返璞歸真 讓數學在生活中回歸

把“數學活動”、“數學實驗”、“數學探究”、“數學建模”作為研究性學習的重要形式，是新課程改革的靚點.它旨在豐富學生的數學學習方式，倡導自主探究、獨立思考、動手實踐、合作學習、閱讀自學等，并將其納入課程計劃.為此，新課標明確規定：高中數學課程應提供基本內容的實際背景，反映數學的應用價值，開展“數學建模”的學習活動.

人民科學家錢學森在對人類知識分類時，認為“數學”應與“哲學”并列.如果說哲學是社會科學和自然科學在“規律”上的概括，那么數學就是社會科學與自然科學在“數量”上的概括.由此可見，數學在生活中應用的廣泛性.返璞歸真：讓數學在生活中回歸.它應是數學教師的教書育人的理性追求.

1 震撼于數學模型之深刻

1736年柯尼斯堡的一位小學老師寫信求助身在圣彼得堡的歐拉，幫助解決數學史上赫赫有名的柯尼斯堡七橋問題.這位影響世界的大數學家出于責任和興趣，樂于把數學應用到實際中去，以幫助人們解決沒人解決過的難題.透過柯尼斯堡七橋問題的表象，歐拉發現，它既不存在代數上數量大小的疑問，也沒有平面幾何里邊的長短和角的大小的問題.歐拉經過一番思考，決定用點表示河中小島和陸地，用兩點之間的連線來表示連接它們的橋，如圖1所示.

這樣歐拉把河流、小島和橋的連接關系簡化為一個網絡，把七橋問題轉化成“從四個點中某一個點出發，能否一筆畫成這個網絡”的問題.針對這個簡化的網絡圖，歐拉的結論是：能夠不重復經過七座橋的路線是不存在的.歐拉的思考給出了能夠滿足一筆畫圖形的條件，即“當各點或者都是與偶數條線相連接的點，或者其中只有兩個點與奇數條直線相連時，一筆畫圖形才能成立”.據此，七橋問題中，河中兩座小島和河兩岸看成四個點，其中一個點與五條線相交，其余三個點各與三條線相交，總共有四個點與奇數條線相連，所以不論是否要求起點與終點重合，都不能一筆畫出這個圖形.

困擾柯尼斯堡人多年的問題終于解決了，更讓人折服、讓人震撼的是，歐拉在解決“七橋問題”時，把陸地和小島抽象成點，把橋梁抽象成線，這種思想的重要性和巧妙之處就在于，歐拉把一個實際問題抽象成了一個“數學模型”.歐拉把這一個數學模型思考所得的結論在圣彼得堡科學院做了學術報告，又被后人稱為“歐拉定理”，并由此推開了一門嶄新的學科——拓撲學的大門.

在看不到數學的地方，構建數學模型，不僅讓我們感受到數學思維之深刻，更讓我們震撼于數學模型之深刻.

這是一個發生在20世紀90年代一個真實的故事.上海和平飯店的電工在例行查巡中發現，由地下室控制的10層以上房間的空調的溫度不佳.原因是空調使用三相電，而連接地下室的三根導線的長度不同，因而電阻也不同.剩下的問題是如何測量這三根電線的電阻.顯然用萬用表是無法測出這樣長而且固定安裝好的電線的電阻.這位電工絕妙之處就在于他想到了構建數學模型.首先把三根導線在高樓上依次兩兩連接，然后到地下室測量分別“兩根導線”的電阻，如圖2所示.

這里，A→B→C是學生的難點，C→D學生相對熟悉，D→E是發現錯誤、調整偏差的過程，而E→A則是不可忽略的，數學建模解決實際問題往往不是一蹴而就，有時需要修改重構模型，有時要從構建的多個模型中進行遴選優化.數學建模的各個環節都有著不同的思維訓練的價值.因此在教學設計時應充分發揮其功能.

例1 用數字1、2、3、……、300給300盞燈編號，假設開始時燈全亮著.第一次拉編號2的倍數的燈的開關，第二次拉編號是3的倍數的燈的開關，第三次拉編號是5的倍數的燈的開關.問拉了三次開關后，還亮著的燈有多少盞？

分析 在審讀這一實際問題后，認為它與公倍數有關，于是建立關于容斥原理的數學模型：在1、2、3、……、300中，有多少個不能被2、3、5中任何一個數整除的數？由容斥原理可得300-150-100-60+50+20+30-10=80，于是得到答案，最后亮著的燈有80盞.這是受容斥原理思維定勢產生的錯誤.

