對測量不平等的泰爾指數和基尼系數比較

劉續棵

摘 要：測量收入不平等以及研究貧困問題主要采用的兩種方法就是利用基尼系數和泰爾指數?；嵯禂档挠嬎惚旧泶嬖谌N最為常用的區別，而泰爾指數在組內組間分解上更優于基尼系數，但是由于其計算收入轉移上的敏感性，使得其與基尼系數相比更可能高估不平等。通過對比這兩種計算方法，可以對不同的微觀數據采用不同的方法。

關鍵詞：基尼系數；泰爾系數；收入不平等

中圖分類號：F0 文獻標志碼：A 文章編號：1673-291X（2014）07-0012-03

一、基尼系數的測量

就衡量收入不平等而言，我們最為常用的方式就是使用基尼系數進行衡量。從1921年基尼系數（Gini，1921）第一次出現到現在已經有八十年的歷史（Xu，Kuan，2004），對基尼系數的研究和分析已經形成一套很成熟的方法和并積累了大量相關的文獻。在對基尼系數論述的的文獻歷史中，Anand （1983）和Chakravarty （1990）對包括基尼系數在內的不平等測量方法進行了全面的調查，Lambert （1989），以及Atkinson and Bourguignon （2000）也對利用基尼系數衡量收入不平等以及貧困問題提供了全面的參考文獻。對于基尼系數的發展歷程及文獻綜述回顧可以參見Kuan Xu（2004），其根據以往的文獻對基尼系數的產生和發展進行了一次全面的梳理，同時對基尼系數的解釋，社會福利效應以及收入分解都做了詳細的介紹。在Kuan Xu（2004）的文章中，基尼系數定義為用來衡量收入、消費以及財產分配差異的指標。對基尼系數的測量主要有三種方法：幾何法、協方差法以及矩陣法。

（一）幾何法

對于幾何法而言，主要是根據洛倫茲曲線來對基尼系數進行幾何描述，其初始公式為：

A：是洛倫茲曲線與完全平等曲線（45度線）之間的區域面積

B：是洛倫茲曲線以下的區域面積

以人口的累積百分比由低到高作為橫坐標，由收入的累計百分比由低到高作為縱坐標。Sen （1973）把基尼系數的公式定義為：

n代表人口數，μy代表平均收入，yi 代表第i個人的收入。

（二）協方差法

協方差法相對于幾何法，計算更為簡單。在收入離散分配的前提下。Anand （1983）得出基尼系數的計算公式為：

則基尼系數可以等價為：

n代表人口數，μy代表平均收入，yi代表第i個人的收入。

這種方法的優勢在于通過使用統計軟件中自帶的協方差程序，計算過程可以大大簡化。

（三）矩陣法

矩陣法是由Pyatt （1976）以及Silber （1989）為了進行收入分解而設計的方法。在Gini （1912），Kendall以及Stuart （1958）的著作《高級統計學原理》中，采用了“相對平均差異”這樣一個概念：

則基尼系數（Kendal and Stuart，1963）定義為：G= （7）

根據G=，|yi-yj |=2max（0，yi-yj ）（Pyatt （1976））

上述的表達式也可以寫成：

假設總人口可以被劃分為k組，第i組占有總人口中pi份額的人口，則“平均期望收益”可以表示為：

Silber （1989）提出了另外一種計算基尼系數的方法。經過Sen（1973），Donaldson 與Weymark（1980）對基尼系數計算的研究，Gini系數最初計算公式為公式（3）

根據（i-1）代表低于個人i收入的人數占總人數的比重，（n-i）代表高于個人i收入的人數占總人數的比重（Berrebi，Z.M.；Silber，1985）。

公式（12）中，y是升序排列；如果y是降序排列，則，令i+j=n+1，得公式（12）。

衡量不平等原理的基尼系數的定義可以表示為：

其中Sj表示收入排名第j的個人他所擁有的收入占總收入的比重，（Si=）。公式（12）被證明（Xu，Kuan，2004）也可以轉化為：

以矩陣的形式可以表示為：

二、泰爾系數的測量

從歷史上看，作為衡量不平等的方法，泰爾系數相對基尼系數來說，從提出到應用到的時間相對較短。Henri Theil認為泰爾系數就是把作為事前概率的人口比例轉化為事后概率的收入比例，從間接信息當中獲取有用內容的方法。（Henri Theil，1967）。而Amartya Sen （1997）則認為泰爾系數還只是一個無法控制的公式。泰爾系數提供了一種測量組間收入分布與人口分布之間差異的方法。

