數(shù)學(xué)思考的緣起、界定及啟示

1 數(shù)學(xué)思考的緣起

早在1972年，法國(guó)教育思想家埃德加·富爾在《學(xué)會(huì)生存》研究報(bào)告中指出：“教師的職責(zé)是在傳授知識(shí)的同時(shí)更加注重激勵(lì)學(xué)生思考.”[2]此后一些有關(guān)思考的討論隨之而來(lái)，使得各個(gè)國(guó)家都開(kāi)始重視在課堂上鼓勵(lì)學(xué)生思考，數(shù)學(xué)課堂當(dāng)然也不例外，國(guó)際上很多國(guó)家也早已將“數(shù)學(xué)式思考”列入終身可持續(xù)發(fā)展計(jì)劃中.

美國(guó)國(guó)家委員會(huì)于1989年發(fā)表《人人關(guān)心數(shù)學(xué)教育的未來(lái)》的報(bào)告中指出：“……美國(guó)人比過(guò)去任何時(shí)候都需要為生活而思考；他們比過(guò)去任何時(shí)候都需要數(shù)學(xué)地思考.” [3]

英國(guó)教育署1995年頒布《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》也提出了“使學(xué)生有機(jī)會(huì)運(yùn)用一系列思考策略進(jìn)行活動(dòng)，以鞏固和發(fā)展相關(guān)的知識(shí)和技能，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力.” [4]

新加坡在1997年提出“思考的學(xué)校，學(xué)習(xí)的國(guó)家”的總目標(biāo)，在2000年數(shù)學(xué)課程目標(biāo)結(jié)構(gòu)中也指出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中應(yīng)注重思考技能的訓(xùn)練.[5]

日本在1998年發(fā)布的《中小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)要領(lǐng)》中培養(yǎng)目標(biāo)明確指出：“……培育學(xué)生全面地、有條理地思考日常生活事物的能力……”[5]

我國(guó)從1903年開(kāi)始開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)，一直把“思考”確立為課程目標(biāo)內(nèi)容之一.2001年頒發(fā)的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》把“數(shù)學(xué)思考”列入四大課程目標(biāo)之一，是完全符合我國(guó)數(shù)學(xué)課程改革.在2011年版的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中一直延續(xù)“數(shù)學(xué)思考”是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)之一的這一理念.從國(guó)內(nèi)的中小數(shù)學(xué)教育的改革趨勢(shì)來(lái)看，我國(guó)將“數(shù)學(xué)思考”作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要目標(biāo)是具有深遠(yuǎn)意義，可以讓學(xué)生通過(guò)具體的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能的學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考，并以此來(lái)解決生活中遇到的實(shí)際問(wèn)題，并讓學(xué)生學(xué)會(huì)獨(dú)立思考和自省人生的目的.所以說(shuō)讓學(xué)生“學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考”是教師幫助每一個(gè)學(xué)生從課堂走向社會(huì)的一個(gè)重要橋梁.

2 數(shù)學(xué)思考內(nèi)涵的界定

什么是數(shù)學(xué)思考？有學(xué)者指出它是以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體和原料的思維活動(dòng)過(guò)程[6].數(shù)學(xué)是人們?cè)趯?duì)客觀(guān)的世界定性和定量刻畫(huà)的基礎(chǔ)上、逐步抽象概括，形成方法和理論，并在進(jìn)行應(yīng)用的過(guò)程.這一過(guò)程充滿(mǎn)著觀(guān)察、實(shí)驗(yàn)、模擬、猜測(cè)、矯正調(diào)控、探索等.

日本學(xué)者藤田提出，通過(guò)“數(shù)學(xué)常識(shí)”和“數(shù)學(xué)思維能力”的組合來(lái)培養(yǎng)數(shù)學(xué)智力、學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考的教學(xué)目標(biāo).英國(guó)教育家羅伯特·費(fèi)舍爾認(rèn)為數(shù)學(xué)是“再創(chuàng)造”的過(guò)程，而不是強(qiáng)加的一堆知識(shí).數(shù)學(xué)是“再創(chuàng)造”性過(guò)程的數(shù)學(xué)思考表現(xiàn)為兩個(gè)方面：對(duì)內(nèi)容的思考，比如涉及的概念，問(wèn)題和圖形；還有對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程的思考[7].

有學(xué)者認(rèn)為數(shù)學(xué)思考包含著“思考數(shù)學(xué)”和“進(jìn)行數(shù)學(xué)的思考”兩個(gè)方面，但它又不同于數(shù)學(xué)思想方法，是在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題過(guò)程時(shí)，潤(rùn)物無(wú)聲且不留痕跡地學(xué)會(huì)了用數(shù)學(xué)的方式來(lái)思

考[8].

