“思想”決定“高度”

數學在人類社會的發展和科學進步中所起到的作用是毋庸置疑的，而數學思想又是數學的靈魂和精髓.數學思想是人們對數學事實與數學理論經過概括后產生的本質認識，它既源于又高于數學基礎知識和數學方法，它是學生認知結構的形成與知識轉化為能力的載體，在日常解決問題的過程中也起到重要的指導性作用.可以這么說：數學思想猶如一個巨人，只有站在巨人的肩上，分析問題、解決問題的能力才能上升到一定的高度！

1 高中數學教與學的現狀分析

長期以來人們對學習數學錯誤的理解：“學數學即解題”、 “解題=題目類型+技巧”，從而導致了對解題的片面認識和盲目實踐.不少教師在教學過程尤其是解題教學過程中精力集中于題型套路、題型歸納、解題技巧的講解，而對數學思想的滲透沒有給予足夠的重視.結果呢？教師講了很多、學生題目也做了很多，可是學生卻總是停留在模仿型的解題水平上，只要條件稍一改變則不知所措，無法形成較強地分析問題、解決問題的能力，更談不上創新能力的形成.

一些教師對數學思想的教學“談虎色變”，認為這不是教材的要求，只是好學生才需要掌握的，故而在教學中削減思維過程，數學課堂教學淪為知識結論的教學，失去了滲透數學思想的好時機，其實，這也是教師對教學內容的本質和教學的功能沒有正確領會的結果.雖然說現行數學教材對數學思想沒有明確的揭示和總結，但它卻深深地蘊涵在數學知識的體系之中.數學思想在教學中的滲透并不是什么過高要求，空穴來風，《新課程標準》中就明確提出：高中數學課程的目標之一是“使學生獲得必要的數學基礎知識和基本技能，理解基本的數學概念、數學結論的本質，了解概念、結論等產生的背景、應用，體會其中所蘊涵的數學思想和方法，以及它們在后續學習中的作用”.

2 教學中滲透數學思想的途徑

由于數學思想是基于數學知識又高于數學知識的一種隱性的數學原理，掌握和應用也不是一朝一夕，上幾節課就可以解決的，必須在反復的體驗和實踐中才能使學生逐漸認識、理解，并內化為其認知結構中對數學學習和問題解決有著生長點和開放面的穩定成份.本文將以圓錐曲線這一節為例來談談如何將數學思想融入日常教學.

圓錐曲線這個章節涉及到的主要數學思想有：轉化思想、類比思想、數形結合的思想、分類討論的思想、函數與方程的思想.

2.1 利用概念和性質的對比滲透類比思想的應用

類比思想是指依據兩類數學對象的相似性，將已知的一類數學對象的性質遷移到另一類數學對象上去的思想.波利亞指出：“類比就是一種相似，相似的對象在某個方面彼此一致，類比的對象則與其相應部分在某些關系上相似”.橢圓，雙曲線無論從概念、標準方程的推導、性質的研究上都有相似之處，所以在學完橢圓之后，教師切忌一言堂，應該引導學生運用類比思想把雙曲線的相關問題通過聯想的方法進行比較，從而找到解決問題的手段與方法.如此運用類比思想進行辨析，前后知識點互相對應，溫故而知新，既可以使學生觸類旁通，又可以使他們深刻理解概念、方程和性質之間的區別與聯系.

2.2 通過定義的應用、位置關系的教學促進轉化思想的滲透

將一個研究對象通過一定條件轉化為另一個研究對象的數學思想稱為轉化思想.如未知向已知的轉化、新知識向舊知識的轉化、復雜問題向簡單問題的轉化、抽象問題向直觀問題的轉化、實際問題向數學問題轉化等.轉化的思想幾乎滲透到所有的數學教學內容和解題過程中.

圓錐曲線的問題是中學數學知識的一個難點部分，它在解法上具有多樣性和靈活性，此外運算量也是一個大問題，但是從不同的角度去看問題，運算量的大小就可能不同，其關鍵在于對條件的轉化和引申，避免直譯.

2.2.1 在定義的應用中滲透轉化的思想

所以只要轉化成證明這個等式成立便可，分析至此，發現這個問題已經是水到渠成的了！這樣通過層層的轉化，化繁雜為簡單、化陌生為熟悉，使本質被掩蓋的問題露出“廬山真面目”，使起初看來撲朔迷離的問題有了“主攻”的方向進而發現解決問題的具體方法，將轉化的思想體現的淋漓盡致.

2.3 以圖形為抓手，彰顯數形結合思想的作用

將數量關系與圖形性質之間通過相互轉化進行研究，這就是數形結合的思想.將數學語言轉化為圖形，毫無疑問地可以讓研究對象變得形象、生動、具體，將圖形轉化成數學語言又可以使研究過程變得嚴謹、縝密、富有邏輯性.本章的重點和難點是用坐標法研究幾何問題，數形結合的應用可謂珠聯璧合，這正如華羅庚教授所寫：“數缺形時少直覺，形少數時難入微，二者結合萬般好，倘若分離萬事休”.