假設1，人口只有富人和窮人兩部分構成時，泰爾系數可以表示為：

wrich表示富人收入占總收入的比重，wpoor表示窮人收入人占總收入的比重。

從上式中我們可以得出的結果是：泰爾系數核心是：通過對各組收入與人口的份額的比值求對數，再進行加權求和，來比較收入在人口中的分配結構。它的一個非常重要的特性就是：泰爾系數對于收入從窮人向富人轉移時非常敏感。Pedro Concei??o和 Pedro Ferreira（2000）以最富的人的收入占總收入的比重作為橫坐標，以泰爾系數以及各種線性測量不平等系數為縱坐標，并確立了兩個分界點，以最富有的人的收入占總收入的實際比重為第一個分界點，以人口比重與收入比重相等時的收入比重作為第二個分界點，論證了，在第一個分界點右邊，隨著收入從窮人轉移到富人，泰爾系數的曲線會變得越來越陡峭，而線性的方法對這種改變會卻不是很敏感，同樣在第一個分界點左邊，隨著收入從富人轉移到窮人（最富的人的收入占總收入的比重的下降）線性對不平等的測量法以及泰爾系數都會呈現下降的趨勢，而泰爾系數會下降得更快。當最富的人的收入占總收入的比重下降到與富人占總人口的比重相同之時，所有測量不平等的方法（包括泰爾系數）都歸為0。當在第二個分界點的左邊時，這也就等同于窮人的收入比重超過了富人的收入比重（假設收入只被分為兩部分，窮人和富人），這時不平等又開始增加（Pedro Concei??o和 Pedro Ferreira，2000）。

假設2，當一個以家庭為單位的人口總體可以被劃分為若干相互完全獨立的小組時，對泰爾系數的統計計算可以由兩部分構成，一部分是組間的泰爾系數（Tg），另一部分是組內的泰爾系數（Tg）：

wi代表第i個組中的收入占總收入的比重。pi代表第i組中人口占總人口的比重。

nj表示第i組中第j個家庭人口占總人口的比重，yj表示第i組中第j個家庭收入占總收入的比重。

Theil系數可分解的特性可以幫助我們對組間的收入分配彈性進行分析。有兩種不平等會對總體不平等產生效應：

（1）純分配效應：組內個體的不平等對總體不平等產生的影響。用ΔwΔT表示。

（2）組份額效應：這是由于各組的權重（wi）反映到了總體的不平等中，用Δw表示。

則每組對總體對不平等的貢獻由ΔT*Δw來表示。Shorrocks（1980）提出只有‘entrop based的家庭構成的總體才可以將不平等分解成為組內和組間來進行解釋。endprint

摘 要：測量收入不平等以及研究貧困問題主要采用的兩種方法就是利用基尼系數和泰爾指數。基尼系數的計算本身存在三種最為常用的區別，而泰爾指數在組內組間分解上更優于基尼系數，但是由于其計算收入轉移上的敏感性，使得其與基尼系數相比更可能高估不平等。通過對比這兩種計算方法，可以對不同的微觀數據采用不同的方法。

關鍵詞：基尼系數；泰爾系數；收入不平等

中圖分類號：F0 文獻標志碼：A 文章編號：1673-291X（2014）07-0012-03

一、基尼系數的測量

就衡量收入不平等而言，我們最為常用的方式就是使用基尼系數進行衡量。從1921年基尼系數（Gini，1921）第一次出現到現在已經有八十年的歷史（Xu，Kuan，2004），對基尼系數的研究和分析已經形成一套很成熟的方法和并積累了大量相關的文獻。在對基尼系數論述的的文獻歷史中，Anand （1983）和Chakravarty （1990）對包括基尼系數在內的不平等測量方法進行了全面的調查，Lambert （1989），以及Atkinson and Bourguignon （2000）也對利用基尼系數衡量收入不平等以及貧困問題提供了全面的參考文獻。對于基尼系數的發展歷程及文獻綜述回顧可以參見Kuan Xu（2004），其根據以往的文獻對基尼系數的產生和發展進行了一次全面的梳理，同時對基尼系數的解釋，社會福利效應以及收入分解都做了詳細的介紹。在Kuan Xu（2004）的文章中，基尼系數定義為用來衡量收入、消費以及財產分配差異的指標。對基尼系數的測量主要有三種方法：幾何法、協方差法以及矩陣法。

