對(duì)測(cè)量不平等的泰爾指數(shù)和基尼系數(shù)比較

劉續(xù)棵

摘 要：測(cè)量收入不平等以及研究貧困問(wèn)題主要采用的兩種方法就是利用基尼系數(shù)和泰爾指數(shù)。基尼系數(shù)的計(jì)算本身存在三種最為常用的區(qū)別，而泰爾指數(shù)在組內(nèi)組間分解上更優(yōu)于基尼系數(shù)，但是由于其計(jì)算收入轉(zhuǎn)移上的敏感性，使得其與基尼系數(shù)相比更可能高估不平等。通過(guò)對(duì)比這兩種計(jì)算方法，可以對(duì)不同的微觀數(shù)據(jù)采用不同的方法。

關(guān)鍵詞：基尼系數(shù)；泰爾系數(shù)；收入不平等

中圖分類號(hào)：F0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1673-291X（2014）07-0012-03

一、基尼系數(shù)的測(cè)量

就衡量收入不平等而言，我們最為常用的方式就是使用基尼系數(shù)進(jìn)行衡量。從1921年基尼系數(shù)（Gini，1921）第一次出現(xiàn)到現(xiàn)在已經(jīng)有八十年的歷史（Xu，Kuan，2004），對(duì)基尼系數(shù)的研究和分析已經(jīng)形成一套很成熟的方法和并積累了大量相關(guān)的文獻(xiàn)。在對(duì)基尼系數(shù)論述的的文獻(xiàn)歷史中，Anand （1983）和Chakravarty （1990）對(duì)包括基尼系數(shù)在內(nèi)的不平等測(cè)量方法進(jìn)行了全面的調(diào)查，Lambert （1989），以及Atkinson and Bourguignon （2000）也對(duì)利用基尼系數(shù)衡量收入不平等以及貧困問(wèn)題提供了全面的參考文獻(xiàn)。對(duì)于基尼系數(shù)的發(fā)展歷程及文獻(xiàn)綜述回顧可以參見(jiàn)Kuan Xu（2004），其根據(jù)以往的文獻(xiàn)對(duì)基尼系數(shù)的產(chǎn)生和發(fā)展進(jìn)行了一次全面的梳理，同時(shí)對(duì)基尼系數(shù)的解釋，社會(huì)福利效應(yīng)以及收入分解都做了詳細(xì)的介紹。在Kuan Xu（2004）的文章中，基尼系數(shù)定義為用來(lái)衡量收入、消費(fèi)以及財(cái)產(chǎn)分配差異的指標(biāo)。對(duì)基尼系數(shù)的測(cè)量主要有三種方法：幾何法、協(xié)方差法以及矩陣法。

（一）幾何法

對(duì)于幾何法而言，主要是根據(jù)洛倫茲曲線來(lái)對(duì)基尼系數(shù)進(jìn)行幾何描述，其初始公式為：

A：是洛倫茲曲線與完全平等曲線（45度線）之間的區(qū)域面積

B：是洛倫茲曲線以下的區(qū)域面積

以人口的累積百分比由低到高作為橫坐標(biāo)，由收入的累計(jì)百分比由低到高作為縱坐標(biāo)。Sen （1973）把基尼系數(shù)的公式定義為：

n代表人口數(shù)，μy代表平均收入，yi 代表第i個(gè)人的收入。

（二）協(xié)方差法

協(xié)方差法相對(duì)于幾何法，計(jì)算更為簡(jiǎn)單。在收入離散分配的前提下。Anand （1983）得出基尼系數(shù)的計(jì)算公式為：

則基尼系數(shù)可以等價(jià)為：

n代表人口數(shù)，μy代表平均收入，yi代表第i個(gè)人的收入。

這種方法的優(yōu)勢(shì)在于通過(guò)使用統(tǒng)計(jì)軟件中自帶的協(xié)方差程序，計(jì)算過(guò)程可以大大簡(jiǎn)化。

（三）矩陣法

矩陣法是由Pyatt （1976）以及Silber （1989）為了進(jìn)行收入分解而設(shè)計(jì)的方法。在Gini （1912），Kendall以及Stuart （1958）的著作《高級(jí)統(tǒng)計(jì)學(xué)原理》中，采用了“相對(duì)平均差異”這樣一個(gè)概念：