分析 數形結合思想的應用關鍵是如何使代數問題幾何化，幾何問題代數化，本題咋一看仿佛無從下手，但如果利用數形結合的思想，看到根式引導學生聯想到兩點間的距離，就可以將它轉化成一條曲線上一動點到兩個定點的距離之和的最小值問題，這樣研究問題就簡單的多.

當然如果沒有引導學生領會一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數特征、理解問題中的條件和結論的幾何意義以及其代數意義，數形結合思想的這個教學目標就宛如水中撈月！

2.4 運用對標準方程的研究，強化分類討論的思想

在解決問題的過程中，人們常常會對一個對象無法進行統一研究，而需要把這些對象根據其特點和要求劃分為若干類，轉化成幾個小問題進行解決.這種研究問題的思想稱之為分類討論思想.

因為圓錐曲線性質的研究必須建立在標準方程的基礎之上，所以在這章的教學中，標準方程的研究占據重要的地位.當方程不確定時，需要根據方程中的參數在允許值范圍內的不同取值，去探求命題可能出現的各種結果.

例6 已知k∈R，試判斷方程（1？ k） x2+y2=k2？1所表示的曲線.

分類討論的問題長期以來一直困擾著學生，此題難度不高，但卻不失是一道滲透分類討論思想的典型問題.學生一拿到這個題便迫不及待的想將其化為標準方程，這時畫龍點睛的問一句：兩邊要同除以一個數有什么要求嗎？引起學生認知上的沖突，產生分類的需求，通過師生共同研究和探討，學生明白為什么需要分類討論、分類討論的本質是什么？至于分類討論一般的操作方法：①明確需要分類的對象，確定這個研究對象的取值范圍；②確定分類標準，進行科學合理分類，注意做到不重不漏；③逐類進行討論，分級進行，得出各類結果；④歸納各類結果，總結出結論等更是容易在探討中得出.古人云“山不在高有仙則名，水不在深有龍則靈”，本題既能鞏固學生對標準方程的理解，又將分類討論的思想從本質上做了很好的呈現.

2.5 發揮一題多解的功能，凸顯多種數學思想的融合

除了以上幾種數學思想之外，函數與方程的思想在本章的教學中應給矛足夠的重視.在解決問題的過程中，往往需要函數與方程的互相轉化才能實現解決問題的目標.所謂函數思想是利用函數的概念和性質去轉化問題和分析問題，方程思想是通過數學語言將問題中的條件轉化為方程或不等式來解決，進而使問題獲解.

實際上數學思想的應用并不是單一的，每一個問題的解決常常可以用多種思想方法，或者同一個問題往往有多種數學思想在發生作用.

3 教學中值得注意的事項

作為教師首先在認識上對數學思想的教學給予足夠的重視，其次既要研究每一節中的具體數學知識適宜進行哪些數學思想的滲透，又要考慮數學思想通過哪些知識點的滲透方能更為行之有效，從縱與橫的兩個維度上實現數學思想的滲透.

寫在教材上的知識是顯性的，它是一條明線，而數學思想是隱性的，它是潛藏的一條暗線.明線容易理解，暗線不易看明.因此，在教學過程中要有意識地使用提示語，使思想方法從暗處走向明處，使思想方法的學習和掌握，在持之以恒的訓練中走向自覺.

數學思想的訓練要經歷潛意識階段、明朗和形成階段、深化階段，急于求成是不可取、也不可能的.教學應以貫徹滲透性原則為主線，注重反復性和明確性，切忌生搬硬套、和盤托出，特別是在解決問題之后要加強學生反思的這一環節，在反思中感悟數學思想的作用，對學生來說是更易于體會和接受的.

在數學思想的指導下駕馭數學知識，就能將學生的分析與解決問題的能力提升到一定高度.我們不難發現數學思想掌握較為嫻熟的學生不僅數學學習變得容易，而且對相關學科的學習也顯得輕車熟路.布魯納認為 “學習基本原理的目的，就在于促進記憶的喪失不是全部喪失，而遺留下來的東西將使我們在需要的時候得以把一件件事情重新構思起來.高明的理論不僅是現在用以理解現象的工具，而且也是明天用以回憶那個現象的工具.”數學思想正是這種基本原理，它是銘記在人們頭腦中起永恒作用的數學觀點和文化；它使人思維敏捷、條理清晰，對人不但具有即時價值，更具有延時價值.對于一個中學生來說，不論將來他們從事著哪一種工作，深深地銘刻于腦海之中的數學思想將隨時隨地發生作用，使他們受益終生.