（一）幾何法

對于幾何法而言，主要是根據洛倫茲曲線來對基尼系數進行幾何描述，其初始公式為：

A：是洛倫茲曲線與完全平等曲線（45度線）之間的區域面積

B：是洛倫茲曲線以下的區域面積

以人口的累積百分比由低到高作為橫坐標，由收入的累計百分比由低到高作為縱坐標。Sen （1973）把基尼系數的公式定義為：

n代表人口數，μy代表平均收入，yi 代表第i個人的收入。

（二）協方差法

協方差法相對于幾何法，計算更為簡單。在收入離散分配的前提下。Anand （1983）得出基尼系數的計算公式為：

則基尼系數可以等價為：

n代表人口數，μy代表平均收入，yi代表第i個人的收入。

這種方法的優勢在于通過使用統計軟件中自帶的協方差程序，計算過程可以大大簡化。

（三）矩陣法

矩陣法是由Pyatt （1976）以及Silber （1989）為了進行收入分解而設計的方法。在Gini （1912），Kendall以及Stuart （1958）的著作《高級統計學原理》中，采用了“相對平均差異”這樣一個概念：

則基尼系數（Kendal and Stuart，1963）定義為：G= （7）

根據G=，|yi-yj |=2max（0，yi-yj ）（Pyatt （1976））

上述的表達式也可以寫成：

假設總人口可以被劃分為k組，第i組占有總人口中pi份額的人口，則“平均期望收益”可以表示為：

Silber （1989）提出了另外一種計算基尼系數的方法。經過Sen（1973），Donaldson 與Weymark（1980）對基尼系數計算的研究，Gini系數最初計算公式為公式（3）

根據（i-1）代表低于個人i收入的人數占總人數的比重，（n-i）代表高于個人i收入的人數占總人數的比重（Berrebi，Z.M.；Silber，1985）。

公式（12）中，y是升序排列；如果y是降序排列，則，令i+j=n+1，得公式（12）。

衡量不平等原理的基尼系數的定義可以表示為：

其中Sj表示收入排名第j的個人他所擁有的收入占總收入的比重，（Si=）。公式（12）被證明（Xu，Kuan，2004）也可以轉化為：

以矩陣的形式可以表示為：

二、泰爾系數的測量

從歷史上看，作為衡量不平等的方法，泰爾系數相對基尼系數來說，從提出到應用到的時間相對較短。Henri Theil認為泰爾系數就是把作為事前概率的人口比例轉化為事后概率的收入比例，從間接信息當中獲取有用內容的方法。（Henri Theil，1967）。而Amartya Sen （1997）則認為泰爾系數還只是一個無法控制的公式。泰爾系數提供了一種測量組間收入分布與人口分布之間差異的方法。

假設1，人口只有富人和窮人兩部分構成時，泰爾系數可以表示為：

wrich表示富人收入占總收入的比重，wpoor表示窮人收入人占總收入的比重。

從上式中我們可以得出的結果是：泰爾系數核心是：通過對各組收入與人口的份額的比值求對數，再進行加權求和，來比較收入在人口中的分配結構。它的一個非常重要的特性就是：泰爾系數對于收入從窮人向富人轉移時非常敏感。Pedro Concei??o和 Pedro Ferreira（2000）以最富的人的收入占總收入的比重作為橫坐標，以泰爾系數以及各種線性測量不平等系數為縱坐標，并確立了兩個分界點，以最富有的人的收入占總收入的實際比重為第一個分界點，以人口比重與收入比重相等時的收入比重作為第二個分界點，論證了，在第一個分界點右邊，隨著收入從窮人轉移到富人，泰爾系數的曲線會變得越來越陡峭，而線性的方法對這種改變會卻不是很敏感，同樣在第一個分界點左邊，隨著收入從富人轉移到窮人（最富的人的收入占總收入的比重的下降）線性對不平等的測量法以及泰爾系數都會呈現下降的趨勢，而泰爾系數會下降得更快。當最富的人的收入占總收入的比重下降到與富人占總人口的比重相同之時，所有測量不平等的方法（包括泰爾系數）都歸為0。當在第二個分界點的左邊時，這也就等同于窮人的收入比重超過了富人的收入比重（假設收入只被分為兩部分，窮人和富人），這時不平等又開始增加（Pedro Concei??o和 Pedro Ferreira，2000）。