《標(biāo)準(zhǔn)》總體目標(biāo)對(duì)數(shù)學(xué)思考作了如下具體

闡述[1]：

①建立數(shù)感、符號(hào)意識(shí)和空間觀(guān)念，初步形成幾何直觀(guān)和運(yùn)算能力，發(fā)展形象思維和抽象思維.

②體會(huì)統(tǒng)計(jì)方法的意義，發(fā)展數(shù)據(jù)分析觀(guān)念，感受隨機(jī)現(xiàn)象.

③在參與觀(guān)察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明、綜合實(shí)踐等數(shù)學(xué)活動(dòng)中，發(fā)展合情和演繹推理能力，清晰地表達(dá)自己的想法.

④學(xué)會(huì)獨(dú)立思考，體會(huì)數(shù)學(xué)的基本思想和思維方式.

數(shù)學(xué)家康托爾說(shuō)過(guò)“數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于思考的自由.”思考的是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要方面，也是作為人的全面發(fā)展所必須的品格.《標(biāo)準(zhǔn)》提出“數(shù)學(xué)思考”是總目標(biāo)之一，讓教師充分意識(shí)到數(shù)學(xué)思考的重要性，在一味強(qiáng)調(diào)課程的“有效性”的同時(shí)，我們也應(yīng)給學(xué)生一些自己的思考時(shí)間，讓他們懂得思考過(guò)后的知識(shí)才是自己的所獲得的，思考才會(huì)有疑問(wèn)、有發(fā)現(xiàn)，有啟示、和獲得.數(shù)學(xué)的課堂需要學(xué)生的獨(dú)立思考，教師也應(yīng)該改變自己的教育觀(guān)念，讓權(quán)于學(xué)生，給學(xué)生一點(diǎn)思考的余地，學(xué)生會(huì)給你帶來(lái)意想不到的驚喜.

3 數(shù)學(xué)思考促進(jìn)方式的啟示

3.1 “啟發(fā)式”數(shù)學(xué)教學(xué)——詰問(wèn)激發(fā)學(xué)生好奇心

我國(guó)古代孔子曾首次提出啟發(fā)式教學(xué)的思想，指出適時(shí)適度的啟發(fā)，強(qiáng)調(diào)教師不能包辦學(xué)生的學(xué)習(xí)與思考，其目的是要充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，促進(jìn)其智慧、能力的發(fā)展.古希臘時(shí)期的哲學(xué)家蘇格拉底也提出“助產(chǎn)術(shù)”包括：諷刺（不斷提出問(wèn)題使對(duì)方陷入矛盾之中，并迫使其承認(rèn)自己的無(wú)知）、助產(chǎn)（啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生，使學(xué)生通過(guò)自己的思考，得出結(jié)論）、歸納和定義（使學(xué)生逐步掌握明確的定義和概念）.也就是要抓住學(xué)生思維過(guò)程中的矛盾，啟發(fā)誘導(dǎo)，層層分析，步步深入，最后導(dǎo)出正確的結(jié)論.在數(shù)學(xué)課程中教師應(yīng)該在運(yùn)用“啟發(fā)式”教學(xué)時(shí)更加注重“如何導(dǎo)”，才能激發(fā)學(xué)生的興趣和好奇心，牽引出學(xué)生的數(shù)學(xué)思考.

……

在這個(gè)“啟發(fā)式”過(guò)程中，老師假裝什么都不知道向?qū)W生提問(wèn)，以激發(fā)學(xué)生對(duì)0.9？和1誰(shuí)大誰(shuí)小的求知欲，好奇心，調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)積極性，刺激并促進(jìn)學(xué)生思考，讓學(xué)生在學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考.在整個(gè)啟發(fā)式教學(xué)過(guò)程中，教師在啟發(fā)、設(shè)問(wèn)時(shí)應(yīng)該允許學(xué)生有“時(shí)間差”和“空間差”，留給學(xué)生獨(dú)立思考的時(shí)間和空間，做了必要的等待，讓學(xué)生的思考發(fā)揮到盡可能大的范圍，最終得到問(wèn)題的正確理解.數(shù)學(xué)課堂中啟發(fā)式教學(xué)最重要是“使自以為知者知其不知”， 整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程以學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知上的疑難、困惑為邏輯起點(diǎn)不斷釋疑解難[9]，從知到不知再到知，使學(xué)生不斷感受理性思考的過(guò)程，發(fā)展對(duì)問(wèn)題的辨別力和尋求正確的解決方式.

