一類極限問題簡(jiǎn)化解法的啟示

王建輝　張平　高興花

摘 要 極限的概念是微積分中最基本的概念，微積分中的許多概念都是以極限的形式給出的。同樣，極限的運(yùn)算方法也是微積分中最重要的方法之一，微積分許多定理和性質(zhì)都要以極限的方法來證明，我們可以通過多種方法解決一些初等函數(shù)的極限問題，但有一些問題用常規(guī)方法解決的話，顯得比較繁瑣，學(xué)生不容易接受。筆者在教學(xué)過程中進(jìn)行了一些嘗試，發(fā)現(xiàn)并總結(jié)了一些更適合于學(xué)生的規(guī)律和方法，下面就來探討一類極限問題的簡(jiǎn)化解法。

關(guān)鍵詞 觀察和分析 總結(jié)和探討 事半功倍

中圖分類號(hào)：G71 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

極限的概念和方法是微積分中最基本的概念和最重要的方法之一，特別是對(duì)于一些初等函數(shù)的求極限問題，不同的函數(shù)類型有不同的方法，我們還要具體問題具體分析，針對(duì)不同的類型找出相應(yīng)的方法。在求極限時(shí)我們經(jīng)常會(huì)遇到這樣一種類型：

這里為常數(shù)，且a0≠0，b0≠0，m，n為正整數(shù)。對(duì)于這種類型，通常情況下我們會(huì)采用以下兩種解法：解法一是通過分子、分母同除以分子、分母的最高次冪，將無窮大量轉(zhuǎn)化為無窮小量，再根據(jù)極限的運(yùn)算法則求出該函數(shù)的極限。解法二是利用導(dǎo)數(shù)在極限中的重要應(yīng)用——羅比達(dá)法則，分子、分母分別求導(dǎo)，進(jìn)而求出該函數(shù)的極限。

觀察例1解法不難看出，分式的分子、分母都是按降冪排列的。在解法一中，當(dāng)分子、分母同時(shí)除以x3后得到了，其分子、分母從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都無窮小量，從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都是前一項(xiàng)的高階無窮小量。因此，不管是分子還是分母，其極限值取決于第一項(xiàng)（次數(shù)最高的項(xiàng)）。在解法二中，當(dāng)連續(xù)三次使用羅比達(dá)法則后得到了，其分子、分母也是由原來分子、分母的第一項(xiàng)（次數(shù)最高的項(xiàng)）求導(dǎo)得到的。

故的值只與分子、分母的第一項(xiàng)有關(guān)，與后面的項(xiàng)無關(guān)，解法可簡(jiǎn)化為：。

例1中分子、分母的最高次冪的次數(shù)是相等的，對(duì)于分子、分母最高次冪的次數(shù)不相等的情況又會(huì)怎樣呢？

觀察例2解法不難看出，分式的分子、分母也都是按降冪排列的。在解法一中，當(dāng)分子、分母同時(shí)除以后得到了，其分子的每一項(xiàng)都無窮小量，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都是前一項(xiàng)的高階無窮小量；其分母從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都無窮小量，從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都是前一項(xiàng)的高階無窮小量。因此，不管是分子還是分母，其極限值取決于第一項(xiàng)（次數(shù)最高的項(xiàng)）。在解法二中，當(dāng)連續(xù)三次使用羅比達(dá)法則后得到了，其分子是由原來分子的第一項(xiàng)（次數(shù)最高的項(xiàng)）求導(dǎo)得到的，其分母的值主要取決于24x，而24x也是由原來分母的第一項(xiàng)（次數(shù)最高的項(xiàng)）求導(dǎo)得到的。

如果分子的最高次冪次數(shù)比分母高，我們可以先取倒數(shù)，轉(zhuǎn)化成分子的最高次冪次數(shù)比分母高低的情況來解。

綜上所述，的值只與分子、分母的第一項(xiàng)有關(guān)，與后面的項(xiàng)無關(guān)，故解法可簡(jiǎn)化為：

通過觀察與分析，總結(jié)出了對(duì)于該類型的極限的更加簡(jiǎn)潔的求法，得出的規(guī)律更便于學(xué)生掌握。所以在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，我們要善于引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察和分析，勇于總結(jié)和探討，在總結(jié)中找出規(guī)律，加深對(duì)問題的理解，提高學(xué)生的分析問題、解決問題的能力。