高速陶瓷電主軸動力學特性研究*

邱海飛

(西京學院機電技術系，陜西 西安 710123)

高速數控機床是裝備制造業的技術基礎，電主軸作為高速加工系統的核心部件，對于數控機床的產品質量、切削精度、生產效率及運行穩定性等都有重要影響［1］。隨著現代化制造技術朝著高速化、智能化及大功率化方向發展，數控機床對電主軸提出了更高的性能要求。當前市場上標準型機床轉速已達30 000～40 000 r/min，日本精工已成功研制出了50 000 r/min的超高速機床用電主軸。為了更好地適應數控加工系統高剛度及快速爬升等特點，一些高性能工程陶瓷材料被越來越多地應用于電主軸的設計與制造。相對于傳統材質，陶瓷材料能夠有效解決影響電主軸研發水平的關鍵技術，對于電主軸的技術改造和性能提升具有重要的應用價值。目前，國內洛陽軸研科技股份有限公司、沈陽建筑大學在陶瓷電主軸研究方面取得了一定成果，國外瑞士IBAG 公司、德國GMN 公司、美國Ingersoll 公司及日本FANUC 公司等在新型高速電主軸的研究與探索方面處于領先地位［2］。

隨著材料科學和成型工藝的快速發展，陶瓷電主軸的設計與制造將會日益成熟，必將成為未來電主軸發展的主流方向。本文將陶瓷材料Si3N4應用于高速銑削電主軸，在等效力學模型基礎上對其動力學特性展開深入研究，并通過參數化設計實現了主軸結構的動力學優化，為陶瓷電主軸的結構改進及高速化設計提供了技術支持。

1 工程陶瓷材料

陶瓷屬于無機非金屬材料，相對于一般工程材料，陶瓷材料具有許多優異性能。由于質量密度較小，采用工程陶瓷制成的旋轉部件可有效減輕結構自重和離心力，有利于轉子系統的高速化運行。陶瓷材料具有很高的彈性模量和抗剪切應力，同時具有很低的抗拉伸應力，能夠大幅提高零部件的結構剛度、抗疲勞強度及工作壽命;此外，陶瓷材料熱膨脹系數小、耐高溫、加工尺寸穩定，避免了熱處理引起的變形、相變等問題。常見陶瓷材料的性能參數見表1，氮化硅、碳化硅、氧化鋁及氧化鋯等是目前最常用的工程陶瓷［2］。由于陶瓷材料自身優良的機械物理綜合性能，使其在眾多工程領域具有廣闊的應用和開發前景，目前已被廣泛應用于航空航天、機械、電子、軍事、化工以及精密制造等領域。

表1 常見陶瓷材料性能參數

2 等效力學模型

作為數控機床的核心部件，電主軸具有質量輕、慣性小、響應快、振動及噪聲小等優點。為了保證良好的動力學性能和穩定性，電主軸多被設計為獨立單元配置于各類數控機床。高速電主軸屬于典型的智能化功能部件，一般由主軸、軸承、動力源、機架4 部分構成［3］。為了便于建模、計算及分析，對某型銑床用電主軸部件進行結構簡化，創建其等效力學模型。如圖1 所示，將主軸段等效為彈性梁單元，并對其賦予不同截面屬性，通過節點將各梁段聯接為一體;采用彈簧-阻尼單元模擬軸承支撐，其中，主軸前端裝配4 組滾動球軸承1、2、3、4，各軸承間距均為d1=54 mm，主軸后端裝配一個圓柱滾子軸承5，軸承4 與軸承5 之間距離d2=223 mm;將主軸上的質量元件等效為集中質量點，分別為前端蓋-M1、圓螺母1 -M2、后端蓋-M3、帶輪-M4、圓螺母2 -M5。

