改進(jìn)的GM（1，1）模型在小南海泉涌泉量預(yù)測中的應(yīng)用

原玉昌　袁國寶　崔曉　暴占軍

摘要灰色系統(tǒng)模型在貧信息、小樣本的非線性系統(tǒng)建模中具有明顯優(yōu)勢，適合對時間序列較短時的需水量進(jìn)行預(yù)測。針對基本灰色預(yù)測模型背景值構(gòu)造不合理，及未充分利用新信息的缺點(diǎn)，采用重構(gòu)背景值和等維遞補(bǔ)原理對基本GM（1，1）模型進(jìn)行改進(jìn)，并利用改進(jìn)模型對安陽市小南海泉的涌泉量進(jìn)行擬合和預(yù)測，結(jié)果表明，改進(jìn)模型預(yù)測精度更高。

關(guān)鍵詞涌泉量預(yù)測；灰色預(yù)測；重構(gòu)背景值GM（1，1）；等維遞補(bǔ)GM（1，1）

中圖分類號S181.3文獻(xiàn)標(biāo)識碼A文章編號0517-6611（2014）22-07574-03

小南海泉出露于洹河河谷之中，是河南省的名泉，年均涌水量1.3億m3，相當(dāng)于一座大型水庫的庫容。小南海泉水經(jīng)過下游的彰武水庫調(diào)節(jié)，擔(dān)負(fù)著安陽市區(qū)用水量近一半的供水任務(wù)，是安鋼、電廠、安化集團(tuán)及萬金灌區(qū)的主要水源，也是市區(qū)生活用水的重要后備水源地，在安陽市國民經(jīng)濟(jì)和社會發(fā)展中占有舉足輕重的地位，被稱為安陽市的“生命泉”。近年來，隨著安陽市社會經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，城市水資源供需矛盾日益突出，嚴(yán)重制約了城市經(jīng)濟(jì)的發(fā)展。及時準(zhǔn)確地預(yù)測小南海泉的涌泉量是城市供水系統(tǒng)優(yōu)化調(diào)度的基礎(chǔ)，對保護(hù)、合理開發(fā)小南海泉域地下水資源、實(shí)現(xiàn)區(qū)域水資源的合理配置、緩解城市水資源供需矛盾、保障安陽市經(jīng)濟(jì)、社會的可持續(xù)發(fā)展，有重要意義。

目前，常規(guī)的預(yù)測多采用回歸分析法和時間序列分析方法[1]，這些方法雖然簡單、直觀，但必須建立在大量數(shù)據(jù)樣本之上。而影響涌泉量的因素眾多，難以一一確定，導(dǎo)致建模困難，且進(jìn)行涌泉量預(yù)測時受實(shí)測數(shù)據(jù)時間系列較短、可靠性低等條件的限制，預(yù)測結(jié)果往往難以令人滿意?；疑到y(tǒng)模型在貧信息、小樣本的非線性系統(tǒng)建模中具有明顯優(yōu)勢，適合對信息不完全、時間序列較短時的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測。該研究即把受各種因素影響的涌泉量視為在一定范圍內(nèi)變化的與時間有關(guān)的灰色量，從其自身的數(shù)據(jù)列中挖掘有用信息，從而預(yù)測小南海泉的涌泉量?；净疑A(yù)測模型進(jìn)行預(yù)測時之所以在某些時候出現(xiàn)預(yù)測精度較差的現(xiàn)象，主要原因有兩點(diǎn)：①常采用傳統(tǒng)公式來構(gòu)造參數(shù)a、b的背景值，對數(shù)據(jù)變化急劇的序列預(yù)測精度較低；②且只考慮過去的全體數(shù)據(jù)，未充分利用新信息，精度較高的僅僅是最近的幾個數(shù)據(jù)，導(dǎo)致越往未來發(fā)展，預(yù)測意義就越弱。因此，筆者采用重構(gòu)背景值和等維遞補(bǔ)原理對灰色預(yù)測模型進(jìn)行改進(jìn)，并用改進(jìn)的模型對小南海泉的涌泉量進(jìn)行擬合和預(yù)測。

