基于M—Copula的上證與深證地產(chǎn)指數(shù)尾部相關(guān)性研究

摘要：金融市場之間的相關(guān)性分析一直是金融領域的熱點問題，Copula函數(shù)作為一種有效的工具被廣泛應用。以往的相關(guān)性研究已經(jīng)證明上證與深證指數(shù)存在緊密的協(xié)同運動，文章運用M-Copula函數(shù)重點研究上證與深證地產(chǎn)指數(shù)之間的尾部相關(guān)模式。通過實證分析發(fā)現(xiàn)，上證與深證地產(chǎn)指數(shù)之間存在很強的上尾相關(guān)性，這種相關(guān)模式是非對稱的。同時，M-Copula函數(shù)對于刻畫金融市場之間的尾部相關(guān)性要優(yōu)于單個的阿基米德族Copula函數(shù)。

關(guān)鍵詞：M-Copula；尾部相關(guān)模式；實證研究

近年來，隨著經(jīng)濟全球化的更加深入，各個金融市場之間相互關(guān)聯(lián)程度不斷加深，聯(lián)動趨勢比以往更加顯著。協(xié)同運動、波動溢出等的金融市場相關(guān)性研究一直是金融研究的重點問題之一，在資產(chǎn)定價、投資組合管理及風險控制等方面具有重要的應用。Copula函數(shù)可以將隨機變量的邊緣分布函數(shù)與聯(lián)合分布函數(shù)連接起來，充分刻畫隨機變量之間的相關(guān)性，從而將問題簡化。當前，中國股市處于不斷發(fā)展和成熟階段，出現(xiàn)過比較大的波動，現(xiàn)有的研究已經(jīng)證明滬深股市指數(shù)存在很強的相關(guān)性，文章將重點研究上證與深證房地產(chǎn)板塊之間的尾部相模式。

一、國內(nèi)外研究概述

國內(nèi)外已經(jīng)有比較多的基于Copula函數(shù)分析股票相關(guān)性的文章。李悅、程希駿（2006）運用Copula函數(shù)研究了上證指數(shù)與香港恒生指數(shù)之間的相關(guān)性，分析發(fā)現(xiàn)阿基米德族中的Gumbel Copula函數(shù)對于數(shù)據(jù)的擬合是最優(yōu)的，由此得出上證與恒生指數(shù)的上尾相關(guān)性較強，下尾相關(guān)性較弱。任仙玲、張世英（2008）運用基于秩的極大似然估計法估計Copula函數(shù)的參數(shù)，結(jié)合BBx-Copula函數(shù)對民生銀行和浦發(fā)銀行兩只股票的相關(guān)性進行實證分析，結(jié)果顯示兩只股票市場熊市的尾部相關(guān)性高于牛市，即下尾相關(guān)性更強。王曉芳等（2009）發(fā)現(xiàn)時變的SJC Copula函數(shù)較靜態(tài)Copula函數(shù)的擬合效果好，上證綜指和新加坡海峽時報指數(shù)股指收益序列的尾部相關(guān)關(guān)系不對稱，存在顯著的下尾相關(guān)，而上尾相關(guān)不明顯，而且上證綜指和海峽時報指數(shù)收益序列的下尾相關(guān)系數(shù)是不斷變化的并呈現(xiàn)出日益上升的趨勢。閆海梅等（2011）研究發(fā)現(xiàn)Clayton Copula對于刻畫上證A股、深證A股和滬深300指數(shù)之間的尾部相關(guān)模式是最優(yōu)的，且滬深300指數(shù)對組合的尾部風險影響較大。

二、模型提出

在Copula函數(shù)的參數(shù)和結(jié)構(gòu)是時不變的前提假設下，由于阿基米德族的Copula函數(shù)，具有結(jié)構(gòu)簡單、計算方便、具有多種分布特征，且具有很好的統(tǒng)計性質(zhì)，可以充分刻畫金融數(shù)據(jù)尖峰、厚尾的特點，故文章選用阿基米德族Copula函數(shù)構(gòu)建模型。Genest和Mackay給出了阿基米德Copula函數(shù)的定義，函數(shù)的具體表達式為

C（u，v）=φ-1（φ（u）+φ（v）），u，v∈（0，1）

其中函數(shù)φ（.）稱為阿基米德Copula函數(shù)的生成元，它滿足以下條件：φ（u）+φ（v）≤φ（0），對任意0≤t≤1，φ（t）是一個凸的減函數(shù)。由此可見，阿基米德Copula函數(shù)由它們的生成函數(shù)φ（.）唯一確定。常用的阿基米德族Copula函數(shù)主要有三種：Gumbel Copula函數(shù)、Clayton Copula函數(shù)與Frank Copula函數(shù)。它們各自具有不同的分布特征，用于刻畫金融時間序列之間不同的相關(guān)模式。

