解題策略中歸納、演繹、類比及其特點(diǎn)分析

【摘 要】面對(duì)不同的數(shù)學(xué)問(wèn)題，解題策略也是多變的。本文主要分析解題策略中歸納、演繹、類比三種策略。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)解題策略 歸納策略 演繹策略 類比策略

【中圖分類號(hào)】G642 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1674-4810（2014）35-0136-02

數(shù)學(xué)解題策略就是為了實(shí)現(xiàn)解題目的而確定的行動(dòng)方針、方式和方法。與其他事物一樣，數(shù)學(xué)解題策略有其內(nèi)在的規(guī)律性，這個(gè)規(guī)律性表現(xiàn)在解題策略遵循著熟悉化、簡(jiǎn)單化、具體化及和諧化等策略原則。掌握好這些原則，會(huì)有利于解題策略的制定。面對(duì)不同的數(shù)學(xué)問(wèn)題，解題策略也是多變的。本文主要分析解題策略中的歸納、演繹、類比三種策略。

一 歸納策略

歸納策略是從特殊到一般的一種考察對(duì)象、研究探索問(wèn)題的思想，它符合人類認(rèn)識(shí)的基本規(guī)律，也是數(shù)學(xué)研究和發(fā)現(xiàn)的重要方法。它分為完全歸納法和不完全歸納法。

當(dāng)我們面對(duì)一個(gè)一般性的普遍命題，或研究某一對(duì)象集共同的性質(zhì)時(shí)，由于沒(méi)有從具體到抽象、從個(gè)別到一般的歸納過(guò)程作鋪墊，往往造成數(shù)學(xué)解題的困難。這種情況下，我們常用的解題策略是歸納或稱以退為進(jìn)策略、特殊化策略，就是還原或補(bǔ)上從具體到抽象、從個(gè)別到一般這一歸納過(guò)程。先研究幾個(gè)個(gè)別、較為具體的對(duì)象，先分析幾種簡(jiǎn)單、特殊的情況，從中發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的途徑。相應(yīng)的具體做法表現(xiàn)為取值、枚舉、遞推、極端、試驗(yàn)、特殊化等（如例1）。

歸納策略的特點(diǎn)：（1）局部的合理性；（2）整體的不嚴(yán)密性。

例，過(guò)△ABC的重心G作

一直線l，把△ABC分成兩部分，

求證：這兩個(gè)部分的面積之差不

大于△ABC面積的九分之一。

（如右圖）

分析：先特殊，作EF//BC，再作任意直線MN，SEBCF-SMBCN=SEMD，SAMN-SAEF=SEMD，SEBCF-SMBCN+SAMN-SAEF=

2SEMD>0，所以SMBCN-SAMN≤SEBCF-SAEF= SABC。

故得證。

歸納與猜想是學(xué)習(xí)、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題行之有效的方法之一，它使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象的問(wèn)題具體化，從特殊問(wèn)題中總結(jié)出一般規(guī)律。我們?nèi)魧?duì)一些不熟悉甚至無(wú)從下手的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行有目的地觀察實(shí)驗(yàn)、歸納、猜想常能得到一些有益的啟發(fā)，為解決數(shù)學(xué)問(wèn)題提供依據(jù)和方向。

二 演繹策略

與歸納法相反，有些數(shù)學(xué)題的具體情境、具體細(xì)節(jié)可能會(huì)掩蓋更為一般的普遍規(guī)律，從而不利于發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律。這時(shí)，我們可以把問(wèn)題一般化，通過(guò)對(duì)整體性質(zhì)或本質(zhì)關(guān)系的考察，使原問(wèn)題得到解決，這種策略稱為演繹策略。

1.演繹法的類型

第一，公理演繹法的特點(diǎn)是大前提是依據(jù)公理（或公設(shè)）進(jìn)行推理。

第二，假說(shuō)演繹法的特點(diǎn)是以假說(shuō)作為推理的大前提，它的一般形式可寫為：

如果p（假說(shuō)），則有q（某事件）；

因?yàn)閝（或非q），

所以p可能成立（或p不成立）。

第三，定律演繹法是以某個(gè)定律或某種規(guī)律作為大前提的演繹法。作為演繹推理前提的規(guī)律包括有兩類：一類是經(jīng)驗(yàn)規(guī)律，另一類是普遍規(guī)律。

第四，理論演繹法，以某一理論為大前提，以在該理論范圍內(nèi)的確切事實(shí)為小前提的演繹稱為理論演繹法。理論演繹法的一般形式如下：

大前提：有M理論在某一范圍內(nèi)是正確的；在此范圍內(nèi)規(guī)律P普遍適用。

小前提：假定事物S的行為受M理論的支配。

結(jié)論：則S的行為規(guī)律為P。

2.歸納與演繹的關(guān)系

主要區(qū)別：思維的起點(diǎn)不同，歸納推理是從特殊性到一般的認(rèn)識(shí)過(guò)程；演繹推理是從一般到特殊性的認(rèn)識(shí)過(guò)程。

