萬有引力習題解析

【摘 要】高中數學新課程標準注重學生數學能力的提高，解題訓練是數學教學的重要組成部分，也是優化學生思維，提高學生數學能力的重要手段。如何在教學的過程中讓學生形成一種解題策略是每一位高中數學教師需要關注的課題。本文對此進行了探討。

【關鍵詞】高中數學 解題 圓周運動

高中數學考查學生的能力最重要的便是解題能力，這決定了在高中數學教學中，必須大力加強數學解題思想的傳授，優化學生思維，提高數學能力。下面本文以一個教學案例來探析高中數學解題方法。

兩個質量均為m的星體A和B，其連線的垂直平分線為MN，O為兩星體連線的中點，如圖所示，一個質量為mˊ的物體從O沿OM方向運動，則它受到的萬有引力大小變化情況是（）

A一直增大 B一直減小

C先減小，后增大 D先增大，后減小

解：一、定性分析：

（1）當mˊ在O點時：

A星體和B星體分別對mˊ的萬有引力有大小相等、方向相反、在同一條直線上等關系，根據平衡力關系得：

mˊ受到的合力為零。

（2）當mˊ沿著OM方向運動時：

星體A和星體B對mˊ的引力大小雖然相等，但方向不在同一直先上，它們的合成在AB方向上為零，MN方向上不為零，即mˊ受到的萬有引力的大小大于零。

（3）當mˊ沿著OM方向運動的距離遠大于AB 間的距離時：

對mˊ的引力可以認為是一個質量為2m的星體對mˊ的吸引。根據萬有引力定律：F=GMm/r2得：

隨著r的增大，mˊ受到的引力變小，一直趨向于零。

總體分析可得，mˊ受到的萬有引力F隨著r的增大，先增大，后減小，故選D項。

二、定量分析：

解法一：

解：設AB間的距離為2d。

當mˊ和B的連線與MN方向成θ角時：0°<θ≤Π/2

mˊ所受的合力F=2Gmmˊcosθ/（d/sinθ）2

=2Gmmˊsin2θcosθ/d2

因為y=sin2θcosθ=（1-cos2θ）cosθ=cosθ-cos3θ，

假設cosθ=t，

y=t-t3

因為yˊ= -3（t2-），

當t2=時，yˊ=0，即y取最大值y=

所以當cosθ=時，F取最大值

F=4Gm mˊ/9d2

解法二：

解：設AB間的距離為2d。

當mˊ和B的連線與MN方向成θ角時：0°<θ≤Π/2

mˊ所受的合力F=2Gmmˊcosθ/（d/sinθ）2

=2Gmmˊsin2θcosθ/d2

因為2 Gmmˊ/ d2為常數，所以F的變化與sin2θcosθ的變化成正比。

當（sin2θcosθ）ˊ= 0時，sin2θcosθ有極大值或極小值。

∵（sin2θcosθ）ˊ= 0

∴ sinθ（2 cos2θ–sin2θ）= 0

又∵ sinθ0

∴ 2 cos2θ–sin2θ= 0

∴ tanθ = 即：θ= arctan

當arctan<θΠ/2時：

（sin2θcosθ）ˊ> 0 即：sin2θcosθ為增函數。

當arctan>θ時：

（sin2θcosθ）ˊ< 0 即：sin2θcosθ為減函數。

∴ θ由Π/2到0°的過程中，F先增大，后減小

并且當θ= arctan時，F有最大值為4Gm mˊ/9d2。