非線性小波閾值選取形式對小波降噪效果的影響分析

周大志，鐘功祥，吳 英

(1.四川鹽業地質鉆井大隊，四川 自貢 643000;2.西南石油大學機電工程學院，成都 610500;3.自貢天龍化工有限公司，四川 自貢 643000)

引 言

實際采集的振動信號的特征之一是信噪比低，要在測得的振動信號里很容易地提取故障特征量，首先要進行的就是信號降噪處理，提高其信噪比。而目前常用的信號降噪方法有濾波器降噪法(包括高通、低通、帶通濾波)、相關降噪法(包括自相關、互相關降噪)、奇異值分解降噪法、小波降噪法等，不過由于具有自適應調節作用閾值降噪的特性［1］，小波降噪是最有效的方法。因此，對于小波降噪法，作用閾值的選取形式是降噪效果優劣的關鍵之一。

本文通過在構成復雜信號的基本信號源上添加不同強度的高斯白噪聲形成信噪比為-15 dB、-10 dB、-5 dB、0 dB、5 dB、10 dB、15 dB 的信號，用這些不同信噪比的信號作為降噪測試信號，依據降噪的評價準則，對不同非線性小波閾值選取形式降噪后能量比和標準差進行作圖對比分析，從而得出不同閾值形式下的降噪效果與結論，為以后信號小波降噪時選擇非線性小波閾值形式提供一定的理論依據。

1 小波降噪

1.1 小波降噪原理

設一個沒有噪聲的信號為f(n)，被噪聲污染后信號為s(n)，則基本噪聲模型為:

式中，e(n)為噪聲，σ為噪聲強度。降噪過程就是要抑制e(n)而恢復f(n)，如圖1所示。

圖1 小波降噪過程

從圖1降噪過程看出，帶噪聲的信號在小波分解后得到的各層的分解系數時，需要作用閾值對小波系數進行舍取，也就是對信號進行降噪，得到取舍后的小波系數，重構信號，這一過程叫做小波降噪過程。

1.2 非線性小波變換的閾值形式

非線性小波變換閾值的基本原則是根據降噪前后信號在最壞情況下方差最小的原則來確定一個統一的非線性小波變換閾值，然后截取超出這個閾值的系數。

閾值選取形式［2］如下:

(1)基于Stein無偏似然估計(SURE)的軟閾值估計(rigrsure)。

(2)長度對數閾值(sqtwolog):

其中，t*為最小極大方差的閾值［N為信號長度。

(3)啟發式(SURE)閾值(heursure)。

(4)最小極大方差閾值(minimaxi):

1.3 小波降噪準則

閾值降噪必須滿足降噪準則，即降噪后信號的光滑性與相似性。降噪準則在閾值形式選擇上可以表現為降噪后信號與原信號的能量比值和標準差，反之，能量比值和標準差間接的對應上降噪準則的光滑性和相似性。

2 非線性小波閾值降噪分析

2.1 測試信號的選擇

結合工程中常用的信號特點，選取信號為:單一頻率的正弦波(單諧波)、兩個不同頻率正弦波疊加(雙諧波)、典型的 blocks波(方波)、doppler波和調制波［3］。這些信號基本代表了工程中的常見信號形式以及各種復雜信號的基本組成形式，信號的具體形式見表1。

表1 信號的具體形式列表

2.2 降噪條件的設定

對非線性小波變換閾值形式進行對比研究，就要設定它們在同樣的條件下進行降噪，而用非線性小波變換閾值形式降噪主要設計到四個主要因素［4］，分別為小波基、小波分解層數、閾值重構方法以及軟硬閾值。為了在同等條件下對不同非線性小波變換閾值形式降噪的對比，為此，選取降噪用的小波基為sym8，小波分解層數為 5 層［5］，閾值重構方法為 Sln［6］，并采用軟閾值形式。

再根據實際振動信號信噪比低的特點，在基本信號源上添加不同強度的高斯白噪聲形成信噪比為-15 dB、-10 dB、-5 dB、0 dB、5 dB、10 dB、15 dB 的信號［5］，用這些不同信噪比的信號作為降噪測試信號進行非線性小波閾值形式對比分析。

2.3 非線性小波閾值降噪仿真實驗

分別對不同的信號源添加不同強度的白噪聲形成不同信噪比的信號，進行不同非線性小波閾值形式的小波降噪分析，得出不同信號運用不同非線性小波閾值形式在不同信噪比下進行小波降噪后的能量比和標準差，根據能量比和標準差繪制各自的降噪能力趨勢對比圖及信號降噪后的部分對比圖，從而清楚地得到在不同閾值形式下降噪能力，如圖2～圖11所示。

圖2 單諧波降噪后的變化趨勢對比圖

圖3 單諧波信號不同閾值降噪后效果對比圖

圖4 雙諧波降噪后的變化趨勢對比圖

圖5 雙諧波信號不同閾值降噪后效果對比圖

圖6 blocks波降噪后的變化趨勢對比圖

圖7 Blocks波信號不同閾值降噪后效果對比圖

圖8 doppler波降噪后的變化趨勢對比圖

圖9 doppler波信號不同閾值降噪后效果對比圖

從圖2(a)可以看出，單諧波函數用非線性小波閾值形式降噪時，整體上在信噪比-15 dB～15 dB范圍內，能量比值呈“正弦”形式且較光滑的上升的曲線，在信噪比-5 dB～5 dB范圍內能量比值變化快，剩余范圍變化放緩;對于rigrsure閾值形式在信噪比小于-5 dB時，能量比值比其余的大，保留的信號光滑性較好;而從圖2(b)中看出，降噪后的信號與含有噪聲的原信號的標準差在范圍-15 dB～15 dB逐漸減小，而降噪后信號相似性越高標準差越小。rigrsure閾值形式在不同的信噪比下標準差較小。從圖3中也可明顯看出，rigrsure閾值形式降噪效果較好。