相互聯(lián)系：歸納與演繹，在人們的認(rèn)識(shí)過(guò)程中是緊密聯(lián)系著的，兩者互相依賴、互為補(bǔ)充。演繹是一般性知識(shí)（大前提）的來(lái)源，來(lái)自于歸納推理概括和總結(jié)，從這個(gè)意義上說(shuō)，沒(méi)有歸納推理也就沒(méi)有演繹推理。正如恩格斯指出：“歸納和演繹，正如分析和綜合一樣，是必然相互聯(lián)系著的”。

例，比較 與 的大小。

分析：2= ，考慮函數(shù)f（x）= （x>0）。知f（x）

是凸函數(shù)，故有f（x1）+f（x2）≤ ，取x1=7，x2=8。

三 類比策略

類比是通過(guò)兩類不同的對(duì)象A、B間的某些屬性的相似，而A具有某種其他屬性便猜想B也有這種屬性。可見，類比是提出新問(wèn)題和獲得新發(fā)現(xiàn)的一條重要途徑。

在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，常常需要借助類比，因?yàn)樵趯⒛吧鷮?duì)象和熟悉對(duì)象、未知規(guī)律和已知規(guī)律類比后，往往能達(dá)到啟發(fā)思路、舉一反三的效果，實(shí)現(xiàn)認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)的遷移。通常采用的有規(guī)律類比、數(shù)形類比、形式類比等。

1.類比法的特點(diǎn)是“先比后推”

“比”是類比的基礎(chǔ)，“比”既要比共同點(diǎn)，也要比不同點(diǎn)。對(duì)象之間的共同點(diǎn)是類比法是否能夠施行的前提條件，沒(méi)有共同點(diǎn)的對(duì)象之間是無(wú)法進(jìn)行類比推理的。

2.類比的分類

按對(duì)象分類：個(gè)別性類比、特殊性類比和普遍性類比。按斷定分類：正（肯定式）類比、負(fù)（否定式）類比和正、負(fù)（肯定否定式）類比等類型。按內(nèi)容分類：性質(zhì)類比、關(guān)系類比、條件類比等類型。按思維方向分類：?jiǎn)蜗蝾惐取㈦p向類比和多向類比等類型。

3.類比與歸納演繹的關(guān)系

類比之所以能“由此及彼”，是經(jīng)過(guò)了一個(gè)歸納和演繹程序，即：從已知的某個(gè)或某些對(duì)象具有某情況，經(jīng)過(guò)歸納得出某類所有對(duì)象都具有這種情況，然后再經(jīng)過(guò)演繹得出另一個(gè)對(duì)象也具有這個(gè)情況，也就是“類推”。三者間是緊密相連的。

下面這個(gè)例子就很好地應(yīng)用了類比策略。

例1，已知 ，求證： 。

分析1：類比聯(lián)想到拆“1”，即：1=sin2α+cos2α。

即 ，通分，整理

得（cos2α-cos2β）（sin2α-sin2β）=0，即得cos2α=cos2β，sin2α=sin2β。

分析2：類比到橢圓方程，即點(diǎn)P（cos2α，sin2α），

Q（cos2β，sin2β）。在橢圓 上，過(guò)Q點(diǎn)的

切線方程為x+y=1，而P點(diǎn)又在x+y=1上，故點(diǎn)P與Q重合，即cos2α=cos2β，sin2α=sin2β。

4.應(yīng)用類別應(yīng)注意的問(wèn)題

首先，不要受自己的研究對(duì)象和學(xué)科的限制，要大膽猜想、善于觀察，從不同事物中觀察它們的共同和相似之處，并追究造成這種共同和相似的原因。其次，善于聯(lián)想。從一種方式方法聯(lián)想到與其作用類似的其他方式方法；從一個(gè)概念或定理聯(lián)想到與它關(guān)系比較密切的一串概念或定理。最后，類比常與歸納、演繹綜合運(yùn)用，另外它也離不開分析。歸納、類比和探索性演繹法通常是靠猜想與聯(lián)想等心智運(yùn)動(dòng)串聯(lián)起來(lái)的，因此必須自覺掌握創(chuàng)新性思維，并把它運(yùn)用到實(shí)際的工作和學(xué)習(xí)生活中去。

參考文獻(xiàn)

[1]朱華偉、錢展望.數(shù)學(xué)解題策略[M].北京：科學(xué)出版社，2009

[2]殷堰工編著.數(shù)學(xué)解題策略精編[M].上海：上海科技教育出版社，1994

〔責(zé)任編輯：林勁〕