“推理”破解生活謎題

《福爾摩斯探案集》、《名偵探柯南》、《神探夏洛克》……當我們看到這些作品的時候，腦海中浮現的是神探們破案時足智多謀，神機妙算的形象，羨慕他們有洞察先機，未卜先知的本領. 其實這些神探在破案的時候，很多都是運用了數學上的推理思想來進行的. 當我們掌握了推理的各種類型與方法時，我們也能成為一個個小神探去破解生活中的各種謎題！

推理的種類很多，數學中常用的推理有歸納推理、類比推理和演繹推理三種.

一、 歸納推理

歸納推理是由特殊到一般的推理.

例1 現在的網絡游戲中，有一個“吉普賽人祖傳的神奇讀心術”. 據說它能測算出你的內心感應. 游戲是這樣的：任意選擇一個兩位數（或者說，從10～99之間任意選擇一個數），把這個數的十位與個位相加，再把這個兩位數減去這個和.

例如：你選的數是23，然后2+3=5，然后23-5=18. 在游戲的圖表中找出與最后得出的數相應的圖形，并把這個圖形牢記心中，然后點擊網頁上的水晶球. 你會發現，水晶球所顯示出來的圖形就是你剛剛心里記下的那個圖形. 水晶球讓你感到它能神奇地讀你的心了！你玩過這個游戲嗎？到底是什么原因呢？

【解析】這實際上是一個數學游戲. 當任何一個兩位數減去它的各位數字之和的時候，我們注意到個位數字相互減去了， 所以實際上是十位數字的10倍減去它的一倍，必然是十位數字的9倍，也就是說所得的數肯定是9的倍數.

設一個兩位數十位是x，個位是y，則此兩位數為10x+y，十位數與個位數之和為x+y，那么（10x+y）-（x+y）=9x，故此數必是9的倍數. 所以游戲的圖表中，只要將所有9的倍數的對應圖片都放成同一張，那么水晶球只需要顯示一個圖案就可以了.

類似的數學游戲是很多的，往往使用的數學知識也不復雜. 只要遇到后多分析，多思考，你也會發現這些游戲的小秘密.

例2 紙牌魔術：魔術師從一副撲克牌中抽出21張，對一位觀眾說：“請你默記其中一張牌.”觀眾看了看，記住了其中一張. 魔術師把牌洗了一通，然后在桌面上分牌. 如圖1，把第一張放在圖上1的位置，第二張放在2的位置……最后一張放在21的位置上，牌面均向上，擺成三組，每組7張. 此時問觀眾，默記的牌在哪一組. 當觀眾說出在某組后，魔術師分別把三組牌收攏起來，收攏時保持牌在組內的先后順序不變，再把收攏好的三組牌疊起來拿在手中，疊的時候暗中將觀眾確認有默記牌的那組放在中間一層. 魔術師不再洗牌，隨即開始第二次分牌. 分法如前，把第一張放在圖上1的位置上，第二張放在2的位置上……然后問觀眾，默記的那張牌現在在哪一組. 當觀眾說出所在組后魔術師如前再次收攏，疊起，然后進行第三次分牌. 分好后再次問觀眾默記的牌在哪一組. 當觀眾指出所在的組后， 魔術師此時毫不猶豫地從該組中抽出一張牌來，此牌恰是觀眾默記的那一張. 他的表演博得一片掌聲. 你知道是什么原理嗎？

【解析】第一次分牌后，觀眾所默記的那張牌，比如A牌，可能出現在任何一組的任何位置. 然而，第二次分完后，A牌所在的位置只能是圖上的8～14號之一，這是因為8～14號上的那7張牌原先是一組被魔術師事先故意地放在中間一層的緣故. 現在A牌不論被分入哪一個新組，它只是新組內中間的三張牌之一，即這組內的第三、第四或第五張. 第三次分完后，A牌的位置只能是圖上的10、11、12之一了. 道理是這三個位置上的三張牌即是收攏前的A所在那組的中間的三張. 現在，由于 10、11、12號位置分別是三個組的正中間，只要觀眾說出A在哪一組，魔術師把該組正中的牌抽出來就是觀眾選擇的牌.

你也可以試試表演一下這個魔術，只是在表演的時候一定要記得每次疊放時把含A牌的一組放在中間而又不要引起觀眾注意哦！

二、 類比推理

類比推理是從特殊到特殊的推理.