則基尼系數(shù)（Kendal and Stuart，1963）定義為：G= （7）

根據(jù)G=，|yi-yj |=2max（0，yi-yj ）（Pyatt （1976））

上述的表達(dá)式也可以寫(xiě)成：

假設(shè)總?cè)丝诳梢员粍澐譃閗組，第i組占有總?cè)丝谥衟i份額的人口，則“平均期望收益”可以表示為：

Silber （1989）提出了另外一種計(jì)算基尼系數(shù)的方法。經(jīng)過(guò)Sen（1973），Donaldson 與Weymark（1980）對(duì)基尼系數(shù)計(jì)算的研究，Gini系數(shù)最初計(jì)算公式為公式（3）

根據(jù)（i-1）代表低于個(gè)人i收入的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比重，（n-i）代表高于個(gè)人i收入的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比重（Berrebi，Z.M.；Silber，1985）。

公式（12）中，y是升序排列；如果y是降序排列，則，令i+j=n+1，得公式（12）。

衡量不平等原理的基尼系數(shù)的定義可以表示為：

其中Sj表示收入排名第j的個(gè)人他所擁有的收入占總收入的比重，（Si=）。公式（12）被證明（Xu，Kuan，2004）也可以轉(zhuǎn)化為：

以矩陣的形式可以表示為：

二、泰爾系數(shù)的測(cè)量

從歷史上看，作為衡量不平等的方法，泰爾系數(shù)相對(duì)基尼系數(shù)來(lái)說(shuō)，從提出到應(yīng)用到的時(shí)間相對(duì)較短。Henri Theil認(rèn)為泰爾系數(shù)就是把作為事前概率的人口比例轉(zhuǎn)化為事后概率的收入比例，從間接信息當(dāng)中獲取有用內(nèi)容的方法。（Henri Theil，1967）。而Amartya Sen （1997）則認(rèn)為泰爾系數(shù)還只是一個(gè)無(wú)法控制的公式。泰爾系數(shù)提供了一種測(cè)量組間收入分布與人口分布之間差異的方法。

假設(shè)1，人口只有富人和窮人兩部分構(gòu)成時(shí)，泰爾系數(shù)可以表示為：

wrich表示富人收入占總收入的比重，wpoor表示窮人收入人占總收入的比重。

從上式中我們可以得出的結(jié)果是：泰爾系數(shù)核心是：通過(guò)對(duì)各組收入與人口的份額的比值求對(duì)數(shù)，再進(jìn)行加權(quán)求和，來(lái)比較收入在人口中的分配結(jié)構(gòu)。它的一個(gè)非常重要的特性就是：泰爾系數(shù)對(duì)于收入從窮人向富人轉(zhuǎn)移時(shí)非常敏感。Pedro Concei??o和 Pedro Ferreira（2000）以最富的人的收入占總收入的比重作為橫坐標(biāo)，以泰爾系數(shù)以及各種線性測(cè)量不平等系數(shù)為縱坐標(biāo)，并確立了兩個(gè)分界點(diǎn)，以最富有的人的收入占總收入的實(shí)際比重為第一個(gè)分界點(diǎn)，以人口比重與收入比重相等時(shí)的收入比重作為第二個(gè)分界點(diǎn)，論證了，在第一個(gè)分界點(diǎn)右邊，隨著收入從窮人轉(zhuǎn)移到富人，泰爾系數(shù)的曲線會(huì)變得越來(lái)越陡峭，而線性的方法對(duì)這種改變會(huì)卻不是很敏感，同樣在第一個(gè)分界點(diǎn)左邊，隨著收入從富人轉(zhuǎn)移到窮人（最富的人的收入占總收入的比重的下降）線性對(duì)不平等的測(cè)量法以及泰爾系數(shù)都會(huì)呈現(xiàn)下降的趨勢(shì)，而泰爾系數(shù)會(huì)下降得更快。當(dāng)最富的人的收入占總收入的比重下降到與富人占總?cè)丝诘谋戎叵嗤畷r(shí)，所有測(cè)量不平等的方法（包括泰爾系數(shù)）都?xì)w為0。當(dāng)在第二個(gè)分界點(diǎn)的左邊時(shí)，這也就等同于窮人的收入比重超過(guò)了富人的收入比重（假設(shè)收入只被分為兩部分，窮人和富人），這時(shí)不平等又開(kāi)始增加（Pedro Concei??o和 Pedro Ferreira，2000）。

