解題策略中歸納、演繹、類比及其特點分析

【摘 要】面對不同的數學問題，解題策略也是多變的。本文主要分析解題策略中歸納、演繹、類比三種策略。

【關鍵詞】數學解題策略 歸納策略 演繹策略 類比策略

【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2014）35-0136-02

數學解題策略就是為了實現解題目的而確定的行動方針、方式和方法。與其他事物一樣，數學解題策略有其內在的規律性，這個規律性表現在解題策略遵循著熟悉化、簡單化、具體化及和諧化等策略原則。掌握好這些原則，會有利于解題策略的制定。面對不同的數學問題，解題策略也是多變的。本文主要分析解題策略中的歸納、演繹、類比三種策略。

一 歸納策略

歸納策略是從特殊到一般的一種考察對象、研究探索問題的思想，它符合人類認識的基本規律，也是數學研究和發現的重要方法。它分為完全歸納法和不完全歸納法。

當我們面對一個一般性的普遍命題，或研究某一對象集共同的性質時，由于沒有從具體到抽象、從個別到一般的歸納過程作鋪墊，往往造成數學解題的困難。這種情況下，我們常用的解題策略是歸納或稱以退為進策略、特殊化策略，就是還原或補上從具體到抽象、從個別到一般這一歸納過程。先研究幾個個別、較為具體的對象，先分析幾種簡單、特殊的情況，從中發現解決問題的途徑。相應的具體做法表現為取值、枚舉、遞推、極端、試驗、特殊化等（如例1）。

歸納策略的特點：（1）局部的合理性；（2）整體的不嚴密性。

例，過△ABC的重心G作

一直線l，把△ABC分成兩部分，

求證：這兩個部分的面積之差不

大于△ABC面積的九分之一。

（如右圖）

分析：先特殊，作EF//BC，再作任意直線MN，SEBCF-SMBCN=SEMD，SAMN-SAEF=SEMD，SEBCF-SMBCN+SAMN-SAEF=

2SEMD>0，所以SMBCN-SAMN≤SEBCF-SAEF= SABC。

故得證。

歸納與猜想是學習、解決數學問題行之有效的方法之一，它使復雜的問題簡單化，抽象的問題具體化，從特殊問題中總結出一般規律。我們若對一些不熟悉甚至無從下手的數學問題進行有目的地觀察實驗、歸納、猜想常能得到一些有益的啟發，為解決數學問題提供依據和方向。

二 演繹策略

與歸納法相反，有些數學題的具體情境、具體細節可能會掩蓋更為一般的普遍規律，從而不利于發現數學規律。這時，我們可以把問題一般化，通過對整體性質或本質關系的考察，使原問題得到解決，這種策略稱為演繹策略。

1.演繹法的類型

第一，公理演繹法的特點是大前提是依據公理（或公設）進行推理。

第二，假說演繹法的特點是以假說作為推理的大前提，它的一般形式可寫為：

如果p（假說），則有q（某事件）；

因為q（或非q），

所以p可能成立（或p不成立）。

第三，定律演繹法是以某個定律或某種規律作為大前提的演繹法。作為演繹推理前提的規律包括有兩類：一類是經驗規律，另一類是普遍規律。

第四，理論演繹法，以某一理論為大前提，以在該理論范圍內的確切事實為小前提的演繹稱為理論演繹法。理論演繹法的一般形式如下：

大前提：有M理論在某一范圍內是正確的；在此范圍內規律P普遍適用。

小前提：假定事物S的行為受M理論的支配。

結論：則S的行為規律為P。

2.歸納與演繹的關系

主要區別：思維的起點不同，歸納推理是從特殊性到一般的認識過程；演繹推理是從一般到特殊性的認識過程。

相互聯系：歸納與演繹，在人們的認識過程中是緊密聯系著的，兩者互相依賴、互為補充。演繹是一般性知識（大前提）的來源，來自于歸納推理概括和總結，從這個意義上說，沒有歸納推理也就沒有演繹推理。正如恩格斯指出：“歸納和演繹，正如分析和綜合一樣，是必然相互聯系著的”。

例，比較 與 的大小。

分析：2= ，考慮函數f（x）= （x>0）。知f（x）

是凸函數，故有f（x1）+f（x2）≤ ，取x1=7，x2=8。

三 類比策略

類比是通過兩類不同的對象A、B間的某些屬性的相似，而A具有某種其他屬性便猜想B也有這種屬性。可見，類比是提出新問題和獲得新發現的一條重要途徑。

在數學解題過程中，常常需要借助類比，因為在將陌生對象和熟悉對象、未知規律和已知規律類比后，往往能達到啟發思路、舉一反三的效果，實現認識結構的遷移。通常采用的有規律類比、數形類比、形式類比等。

1.類比法的特點是“先比后推”

“比”是類比的基礎，“比”既要比共同點，也要比不同點。對象之間的共同點是類比法是否能夠施行的前提條件，沒有共同點的對象之間是無法進行類比推理的。

2.類比的分類

按對象分類：個別性類比、特殊性類比和普遍性類比。按斷定分類：正（肯定式）類比、負（否定式）類比和正、負（肯定否定式）類比等類型。按內容分類：性質類比、關系類比、條件類比等類型。按思維方向分類：單向類比、雙向類比和多向類比等類型。

3.類比與歸納演繹的關系

類比之所以能“由此及彼”，是經過了一個歸納和演繹程序，即：從已知的某個或某些對象具有某情況，經過歸納得出某類所有對象都具有這種情況，然后再經過演繹得出另一個對象也具有這個情況，也就是“類推”。三者間是緊密相連的。

下面這個例子就很好地應用了類比策略。

例1，已知 ，求證： 。

分析1：類比聯想到拆“1”，即：1=sin2α+cos2α。

即 ，通分，整理

得（cos2α-cos2β）（sin2α-sin2β）=0，即得cos2α=cos2β，sin2α=sin2β。

分析2：類比到橢圓方程，即點P（cos2α，sin2α），

Q（cos2β，sin2β）。在橢圓 上，過Q點的

切線方程為x+y=1，而P點又在x+y=1上，故點P與Q重合，即cos2α=cos2β，sin2α=sin2β。

4.應用類別應注意的問題

首先，不要受自己的研究對象和學科的限制，要大膽猜想、善于觀察，從不同事物中觀察它們的共同和相似之處，并追究造成這種共同和相似的原因。其次，善于聯想。從一種方式方法聯想到與其作用類似的其他方式方法；從一個概念或定理聯想到與它關系比較密切的一串概念或定理。最后，類比常與歸納、演繹綜合運用，另外它也離不開分析。歸納、類比和探索性演繹法通常是靠猜想與聯想等心智運動串聯起來的，因此必須自覺掌握創新性思維，并把它運用到實際的工作和學習生活中去。

參考文獻

[1]朱華偉、錢展望.數學解題策略[M].北京：科學出版社，2009

[2]殷堰工編著.數學解題策略精編[M].上海：上海科技教育出版社，1994

〔責任編輯：林勁〕