假設2，當一個以家庭為單位的人口總體可以被劃分為若干相互完全獨立的小組時，對泰爾系數的統計計算可以由兩部分構成，一部分是組間的泰爾系數（Tg），另一部分是組內的泰爾系數（Tg）：

wi代表第i個組中的收入占總收入的比重。pi代表第i組中人口占總人口的比重。

nj表示第i組中第j個家庭人口占總人口的比重，yj表示第i組中第j個家庭收入占總收入的比重。

Theil系數可分解的特性可以幫助我們對組間的收入分配彈性進行分析。有兩種不平等會對總體不平等產生效應：

（1）純分配效應：組內個體的不平等對總體不平等產生的影響。用ΔwΔT表示。

（2）組份額效應：這是由于各組的權重（wi）反映到了總體的不平等中，用Δw表示。

則每組對總體對不平等的貢獻由ΔT*Δw來表示。Shorrocks（1980）提出只有‘entrop based的家庭構成的總體才可以將不平等分解成為組內和組間來進行解釋。endprint

摘 要：測量收入不平等以及研究貧困問題主要采用的兩種方法就是利用基尼系數和泰爾指數。基尼系數的計算本身存在三種最為常用的區別，而泰爾指數在組內組間分解上更優于基尼系數，但是由于其計算收入轉移上的敏感性，使得其與基尼系數相比更可能高估不平等。通過對比這兩種計算方法，可以對不同的微觀數據采用不同的方法。

關鍵詞：基尼系數；泰爾系數；收入不平等

中圖分類號：F0 文獻標志碼：A 文章編號：1673-291X（2014）07-0012-03

一、基尼系數的測量

就衡量收入不平等而言，我們最為常用的方式就是使用基尼系數進行衡量。從1921年基尼系數（Gini，1921）第一次出現到現在已經有八十年的歷史（Xu，Kuan，2004），對基尼系數的研究和分析已經形成一套很成熟的方法和并積累了大量相關的文獻。在對基尼系數論述的的文獻歷史中，Anand （1983）和Chakravarty （1990）對包括基尼系數在內的不平等測量方法進行了全面的調查，Lambert （1989），以及Atkinson and Bourguignon （2000）也對利用基尼系數衡量收入不平等以及貧困問題提供了全面的參考文獻。對于基尼系數的發展歷程及文獻綜述回顧可以參見Kuan Xu（2004），其根據以往的文獻對基尼系數的產生和發展進行了一次全面的梳理，同時對基尼系數的解釋，社會福利效應以及收入分解都做了詳細的介紹。在Kuan Xu（2004）的文章中，基尼系數定義為用來衡量收入、消費以及財產分配差異的指標。對基尼系數的測量主要有三種方法：幾何法、協方差法以及矩陣法。

（一）幾何法

對于幾何法而言，主要是根據洛倫茲曲線來對基尼系數進行幾何描述，其初始公式為：

A：是洛倫茲曲線與完全平等曲線（45度線）之間的區域面積

B：是洛倫茲曲線以下的區域面積

以人口的累積百分比由低到高作為橫坐標，由收入的累計百分比由低到高作為縱坐標。Sen （1973）把基尼系數的公式定義為：

n代表人口數，μy代表平均收入，yi 代表第i個人的收入。

（二）協方差法

協方差法相對于幾何法，計算更為簡單。在收入離散分配的前提下。Anand （1983）得出基尼系數的計算公式為：

則基尼系數可以等價為：

n代表人口數，μy代表平均收入，yi代表第i個人的收入。

這種方法的優勢在于通過使用統計軟件中自帶的協方差程序，計算過程可以大大簡化。

（三）矩陣法

矩陣法是由Pyatt （1976）以及Silber （1989）為了進行收入分解而設計的方法。在Gini （1912），Kendall以及Stuart （1958）的著作《高級統計學原理》中，采用了“相對平均差異”這樣一個概念：