假設(shè)2，當(dāng)一個(gè)以家庭為單位的人口總體可以被劃分為若干相互完全獨(dú)立的小組時(shí)，對(duì)泰爾系數(shù)的統(tǒng)計(jì)計(jì)算可以由兩部分構(gòu)成，一部分是組間的泰爾系數(shù)（Tg），另一部分是組內(nèi)的泰爾系數(shù)（Tg）：

wi代表第i個(gè)組中的收入占總收入的比重。pi代表第i組中人口占總?cè)丝诘谋戎亍?/p>

nj表示第i組中第j個(gè)家庭人口占總?cè)丝诘谋戎兀瑈j表示第i組中第j個(gè)家庭收入占總收入的比重。

Theil系數(shù)可分解的特性可以幫助我們對(duì)組間的收入分配彈性進(jìn)行分析。有兩種不平等會(huì)對(duì)總體不平等產(chǎn)生效應(yīng)：

（1）純分配效應(yīng)：組內(nèi)個(gè)體的不平等對(duì)總體不平等產(chǎn)生的影響。用ΔwΔT表示。

（2）組份額效應(yīng)：這是由于各組的權(quán)重（wi）反映到了總體的不平等中，用Δw表示。

則每組對(duì)總體對(duì)不平等的貢獻(xiàn)由ΔT*Δw來(lái)表示。Shorrocks（1980）提出只有‘entrop based的家庭構(gòu)成的總體才可以將不平等分解成為組內(nèi)和組間來(lái)進(jìn)行解釋。endprint

摘 要：測(cè)量收入不平等以及研究貧困問(wèn)題主要采用的兩種方法就是利用基尼系數(shù)和泰爾指數(shù)。基尼系數(shù)的計(jì)算本身存在三種最為常用的區(qū)別，而泰爾指數(shù)在組內(nèi)組間分解上更優(yōu)于基尼系數(shù)，但是由于其計(jì)算收入轉(zhuǎn)移上的敏感性，使得其與基尼系數(shù)相比更可能高估不平等。通過(guò)對(duì)比這兩種計(jì)算方法，可以對(duì)不同的微觀數(shù)據(jù)采用不同的方法。

關(guān)鍵詞：基尼系數(shù)；泰爾系數(shù)；收入不平等

中圖分類號(hào)：F0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1673-291X（2014）07-0012-03

一、基尼系數(shù)的測(cè)量

就衡量收入不平等而言，我們最為常用的方式就是使用基尼系數(shù)進(jìn)行衡量。從1921年基尼系數(shù)（Gini，1921）第一次出現(xiàn)到現(xiàn)在已經(jīng)有八十年的歷史（Xu，Kuan，2004），對(duì)基尼系數(shù)的研究和分析已經(jīng)形成一套很成熟的方法和并積累了大量相關(guān)的文獻(xiàn)。在對(duì)基尼系數(shù)論述的的文獻(xiàn)歷史中，Anand （1983）和Chakravarty （1990）對(duì)包括基尼系數(shù)在內(nèi)的不平等測(cè)量方法進(jìn)行了全面的調(diào)查，Lambert （1989），以及Atkinson and Bourguignon （2000）也對(duì)利用基尼系數(shù)衡量收入不平等以及貧困問(wèn)題提供了全面的參考文獻(xiàn)。對(duì)于基尼系數(shù)的發(fā)展歷程及文獻(xiàn)綜述回顧可以參見(jiàn)Kuan Xu（2004），其根據(jù)以往的文獻(xiàn)對(duì)基尼系數(shù)的產(chǎn)生和發(fā)展進(jìn)行了一次全面的梳理，同時(shí)對(duì)基尼系數(shù)的解釋，社會(huì)福利效應(yīng)以及收入分解都做了詳細(xì)的介紹。在Kuan Xu（2004）的文章中，基尼系數(shù)定義為用來(lái)衡量收入、消費(fèi)以及財(cái)產(chǎn)分配差異的指標(biāo)。對(duì)基尼系數(shù)的測(cè)量主要有三種方法：幾何法、協(xié)方差法以及矩陣法。