例3 一天，小紅去問曾當過數學老師現在退休在家的爺爺的年齡，爺爺說：“我若是你現在這么大，你還要35年才出生呢，你若是我現在這么大，我已經是老壽星，115歲了，哈哈！”小紅納悶，爺爺到底是多少歲？

【解析】要解決上述問題，我們不妨先來解決一個我們熟悉的數學問題.

已知：如圖2，有一根木棒AB重合在數軸上，若將木棒在數軸上水平移動，則當A點移動到B點時，B點所對應的數為20，當B點移動到A點時，A點所對應的數為5（單位：cm）.

由此可得到木棒長________cm.

對于上述這個關于數軸的題目，我們很容易由數軸觀察得知三根木棒的長是20-5=15（cm），則此木棒長為5 cm.類似地，我們可以借助數軸，把小紅與爺爺的年齡差看做木棒AB，爺爺在小紅那么大時看做當B點移動到A點時，此時A點所對應的數為-35. 小紅到爺爺那么大時看做當A點移動到B點時，此時B點所對應的數為115. 可知爺爺比小紅大[115-（-35）]÷3=50（歲），爺爺的年齡為115-50=65（歲）.

類比推理是在已有知識的基礎上進一步發展科學的一種有效的探索方法. 科學史上很多著名的發現是借助于類比推理而獲得的.

例4 皇冠問題：公元前245年，為了慶祝盛大的月亮節，西拉克斯的國王給金匠一塊金子讓他做一頂純金的皇冠. 完工后，國王懷疑工匠在金冠中摻了假，但這頂金冠確與當初交給金匠的純金一樣重，到底工匠有沒有搗鬼呢？既想檢驗真假又不能破壞王冠，這個問題不僅難倒了國王，也使諸大臣們面面相覷. 這就是著名的皇冠問題.

【解析】這件看來似乎是不能完成的任務后來是由阿基米德完成的. 最初，阿基米德也是冥思苦想而不得要領. 一天，他到澡堂洗澡，當他的身體進入浴池時，他敏銳地察覺到水位上升，由此受到啟發，產生聯想，把在自己進入浴池中水位上升與求皇冠重量進行類比，他突然領悟到可以用測定固體在水中排水量的辦法，來確定金冠的比重.

他把皇冠和同等重量的純金放在盛滿水的兩個盆里，比較兩盆溢出來的水，發現放皇冠的盆里溢出來的水比另一盆多. 這就說明皇冠的體積比相同重量的純金的體積大，所以證明了皇冠里摻進了其他金屬.

這次試驗的意義遠遠大過查出金匠欺騙事件，因為阿基米德從中發現了浮力定律. 一直到現代，人們還在利用這個原理計算物體比重和測定船舶載重量.

例6 在太平洋某處海底深40米的地方，有一個日本的水生動物研究所，專門研究海豚、鯨魚的生活習性. 研究所里有主任高森和三個助手清江、島根、江山. 那里的水壓相當于5個大氣壓.

一天，吃過午飯，三個助手穿上潛水衣，分頭到海洋中去工作. 下午1點50分左右，陸地上的武滕來到研究所拜訪. 一進門，他驚恐地看到高森滿身血跡地躺在地上，已經死去. 警察到現場調查，發現高森是被人槍殺的，作案時間在1點左右，據分析，兇手就是這三個助手之一. 可是三個助手都說自己在12點40分左右就離開了研究所. 清江說：“我離開后大約游了15分鐘，來到一艘沉船附近，觀察一群海豚. ”島根說：“我同往常一樣到離這里10分鐘路程的海底火山那兒去了. 回來時在一點左右，看見清江在沉船旁邊. ”江山說：“我離開研究所后，就游上陸地，到地面時大約12點55分. 當時増川小姐在陸地辦公室里，我倆一直聊天. ”増川小姐證明江山一點鐘左右確實在辦公室里.

聽了三個助手的話，警察說：“你們之中有一個說謊者，他隱瞞了槍殺高森的罪行. ”

你能推理出誰是說謊者和誰是槍殺高森的兇手嗎？

【解析】江山是說謊者，他也是槍殺高森的兇手. 因為研究所在水下40米的地方，大約有5個大氣壓，要想從這樣的深度游向地面，必須在中途休息好幾次，使身體逐漸適應壓力的改變. 如果只用15分鐘游到地面，那么一定會患潛水病.

歸納、類比和演繹，是數學中常用的推理方法，在解決問題的過程中，它們并不是絕對分離而是相互連接、相互滲透、相互轉化的. 當我們能很好地掌握各種推理方法并靈活地加以運用時，相信我們都能成為小神探去發現與破解生活中的種種謎題！

（作者單位：江蘇省無錫市江南中學）