基于均勻化方法的無梁樓蓋拓撲優(yōu)化

胡 松

（貴州大學土木工程學院,貴陽 550025）

基于均勻化方法的無梁樓蓋拓撲優(yōu)化

胡 松

（貴州大學土木工程學院,貴陽 550025）

采用ANSYS提供的均勻化方法對柱和承重墻支撐的實心無梁樓蓋進行拓撲優(yōu)化，得到兩種樓蓋中間層應盡量挖空、柱支撐樓蓋的加勁肋宜沿對角線布置、承重墻支撐樓蓋加勁肋宜沿中線布置等結(jié)論。

無梁樓蓋；拓撲優(yōu)化；均勻化方法

無梁樓蓋是指樓板中不設(shè)明梁，鋼筋混凝土樓板直接支承在柱或承重墻上的一種雙向受力樓蓋，早在上世紀50 年代即已出現(xiàn)。與常用的肋梁樓蓋相比，其結(jié)構(gòu)高度小、板底平整、施工方便，另外沒有柱、梁、板交匯形成的大量陰棱角，特別適用于多高層建筑的地下停車場、商業(yè)用途的裙房，以及辦公、教學樓等大柱網(wǎng)、大開間建筑，量大面廣。

無梁樓蓋的側(cè)向剛度較差，在建造高度上受到嚴格的限制。6度和7度設(shè)防地區(qū)板柱-剪力墻結(jié)構(gòu)的最大高度為80m和70m，與框架-剪力墻結(jié)構(gòu)的130m和120m相比差距很大；另外，無柱帽無梁樓板的厚度與長跨的最小比值為1/30，對于跨度為8m左右的柱網(wǎng)來說，無梁樓板的板厚在250mm以上，樓蓋自重很大，樓蓋自重的增大使得本來側(cè)向剛度就相對較弱的板柱結(jié)構(gòu)體系更為不利。因此，引入基于均勻化方法的拓撲優(yōu)化原理，對實心無梁樓蓋進行拓撲優(yōu)化分析。

1 均勻化方法基本原理

1988年Bendsoe和Kikuchi[1]提出結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設(shè)計的均勻化化方法，主要思想是：在拓撲結(jié)構(gòu)的材料中引入微結(jié)構(gòu)（單胞），微結(jié)構(gòu)的形式和尺寸參數(shù)，決定了宏觀材料在此點的彈性性質(zhì)和密度。優(yōu)化過程中以微結(jié)構(gòu)的單胞尺寸作為拓撲設(shè)計變量，以單胞尺寸的消長實現(xiàn)微結(jié)構(gòu)的增刪，并產(chǎn)生由中間尺寸單胞構(gòu)成的復合材料，以拓展設(shè)計空間，實現(xiàn)結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化模型與尺寸優(yōu)化模型的統(tǒng)一和連續(xù)化。以二維連續(xù)體為例（圖1）, 其數(shù)學模型為：

圖1 微結(jié)構(gòu)

微結(jié)構(gòu)的密度為：

均勻化方法的數(shù)學模型為：

約束條件為：

在上述模型中，式（2）以結(jié)構(gòu)的變形能作為優(yōu)化目標，以微結(jié)構(gòu)的尺寸為優(yōu)化設(shè)計變量；約束條件（3）根據(jù)虛功原理，以結(jié)構(gòu)的靜力平衡作為約束條件；約束條件（4）考慮到優(yōu)化后的體積一定不大于初始體積；約束條件（5）假設(shè)了材料特性與密度的關(guān)系。

2 無梁樓蓋拓撲優(yōu)化

拓撲優(yōu)化模型為柱間距為9m×9m的單跨無梁樓蓋，樓板厚度為300mm。混凝土等級為C30；彈性模量為3.0×1010N/m2；泊松比為0.2；恒荷載為2.0×103KN/m2；活荷載為3.5×103KN/m2,；結(jié)構(gòu)自重由軟件自動生成，密度為2500kg/m3。無梁樓蓋采用柱支撐和承重墻支撐兩種形式，柱截面尺寸為600mm×600mm，承重墻厚度為300mm。

ANSYS通用有限元軟件[2]提供拓撲優(yōu)化技術(shù)，采用的是均勻化方法。用ANSYS對上述兩種支撐的實心無梁樓蓋進行拓撲優(yōu)化。采用SOLID95單元；單元網(wǎng)格尺寸約為200mm×200mm×100mm；優(yōu)化精度準則設(shè)為0.0001；優(yōu)化循環(huán)迭代次數(shù)設(shè)為40；體積縮減率為60％；目標函數(shù)為樓蓋結(jié)構(gòu)的變形能達到最小，即剛度最大；柱和承重墻為非優(yōu)化區(qū)域。拓撲優(yōu)化結(jié)果見圖2～3。

圖2 柱支撐無梁樓蓋的單元偽密度云圖

圖3 承重墻支撐樓蓋的單元偽密度云圖

觀察單元偽密度云圖可知，兩種支撐的無梁樓蓋具有如下共同點：其一，上、下表層保留絕大部分單元，偽密度在0.1～1之間，說明上、下層混凝土單元變形能之和較大，優(yōu)化時應該盡量保留；其二，中間層絕大部分單元在0～0.1之間，說明中間層單元變形能之和較小，優(yōu)化時應盡量挖空，形成空腔。

偽密度在0.889～1之間的單元構(gòu)成拓撲結(jié)構(gòu)的骨架，其骨架存在明顯差異：其一，柱支撐樓蓋的上、下表層骨架呈四角星，承重墻支撐無梁樓蓋的上、下表層骨架呈八邊形；其二，柱支撐樓蓋的中間層骨架由柱端沿對角線延伸，承重墻支撐樓蓋的中間層骨架沿樓蓋中線延伸，因此，柱支撐無梁樓蓋的加勁肋宜沿樓蓋對角線布置，承重墻支撐無梁樓蓋的加勁肋宜沿樓蓋中線布置。

[1]Bendsoe M P, Kikuchi N.Generating optimal topologies in structural design using a homogenization method [J].Computer Methods，1988，71.

[2]博弈創(chuàng)作室.ANSYS9.0經(jīng)典產(chǎn)品高級分析技術(shù)與實例詳解[M].北京：中國水利水電出版社，2005：203-227.