（一）幾何法

對(duì)于幾何法而言，主要是根據(jù)洛倫茲曲線來(lái)對(duì)基尼系數(shù)進(jìn)行幾何描述，其初始公式為：

A：是洛倫茲曲線與完全平等曲線（45度線）之間的區(qū)域面積

B：是洛倫茲曲線以下的區(qū)域面積

以人口的累積百分比由低到高作為橫坐標(biāo)，由收入的累計(jì)百分比由低到高作為縱坐標(biāo)。Sen （1973）把基尼系數(shù)的公式定義為：

n代表人口數(shù)，μy代表平均收入，yi 代表第i個(gè)人的收入。

（二）協(xié)方差法

協(xié)方差法相對(duì)于幾何法，計(jì)算更為簡(jiǎn)單。在收入離散分配的前提下。Anand （1983）得出基尼系數(shù)的計(jì)算公式為：

則基尼系數(shù)可以等價(jià)為：

n代表人口數(shù)，μy代表平均收入，yi代表第i個(gè)人的收入。

這種方法的優(yōu)勢(shì)在于通過(guò)使用統(tǒng)計(jì)軟件中自帶的協(xié)方差程序，計(jì)算過(guò)程可以大大簡(jiǎn)化。

（三）矩陣法

矩陣法是由Pyatt （1976）以及Silber （1989）為了進(jìn)行收入分解而設(shè)計(jì)的方法。在Gini （1912），Kendall以及Stuart （1958）的著作《高級(jí)統(tǒng)計(jì)學(xué)原理》中，采用了“相對(duì)平均差異”這樣一個(gè)概念：

則基尼系數(shù)（Kendal and Stuart，1963）定義為：G= （7）

根據(jù)G=，|yi-yj |=2max（0，yi-yj ）（Pyatt （1976））

上述的表達(dá)式也可以寫(xiě)成：

假設(shè)總?cè)丝诳梢员粍澐譃閗組，第i組占有總?cè)丝谥衟i份額的人口，則“平均期望收益”可以表示為：

Silber （1989）提出了另外一種計(jì)算基尼系數(shù)的方法。經(jīng)過(guò)Sen（1973），Donaldson 與Weymark（1980）對(duì)基尼系數(shù)計(jì)算的研究，Gini系數(shù)最初計(jì)算公式為公式（3）

根據(jù)（i-1）代表低于個(gè)人i收入的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比重，（n-i）代表高于個(gè)人i收入的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比重（Berrebi，Z.M.；Silber，1985）。

公式（12）中，y是升序排列；如果y是降序排列，則，令i+j=n+1，得公式（12）。

衡量不平等原理的基尼系數(shù)的定義可以表示為：

其中Sj表示收入排名第j的個(gè)人他所擁有的收入占總收入的比重，（Si=）。公式（12）被證明（Xu，Kuan，2004）也可以轉(zhuǎn)化為：

以矩陣的形式可以表示為：

二、泰爾系數(shù)的測(cè)量

從歷史上看，作為衡量不平等的方法，泰爾系數(shù)相對(duì)基尼系數(shù)來(lái)說(shuō)，從提出到應(yīng)用到的時(shí)間相對(duì)較短。Henri Theil認(rèn)為泰爾系數(shù)就是把作為事前概率的人口比例轉(zhuǎn)化為事后概率的收入比例，從間接信息當(dāng)中獲取有用內(nèi)容的方法。（Henri Theil，1967）。而Amartya Sen （1997）則認(rèn)為泰爾系數(shù)還只是一個(gè)無(wú)法控制的公式。泰爾系數(shù)提供了一種測(cè)量組間收入分布與人口分布之間差異的方法。