（一）Gumbel Copula函數(shù)

生成元函數(shù)φ（t）=（-lnt）α時，所得的Copula函數(shù)定義為Gumbel Copula函數(shù)，形式為

CG（u，v；α）=exp（-（（-lnu）α+（-lnv）α）1/α ），α∈[1，∞），

其中α為Gumbel Copula中的相關(guān)系數(shù)。當α=1時，隨機變量u，v獨立，當α→∞時，隨機變量u，v完全相關(guān)，Gumbel函數(shù)對上尾相關(guān)敏感。

（二）Clayton Copula函數(shù)

生成元函數(shù)φ（t）=t-α-1時，所得到的Copula函數(shù)定義為Clayton Copula函數(shù)，形式為

Cc（u，v；α）=（u-α+v-α-1），α∈（0，∞）

其中α為相關(guān)參數(shù)。當α→0，表示隨機變量u，v趨向獨立；當α→∞時，隨機變量u，v趨于完全相關(guān)，Clayton函數(shù)對下尾相關(guān)敏感。

（三）Frank Copula函數(shù)

生成元函數(shù)φ（t）=-ln（（eαt-1） /（eα-1））時，所得的Copula函數(shù)定義為Frank Copula函數(shù)，其形式為

CF（u，v；α）=-ln（1+），α∈（-∞，0）∪（0，∞）

其中α為Frank Copula中的相關(guān)參數(shù)。當α>0，表示隨機變量u，v正相關(guān)；當α→0，表示隨機變量u，v趨向獨立；α<0，表示隨機變量u，v負相關(guān)，F(xiàn)rank函數(shù)對對稱相關(guān)敏感。

（四）M-Copula函數(shù)

混合Copula函數(shù)就是將上述Gumbel、Clayton、Frank Copula函數(shù)按照線性組合重新構(gòu)建的一種Copula函數(shù)，因此具有上述三種阿基米德Copula函數(shù)的特點，可以充分捕捉隨機變量上下尾以及對稱相關(guān)關(guān)系，對于刻畫隨機變量的相關(guān)性具有較大的優(yōu)勢，其形式為

CM（u，v；ω，α）=ω1CG（u，v；α1）+ω2Cc（u，v；α2）+ω3CF（u，v；α3）

其中，ω=[ω1，ω2，ω3]T，α=[α1，α2，α3]T，0≤ω1，ω2，ω3≤1，且ω1+ω2+ω3=1，它們是混合Copula函數(shù)的權(quán)重參數(shù)，α1、α2、α3的定義參見上述三個Copula函數(shù)。由于金融時間序列相當復雜，具有尖峰、肥尾等等一系列的特點，上、下尾及對稱相關(guān)關(guān)系在實際中都存在，因此單個相關(guān)Copula函數(shù)很難充分捕捉金融時間序列之間的協(xié)同運動，故本文運用M-Copula函數(shù)作為分析工具。

三、模型估計方法

由于Copula函數(shù)的是由隨機變量的邊緣分布來構(gòu)造聯(lián)合分布的，所以選用參數(shù)估計法中的兩階段最大似然估計法。兩階段最大似然估計法將Copula函數(shù)的參數(shù)估計分解為兩步：第一步，通過擬合優(yōu)度選取合適邊緣分布的分布函數(shù)，再運用極大似然估計法，求出各隨機變量的邊緣分布的參數(shù)；第二步，通過第一步估計出的隨機變量邊緣分布函數(shù)，運用極大似然估計，估計出Copula函數(shù)中的各個參數(shù)。

四、模型構(gòu)建與分析

選取上證地產(chǎn)指數(shù)（000006）及深證地產(chǎn)指數(shù)（399200），以2001年7月2日至2013年12月17日的收盤價為樣本，各取其對數(shù)收益率序列：rnt=100（lnPnt-lnPn，t-1），剔除其中的無效數(shù)據(jù)后共計3018組數(shù)據(jù)。由于GARCH模型可以比較充分的刻畫金融時間序列條件分布的尖峰、厚尾、波動集聚等特點，基于正態(tài)分布假設下，分別構(gòu)建GARCH（1，1）-M、GARCH（1，1）-M-t、GARCH（1，1）-M-GED模型擬合現(xiàn)有的樣本數(shù)據(jù)。結(jié)果表明：GARCH（1，1）-M-t對于數(shù)據(jù)的擬合最好，其次是GARCH（1，1）-M-GED，GARCH（1，1）-M模型最不理想，故選用二元Copula-GARCH（1，1）-M-t模型，即

rnt=μn+cnσnt+ant，

ant=σntεnt，

σ2nt=ωn+αna2n，t-1+βnσ2n，t-1

（ε1t，ε2t）～C（Tv1（ε1t），Tv2（ε2t））

其中，n=1，2，t=1，2，3，…，T，Tv1（·），Tv2（·）分別為自由度為v1，v2的標準化的t分布，即ε1t～t（v1），ε2t～t（v2）。為了檢驗不同的Copula函數(shù)的對上證與深證地產(chǎn)指數(shù)的刻畫能力，本文選用Gumbel、Clayton、Frank函數(shù)作為M-Copula函數(shù)的對照。