則基尼系數（Kendal and Stuart，1963）定義為：G= （7）

根據G=，|yi-yj |=2max（0，yi-yj ）（Pyatt （1976））

上述的表達式也可以寫成：

假設總人口可以被劃分為k組，第i組占有總人口中pi份額的人口，則“平均期望收益”可以表示為：

Silber （1989）提出了另外一種計算基尼系數的方法。經過Sen（1973），Donaldson 與Weymark（1980）對基尼系數計算的研究，Gini系數最初計算公式為公式（3）

根據（i-1）代表低于個人i收入的人數占總人數的比重，（n-i）代表高于個人i收入的人數占總人數的比重（Berrebi，Z.M.；Silber，1985）。

公式（12）中，y是升序排列；如果y是降序排列，則，令i+j=n+1，得公式（12）。

衡量不平等原理的基尼系數的定義可以表示為：

其中Sj表示收入排名第j的個人他所擁有的收入占總收入的比重，（Si=）。公式（12）被證明（Xu，Kuan，2004）也可以轉化為：

以矩陣的形式可以表示為：

二、泰爾系數的測量

從歷史上看，作為衡量不平等的方法，泰爾系數相對基尼系數來說，從提出到應用到的時間相對較短。Henri Theil認為泰爾系數就是把作為事前概率的人口比例轉化為事后概率的收入比例，從間接信息當中獲取有用內容的方法。（Henri Theil，1967）。而Amartya Sen （1997）則認為泰爾系數還只是一個無法控制的公式。泰爾系數提供了一種測量組間收入分布與人口分布之間差異的方法。

假設1，人口只有富人和窮人兩部分構成時，泰爾系數可以表示為：

wrich表示富人收入占總收入的比重，wpoor表示窮人收入人占總收入的比重。

從上式中我們可以得出的結果是：泰爾系數核心是：通過對各組收入與人口的份額的比值求對數，再進行加權求和，來比較收入在人口中的分配結構。它的一個非常重要的特性就是：泰爾系數對于收入從窮人向富人轉移時非常敏感。Pedro Concei??o和 Pedro Ferreira（2000）以最富的人的收入占總收入的比重作為橫坐標，以泰爾系數以及各種線性測量不平等系數為縱坐標，并確立了兩個分界點，以最富有的人的收入占總收入的實際比重為第一個分界點，以人口比重與收入比重相等時的收入比重作為第二個分界點，論證了，在第一個分界點右邊，隨著收入從窮人轉移到富人，泰爾系數的曲線會變得越來越陡峭，而線性的方法對這種改變會卻不是很敏感，同樣在第一個分界點左邊，隨著收入從富人轉移到窮人（最富的人的收入占總收入的比重的下降）線性對不平等的測量法以及泰爾系數都會呈現下降的趨勢，而泰爾系數會下降得更快。當最富的人的收入占總收入的比重下降到與富人占總人口的比重相同之時，所有測量不平等的方法（包括泰爾系數）都歸為0。當在第二個分界點的左邊時，這也就等同于窮人的收入比重超過了富人的收入比重（假設收入只被分為兩部分，窮人和富人），這時不平等又開始增加（Pedro Concei??o和 Pedro Ferreira，2000）。

假設2，當一個以家庭為單位的人口總體可以被劃分為若干相互完全獨立的小組時，對泰爾系數的統計計算可以由兩部分構成，一部分是組間的泰爾系數（Tg），另一部分是組內的泰爾系數（Tg）：

wi代表第i個組中的收入占總收入的比重。pi代表第i組中人口占總人口的比重。

nj表示第i組中第j個家庭人口占總人口的比重，yj表示第i組中第j個家庭收入占總收入的比重。

Theil系數可分解的特性可以幫助我們對組間的收入分配彈性進行分析。有兩種不平等會對總體不平等產生效應：

（1）純分配效應：組內個體的不平等對總體不平等產生的影響。用ΔwΔT表示。

（2）組份額效應：這是由于各組的權重（wi）反映到了總體的不平等中，用Δw表示。

則每組對總體對不平等的貢獻由ΔT*Δw來表示。Shorrocks（1980）提出只有‘entrop based的家庭構成的總體才可以將不平等分解成為組內和組間來進行解釋。endprint