假設(shè)1，人口只有富人和窮人兩部分構(gòu)成時(shí)，泰爾系數(shù)可以表示為：

wrich表示富人收入占總收入的比重，wpoor表示窮人收入人占總收入的比重。

從上式中我們可以得出的結(jié)果是：泰爾系數(shù)核心是：通過(guò)對(duì)各組收入與人口的份額的比值求對(duì)數(shù)，再進(jìn)行加權(quán)求和，來(lái)比較收入在人口中的分配結(jié)構(gòu)。它的一個(gè)非常重要的特性就是：泰爾系數(shù)對(duì)于收入從窮人向富人轉(zhuǎn)移時(shí)非常敏感。Pedro Concei??o和 Pedro Ferreira（2000）以最富的人的收入占總收入的比重作為橫坐標(biāo)，以泰爾系數(shù)以及各種線性測(cè)量不平等系數(shù)為縱坐標(biāo)，并確立了兩個(gè)分界點(diǎn)，以最富有的人的收入占總收入的實(shí)際比重為第一個(gè)分界點(diǎn)，以人口比重與收入比重相等時(shí)的收入比重作為第二個(gè)分界點(diǎn)，論證了，在第一個(gè)分界點(diǎn)右邊，隨著收入從窮人轉(zhuǎn)移到富人，泰爾系數(shù)的曲線會(huì)變得越來(lái)越陡峭，而線性的方法對(duì)這種改變會(huì)卻不是很敏感，同樣在第一個(gè)分界點(diǎn)左邊，隨著收入從富人轉(zhuǎn)移到窮人（最富的人的收入占總收入的比重的下降）線性對(duì)不平等的測(cè)量法以及泰爾系數(shù)都會(huì)呈現(xiàn)下降的趨勢(shì)，而泰爾系數(shù)會(huì)下降得更快。當(dāng)最富的人的收入占總收入的比重下降到與富人占總?cè)丝诘谋戎叵嗤畷r(shí)，所有測(cè)量不平等的方法（包括泰爾系數(shù)）都?xì)w為0。當(dāng)在第二個(gè)分界點(diǎn)的左邊時(shí)，這也就等同于窮人的收入比重超過(guò)了富人的收入比重（假設(shè)收入只被分為兩部分，窮人和富人），這時(shí)不平等又開(kāi)始增加（Pedro Concei??o和 Pedro Ferreira，2000）。

假設(shè)2，當(dāng)一個(gè)以家庭為單位的人口總體可以被劃分為若干相互完全獨(dú)立的小組時(shí)，對(duì)泰爾系數(shù)的統(tǒng)計(jì)計(jì)算可以由兩部分構(gòu)成，一部分是組間的泰爾系數(shù)（Tg），另一部分是組內(nèi)的泰爾系數(shù)（Tg）：

wi代表第i個(gè)組中的收入占總收入的比重。pi代表第i組中人口占總?cè)丝诘谋戎亍?/p>

nj表示第i組中第j個(gè)家庭人口占總?cè)丝诘谋戎兀瑈j表示第i組中第j個(gè)家庭收入占總收入的比重。

Theil系數(shù)可分解的特性可以幫助我們對(duì)組間的收入分配彈性進(jìn)行分析。有兩種不平等會(huì)對(duì)總體不平等產(chǎn)生效應(yīng)：

（1）純分配效應(yīng)：組內(nèi)個(gè)體的不平等對(duì)總體不平等產(chǎn)生的影響。用ΔwΔT表示。

（2）組份額效應(yīng)：這是由于各組的權(quán)重（wi）反映到了總體的不平等中，用Δw表示。

則每組對(duì)總體對(duì)不平等的貢獻(xiàn)由ΔT*Δw來(lái)表示。Shorrocks（1980）提出只有‘entrop based的家庭構(gòu)成的總體才可以將不平等分解成為組內(nèi)和組間來(lái)進(jìn)行解釋。endprint

摘 要：測(cè)量收入不平等以及研究貧困問(wèn)題主要采用的兩種方法就是利用基尼系數(shù)和泰爾指數(shù)。基尼系數(shù)的計(jì)算本身存在三種最為常用的區(qū)別，而泰爾指數(shù)在組內(nèi)組間分解上更優(yōu)于基尼系數(shù)，但是由于其計(jì)算收入轉(zhuǎn)移上的敏感性，使得其與基尼系數(shù)相比更可能高估不平等。通過(guò)對(duì)比這兩種計(jì)算方法，可以對(duì)不同的微觀數(shù)據(jù)采用不同的方法。

關(guān)鍵詞：基尼系數(shù)；泰爾系數(shù)；收入不平等

中圖分類號(hào)：F0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1673-291X（2014）07-0012-03

