基于MATLAB的銑刀桿結構參數優化設計方案

張春幸 劉菊花

摘 要：分析了影響銑刀桿設計的強度、剛度等諸多因素，建立了優化選取銑刀桿結構參數的數學模型，并運用MATLAB語言對該數學模型進行求解。

關鍵字：銑刀桿；MATLAB 優化設計

在切削加工過程中，優化選擇切削參數的問題已成為現代化機械制造業中極為重要的經濟問題之一，而傳統的依靠經驗數據和查閱手冊獲取的切削參數，其生產效率低且加工成本偏高。因此，以提高切削加工效率、降低加工成本、獲得高質量產品為目的而進行的切削參數優化的研究，對提高經濟效益具有重要意義。銑削加工是機械加工中一種重要的、常見的方法之一。銑削加工的精度高，其加工的質量、安全性及可靠性與諸多因素有關，其中，銑刀桿的設計質量就是一個重要因素。工廠里的經驗法，雖然基本上滿足設計要求，但卻不是最優、最理想的設計。隨著現代計算機的普及和發展，以及在計算機條件下數值計算方法的成熟，為銑刀桿結構參數優化設計提供了條件。本文通過一個銑刀桿結構參數優化設計實例，來說明工程銑刀桿結構優化設計的基本方法，建立優化選取銑刀桿結構參數的數學模型，并運用當今流行的科學數學計算語言MATLAB對該數學模型進行求解。

1．問題的提出

普通銑刀桿自由端有集中載荷，即切削阻力P= 1000N，扭矩M=100N*m。懸臂伸出不小于100mm，刀桿直徑不大于50mm，己知使用的材料的許用彎曲應力120N/mm2，許用扭轉剪切應力80N/mm2，許用撓度[f]=0.1mm，彈性模量E=200000N/mm2，要求設計的銑刀桿用料最省，試確定銑刀桿的結構參數。

2．優化模型的建立

2.1模型的基本假設及約定

銑刀桿種類繁多，但刀桿主要的設計參數應為刀桿的桿長L(mm)和刀桿的直徑D(mm)，其他的輔助參數可由已得的L、D及使用的銑刀等條件查相關手冊得到。設計變量，寫成數學表達式：

2.2模型的建立

2.2.1確定目標函數

一般的刀桿設計都是在滿足強度、剛度等的條件下，以求用料最省，即體積最小。所以，此處選刀桿體積最小為目標函數：

2.2.2確定約束條件

（1）一般來講，為保證工件與銑刀的相對位置，刀桿的長度應大于等于某個極限值 （mm），而刀桿直徑應小于等于某個極限值 （mm）：

（2）刀桿在承受彎曲和扭轉時應具有一定的強度，才能保證加工的安全性，彎曲應力應不大于材料許用應力，剪切應力不大于材料剪切應力：

（3）銑刀桿的剛度影響被加工工件表面質量等，所以，為了保證加工質量，刀桿在承受載荷時發生的撓度f應不大于許用撓度[f]：

其中 為不同的物理模型中的最大彎曲應力與L，D的函數， 為不同的物理模型中的最大剪切應力與L，D的函數， 為不同的物理模型中的最大撓度與L，D的函數。

2.2.3進行模型的抽象化處理

將上一步得到的目標函數以及約束條件進行整理，令X 為二元矩陣，令D=x1，L=x2,可得優化選取銑刀桿結構參數的數學模型為：

注：對于不同的銑削形式，有不同的刀桿，也就對應不同的力學模型，但總可以用以上模型描述。

3．基于MATLAB優化工具箱進行模型求解

根據上面建立的數學模型對優化設計實例進行處理可得：

首先建立目標函數“fun.m”文件，以下是 fun 函數的語句：

%目標函數

function f=fun(x)

f=(pi*x(2)*x(1)*x(1)/4)

注：因MATLAB中不能識別下標值，故上述語句中的x（1）、x（2）即x1、x2分別代表刀桿直徑，刀桿長度。

接下來建立約束條件“mycon.m”文件，以下是“mycon.m”文件里包含的語句：

function[c,ceq]=mycon(x)

c(1)=[100000*x(2)-12*x(1)^3];

c(2)=[50000-8*x(1)^3];

c(3)=[34*x(2)^3-10*x(1)^4];

ceq=[];

注：上述語句中的c 矩陣為求解模型中的非線性約束。

最后建立求解文件“jie.m”（也可以不用建立求解文件，直接在MATLAB 的 command 窗口輸入以下語句即可），以下是 jie.m 中的語句：

x0=[50,100];

options=optimset('Largescale','on','TolCon',1e-8,'TolX',1e-8);

lb=[0,0];

A=[1,0;0,-1;-1,0];

b=[50;-100;-18.42];

Aeq=[];

beq=[];

[x,fval]=fmincon (@fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,[],@mycon,options)

注：因為刀桿直徑，刀桿長度不能為負值，因此 x1、x2（亦即語句中的 x（1）、x（2））的下限值向量 lb=［0，0，0］；矩陣A、b 為不等式線性約束 g1、g2的系數矩陣，矩陣 Aeq、beq 為等式線性約束的系數矩陣。通過以上的求解得x1= 42.9408mm，x2= 100.000mm，V= 1.4482e+005mm3。

表1 優化值與經驗值對比結果

比較項目 D L 目標函數 性能約束

/mm /mm V(mm3)

經驗值 45 120 1.9085e+005 11.6872 -74.5130 0.0433

優化值 42.9408 100 1.4482e+005 0.0000 -73.2314 -0.0058

4．結論

比較優化設計得到的結果，可以看出42.9408和100這兩個數值已經能滿足設計要求，所以沒有必要再進行放大了。傳統設計法因為放大而導致了材料的浪費，而利用本文所述的優化設計方法則可以很好地在經濟性和安全性中求得一個最優解。應用 MATLAB優化設計的方法，設計者只需要通過一次計算，便可得到可靠的設計結果，因此避免了傳統設計方法因設計者經驗不足而造成的過度放大，提高了效率，縮短了設計周期。設計實例的正確性和合理性充分說明該模型的正確性，而本文運用MATLAB優化工具的求解方法亦不失為一種既簡單又科學的方法。所以，本文建立的數學模型和解決方法是實用的。

5.參考文獻

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[2]李萬祥，工程優化設計與 MATLAB 實現，北京：清華大學出版社，2010

[3]吳道全、石琳，關于圓柱形球頭立銑刀結構的研究[J]，貴州工學院學報，1996

[4] 張曉紅，系列化可轉位銑刀參數化設計系統的研究[J]，煤炭技術，2006