普通塔式起重機(jī)拉桿的非線性問題

【摘 要】 塔式起重機(jī)在建筑領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用，雙吊點(diǎn)普通塔式起重機(jī)作為其中最重要一員，其設(shè)計(jì)和分析也相應(yīng)地得到越來越多的重視。但就目前的分析方法和方式而言，雙吊點(diǎn)起重臂的拉桿未得到充分重視和準(zhǔn)確分析，其解析方程和分析模型均未考慮垂度影響。本文基于懸鏈線理論和基本假定，建立了等效彈性模量法和直桿單元法來解決拉桿變形的非線性問題，并利用ANSYS有限元分析軟件針對(duì)一算例分別進(jìn)行線性和非線性分析，通過比較分析結(jié)果，說明拉桿的垂度問題對(duì)起重臂的計(jì)算和分析有一定的影響，其影響效果因結(jié)構(gòu)和工況的變化而不同，因而，在實(shí)際計(jì)算分析中，是否需要考慮非線性因素應(yīng)區(qū)別對(duì)待。

【關(guān)鍵詞】 拉桿 非線性 等效彈性模量 直桿單元 ANSYS

1 引言

隨著國(guó)內(nèi)建筑市場(chǎng)的快速發(fā)展，塔式起重機(jī)的數(shù)量急劇增加，應(yīng)用范圍也越來越廣，特別是雙吊點(diǎn)普通塔式起重機(jī)憑借其價(jià)格低、安裝操作簡(jiǎn)便快捷、適用范圍廣等特點(diǎn)，占據(jù)著大部分市場(chǎng)份額。但是，雙吊點(diǎn)起重臂為超靜定結(jié)構(gòu)，計(jì)算較為復(fù)雜，在一定程度上制約了其創(chuàng)新設(shè)計(jì)和改型發(fā)展。

雙吊點(diǎn)起重臂結(jié)構(gòu)是由起重臂架及前后拉桿（又稱長(zhǎng)拉桿和短拉桿）組成的，存在一個(gè)多余約束，為一次超靜定結(jié)構(gòu)。超靜定結(jié)構(gòu)求解需綜合考慮三個(gè)方面的條件，即平衡條件、幾何條件和物理?xiàng)l件。目前，雙吊點(diǎn)起重臂分析一般通過手工計(jì)算和軟件計(jì)算兩種途徑，無論哪種分析手段都未曾考慮拉桿的垂度影響，因而其建立的幾何條件方程或模型都與實(shí)際情況有一定差異，其準(zhǔn)確性和合理性值得質(zhì)疑，特別是軟件計(jì)算中，用link8或link10這兩種桿單元來模擬拉桿的靜力特性時(shí)，還可能出現(xiàn)拉桿受壓狀態(tài)，這更是與實(shí)際工況和狀態(tài)嚴(yán)重不符。

雙吊點(diǎn)起重臂結(jié)構(gòu)的拉桿長(zhǎng)度較大，自重垂度不容忽略，是大變形柔性結(jié)構(gòu)，其靜力分析屬于幾何非線性問題。本文基于懸鏈線理論和基本假定，提供了兩種解析算法，一是引入等效彈性模量，將非線性問題轉(zhuǎn)換為線性問題處理，另一種是建立拉桿的非線性模型，該模型能較真實(shí)和準(zhǔn)確地反映拉桿變形受外力影響的非線性變化。最后通過一個(gè)算例，使用成熟的有限元分析軟件進(jìn)行線性和非線性分析，并比較二者結(jié)果差異。

2 非線性解析算法

目前，懸索結(jié)構(gòu)的建模和分析方法已經(jīng)成熟，本文擬參照懸索結(jié)構(gòu)分析的方法和思想，對(duì)拉桿變形的非線性問題進(jìn)行研究和分析。懸索和拉桿結(jié)構(gòu)有相似之處，但并非完全相同，拉桿結(jié)構(gòu)有著自身的特點(diǎn)，因此拉桿非線性問題不能簡(jiǎn)單等效成懸索結(jié)構(gòu)非線性問題，而需要探索和建立獨(dú)特的方法和模型。為實(shí)現(xiàn)方法的研究和模型的創(chuàng)建，首先提出了一些基本假定。

2.1基本假定

（1）假設(shè)拉桿連接鉸點(diǎn)相當(dāng)光滑，無摩擦力，不能承受彎矩；

（2）假設(shè)各段拉桿均無彎曲撓度；

（3）假設(shè)拉桿自重載荷沿拉桿長(zhǎng)度方向均勻分布；

（4）忽略拉桿整體轉(zhuǎn)動(dòng)角度；

（5）忽略拉桿橫截面在變形前后的變化。

2.2等效彈性模量法

拉桿在軸向力作用下，若不計(jì)垂度影響時(shí)，材料的彈性模量是線性的，可以表示為：

[Ee=σεe] （1）

式中，[σ]為拉桿內(nèi)應(yīng)力，[εe]為拉桿線性彈性應(yīng)變。

如圖1所示拉桿模型，拉桿無外力作用的初始長(zhǎng)度為L(zhǎng)[′]，與水平線傾斜呈α角，A端鉸支，B端滾支，工作狀態(tài)下，拉桿因自身重力和軸向力作用會(huì)產(chǎn)生非線性垂度，從而使拉桿的長(zhǎng)度減少為L(zhǎng)。