一、基尼系數(shù)的測(cè)量

就衡量收入不平等而言，我們最為常用的方式就是使用基尼系數(shù)進(jìn)行衡量。從1921年基尼系數(shù)（Gini，1921）第一次出現(xiàn)到現(xiàn)在已經(jīng)有八十年的歷史（Xu，Kuan，2004），對(duì)基尼系數(shù)的研究和分析已經(jīng)形成一套很成熟的方法和并積累了大量相關(guān)的文獻(xiàn)。在對(duì)基尼系數(shù)論述的的文獻(xiàn)歷史中，Anand （1983）和Chakravarty （1990）對(duì)包括基尼系數(shù)在內(nèi)的不平等測(cè)量方法進(jìn)行了全面的調(diào)查，Lambert （1989），以及Atkinson and Bourguignon （2000）也對(duì)利用基尼系數(shù)衡量收入不平等以及貧困問(wèn)題提供了全面的參考文獻(xiàn)。對(duì)于基尼系數(shù)的發(fā)展歷程及文獻(xiàn)綜述回顧可以參見(jiàn)Kuan Xu（2004），其根據(jù)以往的文獻(xiàn)對(duì)基尼系數(shù)的產(chǎn)生和發(fā)展進(jìn)行了一次全面的梳理，同時(shí)對(duì)基尼系數(shù)的解釋，社會(huì)福利效應(yīng)以及收入分解都做了詳細(xì)的介紹。在Kuan Xu（2004）的文章中，基尼系數(shù)定義為用來(lái)衡量收入、消費(fèi)以及財(cái)產(chǎn)分配差異的指標(biāo)。對(duì)基尼系數(shù)的測(cè)量主要有三種方法：幾何法、協(xié)方差法以及矩陣法。

（一）幾何法

對(duì)于幾何法而言，主要是根據(jù)洛倫茲曲線來(lái)對(duì)基尼系數(shù)進(jìn)行幾何描述，其初始公式為：

A：是洛倫茲曲線與完全平等曲線（45度線）之間的區(qū)域面積

B：是洛倫茲曲線以下的區(qū)域面積

以人口的累積百分比由低到高作為橫坐標(biāo)，由收入的累計(jì)百分比由低到高作為縱坐標(biāo)。Sen （1973）把基尼系數(shù)的公式定義為：

n代表人口數(shù)，μy代表平均收入，yi 代表第i個(gè)人的收入。

（二）協(xié)方差法

協(xié)方差法相對(duì)于幾何法，計(jì)算更為簡(jiǎn)單。在收入離散分配的前提下。Anand （1983）得出基尼系數(shù)的計(jì)算公式為：

則基尼系數(shù)可以等價(jià)為：

n代表人口數(shù)，μy代表平均收入，yi代表第i個(gè)人的收入。

這種方法的優(yōu)勢(shì)在于通過(guò)使用統(tǒng)計(jì)軟件中自帶的協(xié)方差程序，計(jì)算過(guò)程可以大大簡(jiǎn)化。

（三）矩陣法

矩陣法是由Pyatt （1976）以及Silber （1989）為了進(jìn)行收入分解而設(shè)計(jì)的方法。在Gini （1912），Kendall以及Stuart （1958）的著作《高級(jí)統(tǒng)計(jì)學(xué)原理》中，采用了“相對(duì)平均差異”這樣一個(gè)概念：

則基尼系數(shù)（Kendal and Stuart，1963）定義為：G= （7）

根據(jù)G=，|yi-yj |=2max（0，yi-yj ）（Pyatt （1976））

上述的表達(dá)式也可以寫(xiě)成：

假設(shè)總?cè)丝诳梢员粍澐譃閗組，第i組占有總?cè)丝谥衟i份額的人口，則“平均期望收益”可以表示為：

Silber （1989）提出了另外一種計(jì)算基尼系數(shù)的方法。經(jīng)過(guò)Sen（1973），Donaldson 與Weymark（1980）對(duì)基尼系數(shù)計(jì)算的研究，Gini系數(shù)最初計(jì)算公式為公式（3）

根據(jù)（i-1）代表低于個(gè)人i收入的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比重，（n-i）代表高于個(gè)人i收入的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比重（Berrebi，Z.M.；Silber，1985）。

公式（12）中，y是升序排列；如果y是降序排列，則，令i+j=n+1，得公式（12）。

衡量不平等原理的基尼系數(shù)的定義可以表示為：

其中Sj表示收入排名第j的個(gè)人他所擁有的收入占總收入的比重，（Si=）。公式（12）被證明（Xu，Kuan，2004）也可以轉(zhuǎn)化為：

以矩陣的形式可以表示為：

二、泰爾系數(shù)的測(cè)量

從歷史上看，作為衡量不平等的方法，泰爾系數(shù)相對(duì)基尼系數(shù)來(lái)說(shuō)，從提出到應(yīng)用到的時(shí)間相對(duì)較短。Henri Theil認(rèn)為泰爾系數(shù)就是把作為事前概率的人口比例轉(zhuǎn)化為事后概率的收入比例，從間接信息當(dāng)中獲取有用內(nèi)容的方法。（Henri Theil，1967）。而Amartya Sen （1997）則認(rèn)為泰爾系數(shù)還只是一個(gè)無(wú)法控制的公式。泰爾系數(shù)提供了一種測(cè)量組間收入分布與人口分布之間差異的方法。