3 動力學建模

3.1 理論依據

電主軸為典型高速旋轉部件，由等效力學模型可知，主軸段上裝配有5 個集中質量M1、M2、M3、M4、M5，機床工作時這些集中質量隨主軸一起高速旋轉。根據轉子動力學理論，對于包含多個質量元件的轉子系統，其橫向振動微分方程如式(1)、式(2)，其中，M 為對角矩陣，其對角線元素由集中質量m 和直徑轉動慣量Jd組成;J 為轉動慣量矩陣，是以極轉動慣量Jp為對角線元素的對角矩陣;K 為剛度矩陣，是以剛度系數k 為元素的對稱矩陣;ξ1、ξ2為位移向量;ω 為轉子系統角速度［4］。

對于集中質量M1、M2、M3、M4、M5，主軸作橫向振動時可由4 個方向矢量表征其空間位移，分別為線性位移x、y 和角位移θx、θy，故可通過20 個位移矢量來確定主軸橫向振動位移。如式(3)、式(4)所示，ξ1、ξ2均為10 維列向量，則由矩陣與向量乘積關系可知，M、J、K 應為10 階方陣。

3.2 參數化有限元模型

通過彈簧-阻尼單元COMBIN14 模擬軸承支撐，如圖2 所示。COMBIN14 單元不計質量，且不考慮彎曲和軸向載荷，模擬軸承支撐時為縱向彈簧-阻尼結構，每個節點包含x、y、z 這3 個自由度。如圖3 所示，一個軸承可由4 個對稱分布的COMBIN14 單元模擬，前端軸承剛度K1=272.6 MPa，阻尼Cv1=1 170 N·s/m，后端軸承剛度K2=201.3 MPa，阻尼Cv2=810 N·s/m［5］。陶瓷電主軸參數化有限元模型如圖4 所示，根據主軸實際結構設置邊界條件，將軸承自由端支撐節點S1、S2、S3、S4完全約束，并限制前端軸承內部支撐節點S1、S2、S3、S4軸向位移，后端軸承為可浮動支撐，故不限制自由度。

4 動態分析

4.1 自振頻率與振型

模態分析是結構動力學分析的基礎，在此基礎上可以進行諧響應分析、瞬態動力學分析及譜分析等。對相同結構的鋼制電主軸與陶瓷電主軸進行自由模態分析，計算其低階自振頻率與振型。由表2 可知，Si3N4電主軸的1～5 階自振頻率均高于45 鋼電主軸，說明陶瓷材料可以明顯改進電主軸的動力學特性，相對于鋼制主軸，陶瓷電主軸能夠適應更高的工作轉速。由圖5 可知，陶瓷電主軸的1、2 階振型表現為前后端的徑向擺動，最大形變量分別出現在主軸后端和前端位置;3、4 階振型主要表現為主軸徑向彎曲變形，前端軸承支撐位置附近變形最為明顯。如果外部干擾頻率或主軸工作頻率與某一階自振頻率接近或重合，主軸部件就會按照圖5 所示振動模式發生劇烈振動(即共振)，嚴重時甚至造成主軸結構斷裂，所以數控機床的工作轉速頻率應盡量避開主軸系統的自振頻率。

表2 鋼制主軸與陶瓷主軸自振頻率比較 Hz

4.2 臨界轉速

數控機床以臨界轉速工作時，主軸系統進入臨界狀態，此時主軸部件將會產生劇烈振動，不利于機床穩定運行，而當主軸在臨界轉速之外一定范圍旋轉時，主軸將趨于穩定運行。準確計算臨界轉速是主軸系統動平衡設計的前提，對于工況下數控機床的速度控制與調節具有重要參考價值?？紤]陀螺效應，采用ANSYS 的動力縮減技術對陶瓷電主軸進行臨界轉速分析。靜止坐標系中的轉子運動微分方程如式(5)，其中M 為質量矩陣、C 為阻尼矩陣、CGYR為陀螺矩陣、K 為剛度矩陣、δ為節點位移向量、F 為節點載荷向量。

