰值在第2階次（113.33 Hz）較不考慮時幅值高33%，而在第 1 階次（56.67 Hz）和第 4 階次（226.67 Hz）時峰值均要小，同時也說明發(fā)動機基頻的第2階次對凸輪軸該處的應力影響較大。

圖10是考慮轉速波動時凸輪軸上最大應力節(jié)點所在圓角處的該圈網格節(jié)點構成的路徑應力，可知外圍節(jié)點應力波動呈鋸齒狀，且考慮轉速波動的曲線具有一定的周期性起伏波動趨勢，而不考慮轉速波動的曲線則相對平緩，整體波動小。

5 結束語

a. 基于凸輪軸模態(tài)試驗并與仿真進行校對，提高了有限元模型的準確性，同時綜合考慮轉速波動、彎矩及扭矩等因素增強了后續(xù)瞬態(tài)應力及疲勞仿真的可信度。

b. 凸輪軸在各過渡圓角處應力都較為集中，根據應力分析最易發(fā)生強度和疲勞破壞的位置出現(xiàn)在第1缸凸輪與軸段的過渡圓角處，應力值為60.876 MPa，在45號鋼許用應力范圍內，而后續(xù)疲勞安全系數的計算也驗證了該危險位置區(qū)域。

c. 與不考慮轉速波動相比，最大應力點時間歷程上受發(fā)動機基頻第2階次影響較大，考慮轉速波動的峰值在第2階次較不考慮時幅值高33%，而在氣門升程最大位置時應力峰值反而偏小。同時對最大應力節(jié)點外圍圓角處節(jié)點構成的應力路徑考察發(fā)現(xiàn)，應力間隔波動呈鋸齒狀，整體波動具有周期性特征。

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