數學模型方法在解題中的應用

祁金陵

摘要：數學模型是針對或參考數學對象的特征或數量關系，采用形式化數學語言，概括地或近似地表述出來的一種數學結構。數學模型方法是處理數學理論問題的一種重要方法，也是處理各種實際問題的一般數學方法。運用數學模型方法需要有較強的理解實際問題的能力，以及通過實踐加以驗證的能力。重視數學模型方法的教學可以大大提高學生的解題能力，對培養學生的能力是十分有益的。

關鍵詞：數學模型；數學模型方法；數學解題

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2014）02-0077-03

數學模型方法是處理數學理論問題的一種重要方法，也是處理各種實際問題的一般數學方法。現代各門應用數學之所以具有解決實際問題的能力，主要就是通過提供數學模型方法而顯示出來的。

一、數學模型與數學模型方法

數學模型的含義很廣，粗略地講，數學模型是針對或參考數學對象的特征或數量關系，采用形式化數學語言，概括地或近似地表述出來的一種數學結構。這種數學結構是一種用數學概念和符號刻畫的關系結構，它通過抽象分析拋棄了一切與關系無本質聯系的其他屬性。

數學模型有廣義和狹義兩種解釋，從廣義上講，一切數學概念、數學理論體系、各種方程式、函數關系、各種數學公式以及由公式系列構成的算法系統等等都可以叫數學模型。

例1：自然數1、2、3……n……是用以描述離散數量的數學模型。

例2：公式S=πr2是計算圓的面積的數學模型。

例3：歐拉把“哥尼斯堡七橋問題”抽象為一筆畫出下圖的問題（所謂一筆畫成，就是筆不離開紙，而且每條線都只能畫一次，不許重復），后者便是前者的數學模型。

構造數學模型的目的，就是為了解決具體的實際問題，因此，在應用數學中，數學模型都作狹義的解釋。

數學模型方法就是針對要解決的問題，構造相應的數學模型，通過對數學模型的研究，來解決實際問題的一種數學方法。

二、建構數學模型方法解決實際問題

應用數學去解決各類實際問題時，建立數學模型是十分關鍵的一步，同時也是十分困難的一步。建立數學模型的過程，是把錯綜復雜的實際問題簡化、抽象為合理的數學結構的過程。利用數學模型方法解決實際問題，一般分三步：

1.根據實際問題的特點，恰當構造數學模型。對所研究的實際問題即現實原型，要分析其對象與關系結構的本質屬性，抓往具有關鍵性作用的量的關系進行考察，在此基礎上進行數學抽象，用數學概念、數學符號和數學表達式簡潔地刻畫事物對象及關系。如現有數學工具不夠用時，還可提出新的數學概念和方法，去表現數學模型。

2.在建立的數學模型上進行邏輯推理或數學演算，求得解答。

3.把從數學模型上得到的理論解答返回到現實中去，看看能否確實解決問題。

以上步驟可用框圖表示如下：

如以解決“哥尼斯堡七橋問題”為例。其解題過程用框圖表示如下：

從上可見構造數學模型是關鍵性的一步。運用數學模型方法，還需要有較強的理解實際問題的能力，以及通過實踐加以驗證的能力。為此學生要多學習相關學科的知識，經常接觸實際問題，這樣就會有助于提高構造數學模型的能力和利用數學模型解決實際問題的能力。

三、數學模型方法在數學解題中的應用

數學課程標準強調：從學生已有的生活經驗出發，讓學生親身經歷將實際問題抽象為數學模型并進行解釋與應用的過程，進而使學生加深對數學理解的同時，在思維能力、情感態度與價值觀等多方面得到進步和發展。師范數學教學雖然比較重視對數學概念的理解，數學公式、定理的推導和證明，但對如何從實際問題出發，通過抽象概念，建立數學模型，再通過對數學模型的分析研究去解決實際問題方面的訓練較少，致使學生解決實際問題的能力不強。因此重視數學模型方法的教學對培養學生的能力，尤其是學生的解題能力是十分有益的。現舉幾例來說明數學解題的模型方法。