在0～40 000 r/min 范圍內分析陶瓷電主軸的臨界轉速，通過OMAGA 命令對主軸系統施加不同轉速，在此基礎上對其進行模態分析，計算各階自振頻率及振型。根據振動理論，基頻(第1 階自振頻率)是衡量結構動力學特性的重要指標，基頻越大，結構的抗振性能就越強。表3 為不同轉速下的主軸自振頻率，分析可知，隨著主軸轉速的提高，其1 階自振頻率呈下降趨勢，由此可見，高速狀態下的主軸動力學特性會逐漸變差。

表3 不同轉速下的主軸自振頻率 Hz

在模態分析基礎上獲得陶瓷電主軸的campbell圖，如圖6 所示，其橫坐標為主軸轉速，縱坐標為主軸系統自振頻率［4］。由圖6 可知，主軸系統的自振頻率線與內部激振力線有兩個交點，由此確定陶瓷電主軸在0～40 000 r/min 范圍內包含兩階臨界轉速，分別為31 740 r/min(一階)和35 627 r/min(二階)，與之對應的主軸系統共振頻率為529 Hz 和593.78 Hz。另外，當工作轉速達到一階臨界轉速時，主軸系統發生反進動共振;當工作轉速達到二階臨界轉速時，主軸系統發生正進動共振。在一階臨界轉速下對陶瓷電主軸進行模態分析，其第1 階振型和與之對應的軸心軌跡如圖7 所示，由圖可知，主軸的1 階振動模式主要表現為前后端的徑向擺動變形，最大變形出現在后端位置;軸心軌跡也叫渦動軌跡，為一橢圓形運動軌跡，由軸心軌跡可判斷主軸軸心線在某一自振頻率下偏離平衡位置的幅度，為準確研判主軸動力學特性提供重要參考。

4.3 諧振響應

諧響應分析可以有效預測和評估結構的持續動力學特性，能夠確定線性結構在已知頻率范圍內承受正弦(簡諧)載荷作用時的穩態響應。根據實際工況，刀具切削工件過程中會對陶瓷電主軸產生周期性激振，當激振力與主軸自振頻率接近或重合時就會發生共振，這對于機床的加工精度和穩定運行是極為不利的［5］。假設激振力P(t)隨時間t 按照正弦規律變化，其表達式見式(6)，其中p 為激振力幅值，N;ω 為強制頻率，Hz;φ為相位，rad。將激振力幅值設為3 500 N，施加于主軸前端位置，方向與Y 軸負向一致;根據臨界轉速對應的共振頻率，將強制頻率范圍定義為400～600 Hz，初始相位近似為0。采用完全法(Full 法)對陶瓷電主軸進行諧響應分析，計算過程劃分為150 個子步。

通過掃頻計算獲得陶瓷電主軸關鍵位置的位移-頻率響應。由圖8 可知，主軸前后端徑向位移響應曲線存在兩個峰值，分別位于528.75 Hz 和590 Hz 頻率處，這與主軸系統一、二階臨界轉速對應的共振頻率基本一致，由此驗證了臨界轉速計算的準確性。另外，在簡諧激振載荷P(t)作用下，主軸前后端在共振頻率處的徑向位移最大，此時主軸動剛度最小、抵抗變形能力最弱。比較前后端位移響應曲線可知，主軸前端徑向位移峰值(99.82 μm、71.94 μm)明顯小于后端徑向位移峰值(295.45 μm、241.62 μm)，說明主軸前端動剛度大于后端動剛度，有利于提高切削精度和加工穩定性。

軸承支撐位置的位移-頻率響應曲線如圖9 所示，其峰值頻率點與圖8 一致，且后端軸承支撐點5 的位移響應峰值明顯大于前端軸承支撐點1、2、3、4，說明主軸前端軸承支撐點具有較大動剛度，能夠有效擬制切削過程中的主軸徑向變形及振動。由諧響應分析可知，在兩個共振頻率點529 Hz 與590 Hz 處，陶瓷電主軸會產生較大位移響應，為了保證主軸系統穩定運行和避免共振發生，機床工作轉速應盡量避開共振頻率及其附近區域。