1 GM（1，1）模型及其改進(jìn)

1.1GM（1，1）模型灰色系統(tǒng)理論是鄧聚龍教授于1982年創(chuàng)立的[1]，是一種研究少數(shù)據(jù)、貧信息的不確定性問題的新方法。其實(shí)質(zhì)是基于灰色系統(tǒng)分析原理對含有不完全信息的研究對象的發(fā)展規(guī)律進(jìn)行預(yù)估，其核心為GM（1，1）模型，基本的GM（1，1）模型的建模步驟如下[2]。

①對無規(guī)律的、隨機(jī)的、有明顯擺動的原始數(shù)據(jù)X（0）={x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）}進(jìn)行一次累加，生成累加序列X（1）={x（1）（1），x（1）（2），…，x（1）（n）}，其中：x（1）（k）=∑k1i=1x（0）（i）（k=1，2，…，n）。新生成的數(shù)據(jù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，增加了原始數(shù)據(jù)列的規(guī)律性。

②由X（1）構(gòu)造背景值序列Z（1）=（z（1）（1），z（1）（2），z（1）（3），…，z（1）（n）），其中z（1）（k）=αx（1）（k）+（1-α）x（1）（k-1）（k=2，3，…，n），一般取α=112，做緊鄰均值生成z（1）（k）=x（1）（k）+x（1）（k-1）12（k=2，3，…，n）。

③對累加生成序列建立微分方程：

dx（1）1dt+ax（1）=b （1）

④該方程的離散解為：

x（1）（k+1）=[x（0）（1）-b1a]e-ak+b1ak=0，1，2，…，n （2）

式（1）的發(fā)展系數(shù)a和灰色作用量b由下述方法確定：

α=（a，b）T=（BTB）-1BTY （3）

其中，B=-z（1）（2）11

-z（1）（3）11

…1…

-z（1）（n）11，Y=x（0）（2）

x（0）（3）

…

x（0）（n）。

⑤GM（1，1）數(shù)列預(yù)報模型為：

x（0）（k+1）=x（1）（k+1）-x（1）（k）=（1-ea）[x（0）（1）-b1a]e-akk=1，2，…，n （4）

模型規(guī)定x（0）（1）=x（0）（1）。

GM（1，1）模型中系數(shù)a稱為發(fā)展系數(shù)，它反映系統(tǒng)的發(fā)展態(tài)勢，當(dāng)a為負(fù)值時，其絕對值越小，系統(tǒng)發(fā)展就越慢；反之，則越快。參數(shù)b稱為灰作用量，它反映數(shù)據(jù)變化的關(guān)系。

1.2 重構(gòu)背景值的GM（1，1）模型由公式（2）可知，GM（1，1）模型預(yù)測和擬合精度取決于發(fā)展系數(shù)a、灰色作用量b，而a、b的求解依賴于背景值的構(gòu)造形式。因此，背景值z（1）（k+1）的構(gòu)造公式成為直接影響GM（1，1）模型精度和適應(yīng)性的關(guān)鍵因素[3]。

由建模機(jī)理可知GM（1，1）模型擬合曲線是指數(shù)曲線，設(shè)圖1中曲線x（1）（t）為擬合指數(shù)曲線，傳統(tǒng)方法取背景值z（1）（k）=x（1）（k）+x（1）（k+1）12，即圖中的梯形abcd面積，但在區(qū)間[k，k+1]上指數(shù)曲線x（1）（t）對應(yīng)的面積總是小于梯形abcd的面積，會出現(xiàn)誤差Δs。序列數(shù)據(jù)變化越大，指數(shù)曲線曲率越大，模型誤差Δs越大。GM（1，1）模型無論是數(shù)據(jù)變化平緩的低增長指數(shù)序列，還是數(shù)據(jù)變化急劇的高增長指數(shù)序列，都采用傳統(tǒng)公式來構(gòu)造參數(shù)a、b的背景值是不盡合理的，對數(shù)據(jù)變化急劇的序列預(yù)測精度往往較差。