圖1 拉桿等效彈性模量法模型

假設(shè)拉桿滾支端B受到沿拉桿方向由B背離A的方向力F作用時(shí)，拉桿B端將沿著拉桿方向向外移動(dòng)，如果F力足夠大，則拉桿將被拉成一直線，B端返回原來B[′]點(diǎn)，其伸長(zhǎng)量為：

[δ=L-L] （2）

拉桿在自重作用下的垂度曲線近似按拋物線計(jì)算，再略去高階微量，伸長(zhǎng)量可表示為：

[δ=A2q2L3cos2α24F2] （3）

式中，[A]為拉桿截面積，[q]為拉桿重度。

拉桿垂度變化引起的應(yīng)變變化為：

[d（εf）=d（δ）L=-A2q2L2cos2α12F3dF]（4）

式中，[A]為拉桿線性彈性應(yīng)變，負(fù)號(hào)表示垂度增加導(dǎo)致拉桿在延長(zhǎng)方向上的應(yīng)變減小。

因此，由式（4）可推得拉桿非線性變形模量為：

[Ef=σεf=-12F3A2q2L2cos2α=12σ3q2L2cos2α] （5）

拉桿在外力和自身重力作用下的總應(yīng)變包括線性彈性應(yīng)變和非線性彈性應(yīng)變，即：

[ε=εe+εf] （6）

為了將拉桿變形的非線性問題轉(zhuǎn)變成線性問題，需要修正拉桿的垂度影響，因此引入等效彈性模量，其計(jì)算公式為：

[Eeq=EeEfEf-Ee=Eeq2L2cos2α12σ3Ee-1] （7）

2.3直桿單元法

等效彈性模量法是假定拉桿懸垂曲線近似拋物線的情況下而推得的，但拉桿的實(shí)際懸垂曲線在大多數(shù)情況下應(yīng)如圖2所示，它是由多個(gè)直線段連接而成，非光滑曲線，每條直線均為一個(gè)直桿單元，拉桿的非線性模型可以通過直桿單元分析來建立。根據(jù)圖示的拉桿模型，拉桿無外力作用的初始長(zhǎng)度L[′]工作狀態(tài)下，拉桿受自身重力和兩端外力作用，懸垂后長(zhǎng)度為L(zhǎng)，直桿單元數(shù)量為n。

圖2 拉桿直桿單元模型

圖3所示拉桿其中一個(gè)直桿單元模型，其初始長(zhǎng)度為li[′]（i=1，2…n），兩端外力分別為Fi和Fi+1，重力為Gi，合外力作用后，直桿單元長(zhǎng)度變?yōu)閘i，外力Fi和Fi+1與水平方向夾角分別為θi和θi+1，直桿單元與水平方向夾角為αi。

圖3 單直桿單元模型

由直桿單元的平衡條件建立彎矩和力的平衡方程，可得：

[ΣM=0?Ficosθilisinαi+Gi12licosαi=Fisinθilicosαi] （8）

[ΣF=0?Gi+Fi+1sinθi+1=FisinθiFi+1cosθi+1=Ficosθi] （9）

每個(gè)直桿單元所受外力而產(chǎn)生的撓度忽略，側(cè)重分析其軸向應(yīng)變，考慮到這一變化后，直桿單元長(zhǎng)度應(yīng)為：

[li=li′+Ficos（θi-αi）EA] （10）

將式（10）帶入到平衡方程（8）和（9）中，該模型中外力[Fi]作為已知量，除此之外還存在四個(gè)未知量，因此需要施加邊界條件，根據(jù)基本假定（4），拉桿的端點(diǎn)B應(yīng)始終沿著拉桿長(zhǎng)度方向產(chǎn)生位移，則可推出模型優(yōu)化后的結(jié)果必需滿足如下條件：

[i=1nlisinαii=1nlicosαi=tanα] （11）

因此，經(jīng)過迭代和優(yōu)化計(jì)算后，就可以確定拉桿的位置和形狀，其與外力的非線性模型可以表示為：

[LX=i=1n（li′+Ficos（θi-αi）EAli′）cosαiLY=i=1n（li′+Ficos（θi-αi）EAli′）sinαi] （12）

3 有限元軟件計(jì)算

通過上節(jié)的分析可以明顯看出，等效彈性模量法簡(jiǎn)便易行，但其精確度較差，而直桿單元法建立的模型計(jì)算精確，但計(jì)算量偏大，并且需要設(shè)計(jì)相應(yīng)的軟件，其基本思想為有限元思想，所以可以考慮借助通用的有限元軟件來進(jìn)行非線性分析，只需在建模和分析時(shí)遵循基本假定和直桿單元法的思想便可實(shí)現(xiàn)。目前，ANSYS軟件是一款應(yīng)用較為廣泛的通用有限元分析軟件，可以求解材料非線性、幾何非線性和單元非線性三種非線性問題，本文擬用此軟件進(jìn)行分析。

