基于指數增長模型的全國人口預測

劉　令,楊　力,林　源

（1.吉林建筑大學，長春　130118；2.中國工商銀行股份有限公司長春凈月旅游經濟開發區支行，長春　130117）

基于指數增長模型的全國人口預測

劉令1,楊力1,林源2

（1.吉林建筑大學，長春130118；2.中國工商銀行股份有限公司長春凈月旅游經濟開發區支行，長春130117）

摘要：本文根據每十年一次的全國人口普查中總人口的數據，建立了指數增長模型，并通過1975—2010年度數據驗證了它的準確性，同時利用此模型實現了對未來總人口的預測，發現在短時間內，我國人口總數隨著時間的增長而不斷增大。

關鍵詞：人口增長率；指數增長模型；遞歸模型

0　引言

我國人口一直呈持續增長趨勢，為了發現人口增長的規律，以便于國家對人口政策作出合理調整，所以應該對未來人口進行預測，人口的預測與控制是一個較為復雜的問題，在不考慮資源與環境等干擾因素的影響下，最簡單的人口增長與預測方案是人所共知的指數增長模型[1]。

1　指數增長模型

1.1模型的原理

指數增長是經濟學理論中重要的分析工具，當一個變量在一定時期內按固定比率增長時，指數（或幾何）增長就發生了。例如：當數量為200的人口每年以3%的比列增加時，在起始年份（第0年），人口為200，第1年人口數為200×（1+0.03）^1；第2年人口數為200（1+0.03）^2；……；第n年人口數為200×（1+0.03）^n；……按此類推。

1.2模型的建立

本文我們在排除一切外界干擾因素的影響下，建立了指數增長模型[1]：標記當年人口為x0，l 年后人口為xl，年增長率為r，則

顯見，公式（1）中的年增長率r保持不變。

我們令t年的人口數目為x（t），當考察一個國家的人口時，x（t）便是一個很大的數。利用微積分學這一數學工具，不妨把x（t）視為一個連續可微的函數，令初始時刻t=0年的人口為x0，假設r為常數，即單位時間內人口變化率等于r乘以x（t），于是，得到x（t）滿足微分方程

簡單求解，得

r＞0時，（3）式表示人口按照指數規律隨時間無限增長，因此,我們得到了以指數增長為依據的人口預測與控制模型。

1.3模型參數r的估計

為了估計指數增長模型（2）或（3）中的參數r和x0（1975的人口總數），需將（3）式取對數，得

用MATLAB等軟件對人口統計數據進行擬合，可得到參數r。

2　人口的預測

我國1972年開始實行計劃生育政策，根據全國人口普查數據，為了使預測結果更加精確，我們節選1975-2010年的全國人口普查數據[2]，每隔五年抽取一組，得到8組數據，分別為：1975年919.7百萬人，1980年987.05百萬人，1985年1058.51百萬人，1990年1160.02百萬人，1995年1212.1百萬人，2000年1295.33百萬人，2005年1306.28百萬人，2010年1370.53百萬人。

將上述數據代入指數模型之中，并使用MATLAB等軟件進行分析，我們得到 的值為0.0577（5年），根據公式（3）計算，求得1975年—2010年中每5年的全國預測總人口數目，整理并分析得出的結果，并通過對實際和預測人口數據作比較，求得其預測誤差為2.5%，與原有模型的預測誤差相比，可以認為該模型相當滿意。

所以，我們運用指數增長模型對未來40年我國人口總數進行預測，得出結果如下：2015年人口的總數目1389.2百萬人，2020年1425.5百萬人，2025年1455.9百萬人，2030年1479.9百萬人，2035年1502.3百萬人，2040年1518.0百萬人，2045年1523.0百萬人，2050年1527.7百萬人。

不難發現，在短時間內，我國人口總數隨著時間的增長而不斷增大。

3　結語

運用指數增長模型對人口數目進行短期預測是相當準確的。但該模型中人口的數量將隨著時間的增長無限制增長，顯然，是與實際情況不符的，在資源與環境等因素的干擾下，某個地區的人口是不可能無限制增長的，當增長到一定的數量后，增長速率將會慢下來，因此，為了更好的預測我國人口的發展，我們亟需引進更貼近實際狀況的模型來解決此類問題。

參考文獻：

[1]姜啟源.數學模型[M].北京：高等教育出版社，2011.

[2]國家人口發展戰略研究課題組國家人口發展戰略研究報告[R].2012.

[3]付加鋒中國東部沿海地區產業結構預測及其結構效益評價[R].2006.

[4]國家統計局1990-2010年六次人口普查數據[R].

作者簡介：劉令（1982—），女，吉林長春人，博士，主要研究偏微分方程。