基于均勻化方法的無梁樓蓋拓撲優化

胡 松

（貴州大學土木工程學院,貴陽 550025）

基于均勻化方法的無梁樓蓋拓撲優化

胡 松

（貴州大學土木工程學院,貴陽 550025）

采用ANSYS提供的均勻化方法對柱和承重墻支撐的實心無梁樓蓋進行拓撲優化，得到兩種樓蓋中間層應盡量挖空、柱支撐樓蓋的加勁肋宜沿對角線布置、承重墻支撐樓蓋加勁肋宜沿中線布置等結論。

無梁樓蓋；拓撲優化；均勻化方法

無梁樓蓋是指樓板中不設明梁，鋼筋混凝土樓板直接支承在柱或承重墻上的一種雙向受力樓蓋，早在上世紀50 年代即已出現。與常用的肋梁樓蓋相比，其結構高度小、板底平整、施工方便，另外沒有柱、梁、板交匯形成的大量陰棱角，特別適用于多高層建筑的地下停車場、商業用途的裙房，以及辦公、教學樓等大柱網、大開間建筑，量大面廣。

無梁樓蓋的側向剛度較差，在建造高度上受到嚴格的限制。6度和7度設防地區板柱-剪力墻結構的最大高度為80m和70m，與框架-剪力墻結構的130m和120m相比差距很大；另外，無柱帽無梁樓板的厚度與長跨的最小比值為1/30，對于跨度為8m左右的柱網來說，無梁樓板的板厚在250mm以上，樓蓋自重很大，樓蓋自重的增大使得本來側向剛度就相對較弱的板柱結構體系更為不利。因此，引入基于均勻化方法的拓撲優化原理，對實心無梁樓蓋進行拓撲優化分析。

1 均勻化方法基本原理

1988年Bendsoe和Kikuchi[1]提出結構拓撲優化設計的均勻化化方法，主要思想是：在拓撲結構的材料中引入微結構（單胞），微結構的形式和尺寸參數，決定了宏觀材料在此點的彈性性質和密度。優化過程中以微結構的單胞尺寸作為拓撲設計變量，以單胞尺寸的消長實現微結構的增刪，并產生由中間尺寸單胞構成的復合材料，以拓展設計空間，實現結構拓撲優化模型與尺寸優化模型的統一和連續化。以二維連續體為例（圖1）, 其數學模型為：

圖1 微結構

微結構的密度為：

均勻化方法的數學模型為：

約束條件為：

在上述模型中，式（2）以結構的變形能作為優化目標，以微結構的尺寸為優化設計變量；約束條件（3）根據虛功原理，以結構的靜力平衡作為約束條件；約束條件（4）考慮到優化后的體積一定不大于初始體積；約束條件（5）假設了材料特性與密度的關系。

2 無梁樓蓋拓撲優化

拓撲優化模型為柱間距為9m×9m的單跨無梁樓蓋，樓板厚度為300mm。混凝土等級為C30；彈性模量為3.0×1010N/m2；泊松比為0.2；恒荷載為2.0×103KN/m2；活荷載為3.5×103KN/m2,；結構自重由軟件自動生成，密度為2500kg/m3。無梁樓蓋采用柱支撐和承重墻支撐兩種形式，柱截面尺寸為600mm×600mm，承重墻厚度為300mm。

ANSYS通用有限元軟件[2]提供拓撲優化技術，采用的是均勻化方法。用ANSYS對上述兩種支撐的實心無梁樓蓋進行拓撲優化。采用SOLID95單元；單元網格尺寸約為200mm×200mm×100mm；優化精度準則設為0.0001；優化循環迭代次數設為40；體積縮減率為60％；目標函數為樓蓋結構的變形能達到最小，即剛度最大；柱和承重墻為非優化區域。拓撲優化結果見圖2～3。

圖2 柱支撐無梁樓蓋的單元偽密度云圖

圖3 承重墻支撐樓蓋的單元偽密度云圖

觀察單元偽密度云圖可知，兩種支撐的無梁樓蓋具有如下共同點：其一，上、下表層保留絕大部分單元，偽密度在0.1～1之間，說明上、下層混凝土單元變形能之和較大，優化時應該盡量保留；其二，中間層絕大部分單元在0～0.1之間，說明中間層單元變形能之和較小，優化時應盡量挖空，形成空腔。

偽密度在0.889～1之間的單元構成拓撲結構的骨架，其骨架存在明顯差異：其一，柱支撐樓蓋的上、下表層骨架呈四角星，承重墻支撐無梁樓蓋的上、下表層骨架呈八邊形；其二，柱支撐樓蓋的中間層骨架由柱端沿對角線延伸，承重墻支撐樓蓋的中間層骨架沿樓蓋中線延伸，因此，柱支撐無梁樓蓋的加勁肋宜沿樓蓋對角線布置，承重墻支撐無梁樓蓋的加勁肋宜沿樓蓋中線布置。

[1]Bendsoe M P, Kikuchi N.Generating optimal topologies in structural design using a homogenization method [J].Computer Methods，1988，71.

[2]博弈創作室.ANSYS9.0經典產品高級分析技術與實例詳解[M].北京：中國水利水電出版社，2005：203-227.