在數學建模時，我們一定要認真審讀實際問題中已知的條件，尤其是對隱含條件的挖掘.審題時要剔除非本質因素，尋找問題的最基本最原始的狀態.對模型的解要進行驗證，若檢驗結果和實際情況相悖，就要重構模型.

華羅庚大師說過，“善于‘退’，‘退’到最原始而又不失重要性的地方，是學好數學的一個訣竅”，因為2、3、5的最小公倍數是30，所以先考慮編號為1～30的燈.再不妨退一步，從簡單情形做起，以簡馭繁，用“一、=、～”分別表示拉了一次、二次、三次開關的燈，如下表：

3 運用于數學建模之教學

學用相長是數學建模教學的基本指導思想.研讀教材，精選課本例題；創設情境，開展數學建模；學以致用，重視學科滲透，應該成為數學教學“自然的一部分”.這樣學生，才能在各種生活背景下和學科滲透中體驗數學的具體含義和無窮魅力.

例2 兩種固體物質M，N，它們的溶解度隨溫度升高而增大.已知30°C時30克水中最多可溶解3克的物質M，20°C時20克水中最多可溶解2克物質N.那么25°C時，這兩種物質溶解度大小關系是（ ）.

A.MN> B.MN<

C.MN= D.無法比較

只要學生能準確理解溶解度的概念，從化學的角度就可以判斷出正確答案為B.

由已知不難算得物質M在30°C和物質N在20°C時得到溶解度均為10克.已知這兩種物質的溶解度都隨著溫度升高而增大，因此我們可以虛擬它們的增函數圖像的數學模型，如圖3所示.由函數增減性結合不等式的傳遞性，不難得出正確答案為B.

圖3 虛擬出的兩種物質的溶解度與溫度關系的函數圖象

從化學的角度，我們還可以用勒夏特列原理對上述解答給出解釋.該原理指出：如果改變影響平衡的條件之一（如溫度、壓強以及參加反應的化學物質的濃度），平衡將向著能夠減弱這種改變的方向移動.當物質M，N的水溶液處于飽和狀態時，可以視為在一定溫度下的一種平衡.當溫度升高（或降低）時，平衡將向能夠減弱這種改變的方向移動，即飽和溶液的飽和程度降低（或升高）.因此，物質M的溶解度降低（小于10克），物質N的溶解度升高（大于10克），問題的答案不言而喻是B.

各個學科都在用不同的方式述說著同一個大千世界，新課程十分重視學科間的縱橫聯系.數學建模是它們之間的溝通的橋梁之一.當我們面對現實生活中“只緣身在此山中”的困惑時，數學建模給我們帶來“柳暗花明又一村”的頓悟.至此，我們對本文開關錢學森的論述的認識必然跨躍到一個新的高度.

由此看來，數學建模教學的基本過程應包括模型的準備→假設→建模→解模→驗模→應用或修正等主要程序.從方法論的角度看，數學建模是解決實際問題的一種數學思想方法，體現了解決數學應用問題的基本步驟，具有學科間學習方法的滲透、借鑒與綜合的特質.從認識論的角度看，數學建模是基于一種數學認識活動、一種問題解決過程，有時需要多次迭代才能完成的過程，是一種讓學生在各種情境和生活背景下體驗數學具體意義的過程.從教學論的角度看，數學建模是理論與實際的有機統一，是學生認知結構的建構和完善的過程.其實質是以學生的發展為本，強調創新精神和實踐能力的培養.

現實生活的數學模型，來源于對現實中客觀事物的數學抽象，其建構過程是直觀與邏輯相結合的過程，它伴隨著學生認知水平循序漸進地螺旋式發展和提升.

參考文獻

[1]張奠宙，紫俊.欣賞數學的真善美.中學數學教學參考，2010（1）：3-7

[2]張思明.中學數學建模教學的實踐與認識.數學通報，1996（6）：10[3]單墫.解題研究.上海：教育出版社，2007