假設(shè)1，人口只有富人和窮人兩部分構(gòu)成時(shí)，泰爾系數(shù)可以表示為：

wrich表示富人收入占總收入的比重，wpoor表示窮人收入人占總收入的比重。

從上式中我們可以得出的結(jié)果是：泰爾系數(shù)核心是：通過(guò)對(duì)各組收入與人口的份額的比值求對(duì)數(shù)，再進(jìn)行加權(quán)求和，來(lái)比較收入在人口中的分配結(jié)構(gòu)。它的一個(gè)非常重要的特性就是：泰爾系數(shù)對(duì)于收入從窮人向富人轉(zhuǎn)移時(shí)非常敏感。Pedro Concei??o和 Pedro Ferreira（2000）以最富的人的收入占總收入的比重作為橫坐標(biāo)，以泰爾系數(shù)以及各種線性測(cè)量不平等系數(shù)為縱坐標(biāo)，并確立了兩個(gè)分界點(diǎn)，以最富有的人的收入占總收入的實(shí)際比重為第一個(gè)分界點(diǎn)，以人口比重與收入比重相等時(shí)的收入比重作為第二個(gè)分界點(diǎn)，論證了，在第一個(gè)分界點(diǎn)右邊，隨著收入從窮人轉(zhuǎn)移到富人，泰爾系數(shù)的曲線會(huì)變得越來(lái)越陡峭，而線性的方法對(duì)這種改變會(huì)卻不是很敏感，同樣在第一個(gè)分界點(diǎn)左邊，隨著收入從富人轉(zhuǎn)移到窮人（最富的人的收入占總收入的比重的下降）線性對(duì)不平等的測(cè)量法以及泰爾系數(shù)都會(huì)呈現(xiàn)下降的趨勢(shì)，而泰爾系數(shù)會(huì)下降得更快。當(dāng)最富的人的收入占總收入的比重下降到與富人占總?cè)丝诘谋戎叵嗤畷r(shí)，所有測(cè)量不平等的方法（包括泰爾系數(shù)）都?xì)w為0。當(dāng)在第二個(gè)分界點(diǎn)的左邊時(shí)，這也就等同于窮人的收入比重超過(guò)了富人的收入比重（假設(shè)收入只被分為兩部分，窮人和富人），這時(shí)不平等又開(kāi)始增加（Pedro Concei??o和 Pedro Ferreira，2000）。

假設(shè)2，當(dāng)一個(gè)以家庭為單位的人口總體可以被劃分為若干相互完全獨(dú)立的小組時(shí)，對(duì)泰爾系數(shù)的統(tǒng)計(jì)計(jì)算可以由兩部分構(gòu)成，一部分是組間的泰爾系數(shù)（Tg），另一部分是組內(nèi)的泰爾系數(shù)（Tg）：

wi代表第i個(gè)組中的收入占總收入的比重。pi代表第i組中人口占總?cè)丝诘谋戎亍?/p>

nj表示第i組中第j個(gè)家庭人口占總?cè)丝诘谋戎兀瑈j表示第i組中第j個(gè)家庭收入占總收入的比重。

Theil系數(shù)可分解的特性可以幫助我們對(duì)組間的收入分配彈性進(jìn)行分析。有兩種不平等會(huì)對(duì)總體不平等產(chǎn)生效應(yīng)：

（1）純分配效應(yīng)：組內(nèi)個(gè)體的不平等對(duì)總體不平等產(chǎn)生的影響。用ΔwΔT表示。

（2）組份額效應(yīng)：這是由于各組的權(quán)重（wi）反映到了總體的不平等中，用Δw表示。

則每組對(duì)總體對(duì)不平等的貢獻(xiàn)由ΔT*Δw來(lái)表示。Shorrocks（1980）提出只有‘entrop based的家庭構(gòu)成的總體才可以將不平等分解成為組內(nèi)和組間來(lái)進(jìn)行解釋。endprint