圖10 調制波降噪后的變化趨勢對比圖

圖11 調制波信號不同閾值降噪后效果對比圖

從圖4(a)可以看出，雙諧波函數用非線性小波閾值形式降噪時，能量比整體上在信噪比-15 dB～15 dB范圍內呈上升趨勢，不過在信噪比為-5 dB處有明顯放緩停頓;在對雙諧波降噪上，rigrsure閾值形式在信噪比0 dB以下時能量保留有優勢;而從圖4(b)中看出，雙諧波函數用非線性小波閾值降噪后標準差變化與單諧波降噪后標準差變化相似，且在rigrsure閾值形式下的標準差比其他的更有優勢。如圖5所示，在信噪比為0 dB時，在rigrsure閾值形式下降噪后圖形與信號源最接近。

從圖6(a)看出，典型的blocks波降噪后能量比除了與上兩種波有相同的趨勢外，不同點在于用rigrsure閾值形式降噪后的能量比在-15 dB～-10 dB上明顯高于用其他閾值形式降噪的能量比，為此，對于blocks類型的波噪聲比小于-10 dB時，用rigrsure閾值形式進行小波降噪會更光滑。

從圖6(b)看出，典型的blocks波降噪后的標準差變化趨勢情況與上面信號基本相同。從圖7看出使用rigrsure閾值形式保留了更多的原信號特征。

從圖8(a)看出，對于doppler波，在用rigrsure閾值形式降噪后，能量比在信噪比-15 dB～5 dB范圍內幾乎呈現直線上升，其它幾種非線性小波變換閾值形式降噪后能量比變化趨勢與前面情況基本相同;且對于這類信號用rigrsure閾值形式降噪后的能量比值在信噪比-15 dB～-5 dB范圍內有優勢。

從圖8(b)看出，doppler波在不同非線性小波閾值形式降噪后的標準差變化趨勢基本相同，且與前幾類信號的標準差的變化趨勢也相似。

從圖9可看出，在信噪比為0 dB時，運用rigrsure、minimaxi、heursure閾值形式降噪后保留了信號的局部特性，為此，降噪后信號的光滑性和相似性都保留較好。

從圖10(a)看出，調制波用非線性小波閾值降噪后能量比與前面幾類信號降噪后的能量比情況有所不同，在運用所有閾值形式降噪后能量比整體上呈上升趨勢，在-15 dB～5dB都接近呈“直線”形式，且在rigrsure閾值形式下降噪后能量比上升更快，說明在對調制波信號降噪時，運用rigrsure閾值形式降噪后的光滑度更好。

從圖10(b)可以看出，用rigrsure閾值形式下的小波降噪標準差曲線與其他幾種在信噪比-10 dB處有明顯的分離且在相同的信噪比時，標準差較小。說明用rigrsure閾值形式的小波降噪對在信噪比-10 dB附近的信號降噪后，相似度更好。

而從圖11也可看出，運用rigrsure和minimaxi閾值形式進行降噪，其光滑性和相似性保留較好。

3 結論

通過在4種非線性小波閾值選取形式下對含噪信號的降噪的仿真實驗分析，得出以下結論:

(1)使用4種非線性閾值形式降噪后在信噪比-15 dB～15 dB的范圍內，能量比變化趨勢近似呈“正弦函數”形式的光滑曲線，標準差變化趨勢近似呈“指數函數”形式光滑曲線。

(2)4種閾值形式在降噪后的能量比在信噪比小于-10 dB或者大于10 dB時，變化趨勢逐漸趨于平穩;信號降噪后的標準差在信噪比大于0 dB后變化趨于平穩。

(3)在信噪比大于10 dB時，所測信號能量比都大于90%以上，標準差小于5以下，此時4種閾值選取形式下降噪效果較好。

(4)當信噪比大于0 dB時，用非線性小波的4種閾值形式進行降噪，效果基本相同。

(5)用rigrsure閾值形式進行小波降噪的整體效果比其余3種閾值選取形式要好，其余3種閾值選取形式在測試范圍內降噪效果接近。

［1］ Wang C，Wang X B，Li H，et al.Fundamental limitations on Pilot-based spectrum sensing at very low SNR［J］.Wireless Personal Communications，2012，66(4):751-770.

［2］高 志，余嘯海.Matlab小波分析工具箱原理與運用［M］.北京:國防工業出版社，2004.

［3］王拴中，朱玉田.改進小波閾值去噪法的對比性仿真實驗與分析［J］.噪聲與振動控制，2012(1):128-132.

［4］張天祥，黃小欣.基于Matlab實現小波閾值去噪的圖像處理方法［J］.現代電子技術，2013，36(5):103-105.

［5］郭 亞.振動信號處理中的小波基選擇研究［D］.合肥:合肥工業大學，2003.

［6］唐友福，劉樹林，劉 娜.小波降噪性能分析及其在往復壓縮機故障特征提取中的運用［J］.流體機械，2012，40(6):40-44.