老師給a和b分別賦特殊值10和8，讓學(xué)生明白10 820108？=>？>，并從特殊抽象出一般情況，得出結(jié)果0a bab？>？>，之后老師將全班分為四個(gè)小組，相互討論提出問(wèn)題并解答問(wèn)題.

A組：請(qǐng)問(wèn)C組，3a+與3誰(shuí)大？

C組：當(dāng)然是33a+ >（片刻思索后齊聲回答）

師：A組的學(xué)生的答案是多少呢？

A組：一樣啊！33a+ >.

C組：老師，我們明白了當(dāng)0a >時(shí)，有33a+ >；當(dāng)0a =時(shí)，有33a+ =；

當(dāng)0a <時(shí)，有33a+ <.

師：C組的學(xué)生非常好，知道將a的情況分別討論，那B組有什么問(wèn)題嗎？

B組：請(qǐng)問(wèn)D組，a和3a+哪個(gè)大？

D組：我們商議后認(rèn)為，當(dāng)0a >時(shí)，有3aa+ >；當(dāng)0a =時(shí)，有3aa+ =；當(dāng)0a <時(shí)，有3aa+ <.

師：第四組的答案，你們贊同嗎？

師：為什么不用分別討論a的正負(fù)？

又引起全班學(xué)生都開(kāi)始積極討論和爭(zhēng)論……

B組：我們將（3）0aaa+？=>，發(fā)現(xiàn)它們之間的大小與a的取值無(wú)關(guān)！

……

教師在這個(gè)案例中滿(mǎn)足學(xué)生積極的探究欲望，給學(xué)生以適當(dāng)?shù)闹敢寵?quán)給學(xué)生，讓學(xué)生自己探索并給予充分的思考時(shí)間，討論a在不同的取值時(shí)結(jié)果是否有變化，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)中的真理，使得學(xué)生對(duì)“不等式的對(duì)稱(chēng)性”有一個(gè)深刻的理解，同時(shí)這個(gè)也體現(xiàn)并培養(yǎng)了數(shù)學(xué)的求真精神.探究性教學(xué)的中最重要的是“使自以為知者知其所知”.讓學(xué)生自己體驗(yàn)知識(shí)的生成過(guò)程，理解數(shù)學(xué)概念和原理中的真正內(nèi)涵，養(yǎng)成數(shù)學(xué)思考的習(xí)慣.教師應(yīng)當(dāng)努力設(shè)法做學(xué)生積極探索者的“點(diǎn)火者”，讓學(xué)生發(fā)揮自己的創(chuàng)造力去探究自己本該知道的數(shù)學(xué)知識(shí)，讓學(xué)生成為課堂中真正的“探索者”，構(gòu)建自己的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，養(yǎng)成自主性人格.

3.3 “反思式”數(shù)學(xué)教學(xué)——完善學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程

師：生D分析得很好.

……

教師在求uxy=+最值的片段中重視學(xué)生的不嚴(yán)密解題思路，并引導(dǎo)學(xué)生們針對(duì)此生A的解法進(jìn)行反思，找到不合理的地方并完善解題過(guò)程，形成反思的意識(shí)，掌握反思的方法.學(xué)生經(jīng)過(guò)在數(shù)學(xué)課堂的反思，不僅能及時(shí)對(duì)所學(xué)到的知識(shí)進(jìn)行回顧和梳理，并嘗試對(duì)已學(xué)知識(shí)進(jìn)行延伸探尋.因此完整的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)系統(tǒng)的過(guò)程，學(xué)會(huì)反思是學(xué)生發(fā)展中不可缺少的重要因素.學(xué)會(huì)反思數(shù)學(xué)思考過(guò)程，也是對(duì)數(shù)學(xué)思考過(guò)程的一個(gè)元認(rèn)知，即對(duì)自己數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自我監(jiān)控，自我調(diào)節(jié)，自我改善的過(guò)程.

數(shù)學(xué)教育是心智的活動(dòng)，不只是數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容.它肩負(fù)理性和道德的雙重意義，通過(guò)親身思考和提高思考的技能，可以培養(yǎng)學(xué)生自主和自省的人格.教師既不能沖淡數(shù)學(xué)課程中的“數(shù)學(xué)味”，也不能一味的只強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的基本知識(shí)和技能的訓(xùn)練，教室在數(shù)學(xué)課堂中應(yīng)該看到學(xué)生這個(gè)個(gè)體生命的整體性，實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)中知識(shí)與技能，過(guò)程與目標(biāo)，情感態(tài)度價(jià)值觀(guān)的三者結(jié)合.真正實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教育的“數(shù)學(xué)方面”與“教育方面”的相互滲透和整合.

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