由于基于ANSYS軟件的起重臂線性分析已經(jīng)非常成熟，本文不予贅述，僅就幾個(gè)與非線性相關(guān)的關(guān)鍵問題做一下補(bǔ)充。ANSYS軟件中，LINK10單元因其獨(dú)一無二的雙線性剛度矩陣特性，而成為一個(gè)軸向僅受拉或僅受壓桿單元。使用只受拉選項(xiàng)時(shí)，如果單元受壓，剛度就消失，可以模擬纜索的松弛或鏈條的松弛。這一特性對(duì)于模擬拉桿的靜力問題非常有用，因此本文用LINK10單元代替以往常用的LINK8單元。迭代采用NEWTON-RAPHSON法，求解控制器中需指定分析類型為“Large Displacement Static”，并打開應(yīng)力剛度。設(shè)置相應(yīng)的時(shí)間載荷步，使載荷能夠逐漸地施加，利于模型計(jì)算能夠收斂，以取得精確解。

4 算例

以某種型號(hào)為QTZ40的雙吊點(diǎn)普通塔式起重機(jī)為例，分別進(jìn)行起重臂結(jié)構(gòu)的線性和非線性有限元分析，工況一為起重臂臂尖吊載，工況二為長(zhǎng)拉桿和短拉桿之間跨中吊載，起重量均按額載要求加載。起重臂架上應(yīng)力測(cè)試點(diǎn)為1、2、4、5、7、8六點(diǎn)，前拉桿（即長(zhǎng)拉桿）上應(yīng)力測(cè)試點(diǎn)為3點(diǎn)，后拉桿（即短拉桿）上應(yīng)力測(cè)試點(diǎn)為6點(diǎn)，兩種工況下起重臂有限元線性分析和非線性分析結(jié)果如表1和表2所示。

表1 工況一起重臂有限元分析應(yīng)力值

由表1中的計(jì)算結(jié)果可以看出來，線性分析和非線性分析結(jié)果雖然不完全相同，但變化不大，絕對(duì)差值最大為1.13MPa，因而，針對(duì)本文算例而言，工況一的起重臂拉桿非線性分析是不需要的。

表2 工況二起重臂有限元分析應(yīng)力值

由表2中的計(jì)算結(jié)果可以看出來，該工況下的線性分析和非線性分析結(jié)果較工況一已經(jīng)有較大變化，關(guān)鍵分析點(diǎn)的應(yīng)力值的絕對(duì)差值最大為3.3MPa，最大拉應(yīng)力的應(yīng)力值絕對(duì)差值為8.14MPa，相對(duì)差值為9%，并且長(zhǎng)短拉桿的應(yīng)力值均有較大的差別，由此造成起重臂的受力情況和應(yīng)力分布也有較大變化。因此，工況二的起重臂拉桿非線性分析是很有必要的。

綜上所述，不同工況下非線性分析的效果是不一樣的，應(yīng)根據(jù)具體的結(jié)構(gòu)和工況區(qū)別對(duì)待。起重臂結(jié)構(gòu)分析計(jì)算時(shí)，可以先施加基本的額定載荷，以此校核是否需要進(jìn)行非線性分析，然后根據(jù)載荷組合要求詳細(xì)計(jì)算。非線性影響較大的結(jié)構(gòu)應(yīng)進(jìn)行非線性分析，以保證分析結(jié)果的準(zhǔn)確性和可靠性，影響較小的可以采用線性分析，以節(jié)省計(jì)算時(shí)間，提高計(jì)算分析效率。

5 結(jié)論

本文針對(duì)雙吊點(diǎn)塔式起重機(jī)起重臂的拉桿結(jié)構(gòu)提出了垂度影響問題，為解決該問題首先引入了等效彈性模量，將非線性問題轉(zhuǎn)化為線性問題加以解決，接下來推出了直桿單元法，建立了拉桿的非線性模型，提供了迭代方程和優(yōu)化方程。為方便計(jì)算和分析，本文使用了ANSYS有限元軟件針對(duì)算例進(jìn)行了具體分析，最后得出結(jié)論，拉桿的垂度問題對(duì)起重臂的計(jì)算和分析有一定的影響，其影響效果因結(jié)構(gòu)和工況的變化而不同，因而，在實(shí)際計(jì)算分析中，是否需要考慮非線性因素應(yīng)區(qū)別對(duì)待。

參考文獻(xiàn)：

[1]J.H.Ernst.Der E-ModulVon Seilen unter Berucksichtigungdes urchhangers[J].Der Bauingenieur，1965，40（2）：52-55

[2]楊孟剛，陳政清.節(jié)點(diǎn)曲線索單元精細(xì)分析的非線性有限元法[J].工程力學(xué)，2003，20（1）：42～47