從國家層面：由于中美兩國經濟合作時間已近30年，雙方合作的領域數目較多，所以中美貿易摩擦在不斷加劇的同時，導致涉及的經濟領域范圍也在不斷擴大。同時也對政策和制度等宏觀領域造成了不利影響，導致了我國對外貿易的弱勢。此次貿易摩擦嚴重影響了兩國之間的經濟氛圍，雙方人民不便在市場中獲取價格相對低廉的進口產品，影響民眾生活質量。站在整個世界經濟的角度來看，美國單方面挑起貿易摩擦不利于世界經濟的復蘇和發展。

5 動力學優化

以陶瓷電主軸支撐跨距d1、d2為設計變量，采用隨機搜索算法對其進行動力學優化設計。該電主軸設計工作轉速在30 000～40 000 r/min，由前文計算可知主軸的一階臨界轉速C1=31 740 r/min，為了進一步增大主軸穩定工作轉速帶寬范圍，要求盡量提高其一階臨界轉速，也就是提高主軸系統一階共振頻率，使其適應更高的工作轉速，故以提高一階臨界轉速C1為優化目標，建立如式(7)所示的優化目標函數，其中C1是以d1、d2為自變量的函數，C1i為第i 次優化計算得出的臨界轉速值，f1為陶瓷電主軸一階共振頻率。

設計變量的隨機采樣曲線如圖10 所示，通過對不同的d1、d2采樣值進行組合計算，可以獲得相應的臨界轉速值，根據式(7)可知，計算結果中的最大值即為一階臨界轉速最優值。由圖11 可知，系統共進行了7 次采樣計算，其中第6 次計算結果數值最大，即C16=32 675 r/min 為一階臨界轉速的優化值，相對于優化前提高了2.95%，符合優化設計目標。另外，優化結果還使主軸支撐跨距d1、d2發生了變化，如表4 所示，d1、d2分別增大至65.81 mm 和224.28 mm，說明主軸在這一支撐位置具有更好的動力學特性。與此同時，主軸系統的一階共振頻率也由之前的529 Hz 提高至544.58 Hz，有效增強了陶瓷電主軸的抗振性能，有利于主軸系統的高速化發展。

表4 一階臨界轉速優化結果數據

6 結語

本文將陶瓷材料Si3N4應用于高速電主軸，以動力學理論為基礎，結合參數化建模、有限單元法、動態分析及優化技術等現代設計方法，對其動力學特性展開深入研究，主要得出以下幾方面結論:

(1)相對于鋼制電主軸，陶瓷材料Si3N4可以顯著提高電主軸各階自振頻率，使其抗振性能得到有效增強，可見陶瓷材料對于改進電主軸動力學特性具有重要的應用價值。

(2)在0～40 000 r/min 轉速范圍內對陶瓷電主軸進行模態分析，由campbell 圖確定了該主軸系的一階臨界轉速C1=31 740 r/min、二階臨界轉速C2=31 740 r/min，為數控機床的工作轉速調節與控制提供了重要依據。

(3)通過諧振響應分析獲得了陶瓷電主軸的位移-頻率響應，計算出了主軸的位移響應峰值，明確了共振頻率點及其對主軸薄弱部位的影響。

(4)在參數化建?；A上實現了陶瓷電主軸的一階臨界轉速優化，使其比優化前提高了2.95%，增大了主軸系統的安全工作轉速范圍，為陶瓷電主軸的高速化設計提供了支持。

［1］陳小安，劉俊峰，合燁，等.高速電主軸熱態性能及其影響［J］.機械工程學報，2013，49(11):135 -142.

［2］劉小文.全陶瓷電主軸主軸精密加工實驗研究及動態性能分析［D］.沈陽:沈陽建筑大學，2011.

［3］邱海飛.數控機床主軸部件靜動態特性優化設計［J］.現代制造工程，2013(11):68 -70.

［4］邱海飛，吳松林.DG46 多級泵轉子組件動力學建模與分析［J］.礦山機械，2013，41(2):60 -163.

［5］張國通.高速陶瓷電主軸設計及動靜態性能分析［D］.秦皇島:燕山大學，2011.