“一盎司經(jīng)驗勝過一噸理論”

問題1 甲、乙、丙3人從圖書館各借了一本書，他們相約在每個星期天相互交換讀完的書.經(jīng)過數(shù)次交換后，他們都讀完了這3本書.已知乙讀的第三本書是丙讀的第二本書，試說出他們交換閱讀的全過程.

經(jīng)過閱讀題目，我們可挖掘出隱藏條件：甲乙丙三人所讀的書不重復，題目看似無從下手，但是突破口就在于此，為了使解題更有條理，根據(jù)條件，我們可設甲、乙、丙從圖書館借得的書分別為A、B、C，可畫出表1：

已知乙讀的第三本書是丙讀的第二本書.我們又能從表中看出乙第三次讀的不可能為B，丙第二次讀的不可能為C，根據(jù)已知條件，只能為A. 則可得表2：

由表2可得乙第二次讀的為C，丙第三次讀的為B，得表3：

再看表3橫行，可得甲第二次看的是B，第三次看的是C，得表4：

所以，可得結論，3人交換的過程為：第一次：甲給丙，乙給甲，丙給乙；第二次：甲給丙，乙給甲，丙給乙.

解決這道題的推理思想在很多更復雜的題目中同樣適用.

甲、乙、丙、丁、戊5人各借了一本小說，約定讀完后相互交換，這5本書的厚度和他們的閱讀速度都差不多，因此5人總是同時換書.經(jīng)數(shù)次交換后，5人每人都讀完了這5本書. 現(xiàn)已知：

（1） 甲最后讀的書是乙讀的第二本書；

（2） 丙最后讀的書是乙讀的第四本書；

（3） 丙讀的第二本書甲在一開始就讀了；

（4） 丁最后讀的書是丙讀的第三本書；

（5） 乙讀的第四本書是戊讀的第三本書；

（6） 丁第三次讀的書是丙一開始讀的那一本.

根據(jù)以上情況，你能說出丁第二次讀的書是誰最先讀的嗎？

類似問題1，我們可以設甲、乙、丙、丁、戊第一次借的書分別為A、B、C、D、E.

由“丙讀的第二本書甲在一開始就讀了”“丁第三次讀的書是丙一開始讀的那一本”可判斷丙讀的第二本書為A，丁第三次讀的書為C.又由“丙最后讀的書是乙讀的第四本書”“乙讀的第四本書是戊讀的第三本書”判斷丙最后讀的書、乙讀的第四本書和戊讀的第三本書是同一本書，則不為B、C、E.又因為前面已經(jīng)知道丙第二次讀的為A，則不可能為A，只可能為D. 得表5：

根據(jù)“甲最后讀的是乙讀的第二本書”得甲讀的第五本書和乙讀的第二本書為C或E，假設為E，則丁讀的第二本書只能是B，而根據(jù)“丁最后讀的書是丙讀的第三本書”可推翻此結論. 見表6：

則甲讀的第五本書和乙讀的第二本書為C. 之后可填出戊讀的第二本書為B，甲讀的第二本書為D，則丁讀的第二本書為E，且丁第二次讀的書是戊最先讀的，得表7：

由這兩道題目，我們收獲的不僅僅是抓住現(xiàn)有條件，從已知到未知的這一種解題思想，更提醒我們在解題中，可以運用畫圖、列表等方法，更簡明、直觀地分析問題.還有，善于從題目中挖掘出題目的潛臺詞，也是極為重要的，往往這些條件才是題目的真正突破口.

問題2 如圖1，8張同樣大的正方形紙片交錯疊放在桌面上，如果最上面的那張紙片的標號為1，那么請按自上而下的順序寫出每張紙片的標號.

我們的思路：由題得，編號為1的卡片在最上層，而且一共有八張卡片，又因為圖中也被劃分為八塊板塊，所以說明沒有任何一張卡片是與其他卡片完全重疊的，我們就可以依據(jù)卡片之間的上下關系來判斷每張紙的編號.

思路1：如圖2，一開始確定的就是露出面積最大的圖形，編為2號，后來就開始順時針地向右旋轉，分別編為3號和4號，再將右下角的圖形標為5號和6號，左邊最后兩個分別標為7號和8號.但是到最后發(fā)現(xiàn)2號和3號沒有接觸面，這種情況不成立.所以考慮逆時針方向.

思路2：如圖3，第一張圖左上方的一塊是由一個長方形和一個近似于正方形的圖形拼接而成，是整幅圖中除了編號為1的卡片外最大的圖形.又因為它被1號卡片覆蓋住一個小角，可以看出除了那一個小角外整張紙片沒有任何地方再被其他卡片覆蓋，而且剩余的板塊中無論是哪種圖形，都需要有兩張或者兩張以上的卡片覆蓋才會形成，所以它們就不可能是第二張圖.綜上所述，我們就可以確定整張圖左上方的圖形就是第二張圖被第一張圖覆蓋后的圖形，即左上角的紙片為2號.題目中又說道：每一張卡片都應“交錯疊放”，所以就不可能出現(xiàn)兩張卡片并排而放的情況.這樣就可以篩選出2號卡片下的一小塊近似于正方形的圖形，就是第三張卡片被第一張和第二張共同覆蓋后所形成的圖形.這樣就可以判斷這是3號卡片.以此類推，可將剩余的4-8號卡片全部排列出來.而排列出來的卡片順序是按照逆時針方向的，符合我們的猜想.

探究思考（劉佳瑜、董淵凡、郭曉寧）

在研究過程中，題目看似簡單，但是我們三人起初沒有達成共識，甚至一點也看不懂對方的猜想.其實這算不上是數(shù)學題，更多的是鍛煉我們的空間思維能力與邏輯推理能力.

在理解題目上，我們與老師都注意到了“交錯疊放”.這就說明了每張紙片之間的關系，這一點也幫助我們解決題目，首先排除了思路1.

其實在解題過程中，我們并不是在那里憑空想象，這樣只會沒有頭緒，研究不下去.組員們進行了實驗，我們剪裁了八張同樣大小的紙片，一步一步地擺放，這樣的舉動才真真正正地證實了我們的猜想.因此我們懂得了在數(shù)學研究中，實驗很重要.任何一位數(shù)學家發(fā)現(xiàn)的定理都是建立在實驗的基礎上，在學習中，我們也要動動手，這樣才能更加高效率地解決問題.

“一盎司經(jīng)驗勝過一噸理論.”杜威如是說.經(jīng)驗是在活動中積累的，數(shù)學的探究活動必須親身參與，在獨立思考之中不斷積累數(shù)學活動經(jīng)驗，正所謂“數(shù)學活動經(jīng)驗需要在‘做’的過程和‘思考’的過程中積淀”.同時，只有不斷積累，才能達到學會獨立思考與如何思考的數(shù)學學習目標.

（作者單位：江蘇省無錫市江南中學）