對原序列做概率積分變換得到的新序列做KS檢驗，檢驗其是否服從（0，1）均勻分布。結(jié)果顯示沒有足夠的證據(jù)拒絕原假設，經(jīng)過LM自相關(guān)檢驗也沒有發(fā)現(xiàn)其存在序列相關(guān)性，所以GARCH（1，1）-M-t較好的擬合了序列的條件邊緣分布，建模是充分的。

對兩個收益率序列做概率積分變換后的新序列，分別用Gumbel、Clayton、Frank函數(shù)以及M-Copula分別刻畫其相關(guān)結(jié)構(gòu)，得到的參數(shù)估計結(jié)果如表2所示。

從表1中可以看出，上證地產(chǎn)指數(shù)的均衡收益率要大于深證地產(chǎn)指數(shù)，但是單位風險的收益上證要小于深證。深證地產(chǎn)指數(shù)的波動性要大于上證房地產(chǎn)指數(shù)，這可能與上證地產(chǎn)指數(shù)多為大盤股有關(guān)，與其穩(wěn)健特點相對應的風險溢價相對較低。上證地產(chǎn)指數(shù)的波動持續(xù)期略長于深證地產(chǎn)指數(shù)。

從表2中可以看出，M-Copula函數(shù)對于兩個時間序列的相關(guān)性刻畫是最好的，其次是Gumbel函數(shù)。M-Copula函數(shù)的Frank項的權(quán)重系數(shù)顯著為零而其他兩個函數(shù)顯著不為零，所以上證房地產(chǎn)指數(shù)與深證房地產(chǎn)指數(shù)之間存在顯著的非對稱尾部相關(guān)關(guān)系。M-Copula函數(shù)中的三個權(quán)重系數(shù)中，Gumbel函數(shù)項的權(quán)重參數(shù)顯著大于另外兩個說明，兩個時間序列正的條件尾部相關(guān)關(guān)系更加明顯。上證與深證地產(chǎn)指數(shù)收益率序列在上尾與下尾表現(xiàn)出來的顯著的相關(guān)模式，說明了它們之間存在顯著的尾部協(xié)同運動模式，在發(fā)生極值事件時，上證與深證地產(chǎn)指數(shù)之間的協(xié)同運動明顯增強，與負極值收益率相比，正的極值收益率的使兩大地產(chǎn)指數(shù)表現(xiàn)出更強的相關(guān)性，即利好對于上證與深證地產(chǎn)板塊的沖擊要強于利空。這種非對稱相關(guān)模式與之前市場對于房地產(chǎn)價格持續(xù)上漲的強烈預期相契合，在市場整體對于房地產(chǎn)行業(yè)特別是房地產(chǎn)價格看多的趨勢下，地產(chǎn)指數(shù)的上尾表現(xiàn)出更強的相關(guān)性。

總體看來，三種不同的阿基米德族Copula函數(shù)具有各自的特點，F(xiàn)rank函數(shù)對于對稱相關(guān)很敏感，而傾向于忽視非對稱相關(guān)模式；Gumbel函數(shù)傾向于突出上尾相關(guān)性，而忽視下尾相關(guān)模式，Clayton函數(shù)則恰恰相反。事實證明，M-Copula函數(shù)對于非對稱相關(guān)模式的刻畫要優(yōu)于單個的阿基米德族Copula函數(shù)，對于描繪非對稱相關(guān)模式具有很大的優(yōu)勢。

參考文獻：

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[2]任仙玲，張世英.基于Copula函數(shù)的金融市場尾部相關(guān)性分析[J].統(tǒng)計與信息論壇，2008（06）.

[3]王曉芳，謝金靜.基于多種Copula函數(shù)的滬新股市尾部相關(guān)性比較分析[J].統(tǒng)計與信息論壇，2009（06）.

[4]閆海梅，王波.基于Copula理論的尾部相關(guān)性分析[J].統(tǒng)計與決策，2011（21）.

[5] Nelsen RB. An Introduction to Copulas[M].New York：Springer Verlag，1998.

（作者單位：王海龍，上海理工大學管理學院；錢燕云，上海理工大學中德學院）