1.概念型數學模型：建模與概念原型

例1：設a>0，b>0，a+b=1，證明：■+■≤2■

思考：只要將求證式變形成

■≤2

即可想象左式為點A（■，■）到直線x+y=0的距離。

又因a+b=1，（■）2+（■）2=4

可看出點A在圓弧x2+y2=4（x>0，y>0）上。最后由AO≥AD即可證明得結論。

此題的證明，引導學生將舊知進行遷移和提升，主要借助于“點到直線的距離”和“圓”的概念來解決的。這可以看作是一種概念型數學模型。很多這樣的模型都是基于現實的生活情境作出適度抽象后的產物。

2.方法型數學模型：建模與符號化思想

例2：設a、b、c為非負數，求證：■+■+■≥■（a+b+c）

思考：觀察求證式之左邊為算術根之和，且根號內出現平方和，由此結構特征，聯想到復數的模，故不等式左端可視作復數的模之和。由于a、b、c為非負數，右端則有a+b+c=a+b+c

由復數模的性質：z1+z2+z3≤z1+z2+z3※為模型，設復數z1=a+bi，z2=b+ci，z3=c+ai

由式※可以得

■+■+■≥

■=■（a+b+c）

此種建模可看作是一種方法性模型。作為一種方法型數學模型，不能僅僅滿足于形式化地將模型揭示出來，更要知曉其背后的原理，這也許就是大家常說的算法與算理的統一吧。

3.結構型數學模型：建模與變式理論

例3：證明：a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-bc-ca-ab）

分析：此等式當然可應用配方等方法來證明。但由左邊式子的特點可以看出它是一個三階行列式的展開式，若能以a、b、c為元素構造一個三階行列式的模型，則可利用三階行列式的性質展開行列式，從而達到證題的目的。

證明：以a、b、c為元素構造行列式，并有

a b cc a bb c a=a3+b3+c3-3abc

根據行列式的性質得：

a b cc a bb c a=a+b+c b cc+a+b a bb+c+a c a=（a+b+c）1 b c1 a b1 c a=（a+b+c）（a2+b2+c2-bc-ca-ab）

∴a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-bc-ca-ab）

上例可以看作是這一類問題的結構型模型，模型只有與變式相伴才有活力和魅力，也才能彰顯其意義。

通過上面的幾個例子，我們可以初步領略在解決問題中數學模型是怎樣發揮其功能的。在解答數學題時，教師如果有意識地引導學生從題目的特點出發恰當構造幾何、代數、三角等數學模型，往往能另辟蹊徑，尋找出簡便解法，闖出一條新路子。學有余力的同學，將這種方法作為其他解法的補充，于發展智力、培養能力是有益的，尤其有助于提高解題能力。

總的說來，數學模型是對現實世界的某一特定研究對象，在作了必要的簡化和假設之后，運用適當的數學工具，并通過數學語言提煉、表達出來的一個數學結構，如數學公式、數學概念、解題方法及某類知識的特征等。有了建模意識，把數學模型方法恰當地應用到數學解題中，可以讓我們對數學問題的把握更貼近本原，目光更長遠，見解更獨到。

責任編輯：石萍

Application of Mathematics Mold Method in Problem Solving

QI Jin-ling

（Yancheng Higher Normal College， Yancheng 224006， China）

Abstract： Mathematics mold is actually a kind of mathematics structure by referring to the features or quantitative relations of mathematics objects and by adopting the formalized language of mathematics. Mathematics mold method is an important method of dealing with mathematic questions and also a mathematic way of solving practical problems. Using the method needs stronger abilities of understanding and testing through practice. Emphasis on using this method may greatly increase students ability of solving questions， which is extremely salutary to the cultivating of their competence.

Key words： mathematics mold； mathematics mold method； mathematic problem solving