初中數學函數思想與方程思想的轉化

【摘 要】函數思想、方程思想貫穿整個初中數學的教與學，若我們能熟練地對這兩種數學思想進行恰當轉化，就會收到事半功倍的效果。本文通過分析具體案例著重探討了初中數學中函數思想與方程思想轉化的問題，希望能為數學教學提供有益參考。

【關鍵詞】初中數學 函數思想 方程思想

【中圖分類號】G632 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2014）35-0143-01

一 相關概念解析

函數思想是運用運動和變化的觀點，分析研究數學中的等量關系，建立函數關系，在運用函數圖像和性質分析問題中，達到轉化問題的目的。

方程思想是以數量關系為切入點，用數學語言把問題轉化為數學模型——方程、方程組，通過求解方程、方程組轉化問題。

雖然函數思想和方程思想是兩個不同的概念，但是這兩種數學思想卻有著密切的聯系。求方程ax2+bx+c=0的根就是求函數y=ax2+bx+c當函數值為0時自變量x的值；求方程ax2+bx+c=dx+e的根或根的個數就是求函數y=ax2+bx+c與函數y=dx+e圖像交點的橫坐標或交點的個數。這種緊密的關系為函數思想與方程思想在初中數學中的相互轉化提供了物質條件。

二 用函數思想解決方程問題

通過一個例題兩種不同解析方法的對比來體會用函數思想解決方程問題是否具有優越性。

一元二次方程x2+2（m-1）x+（m+2）=0中m為何值時，（1）有一根大于1、另一根小于1？（2）有一正根、一負根？

方法一用韋達定理解析：因為該方程有根，所以Δ≥0，Δ=b2-4ac=[2（m-1）]2-4（m+2）=4m2-12m+4≥0，

即m≤ 或m≥ 。

設x1<1，x2>1，則x1-1<0，x2-1>0則（x1-1）（x2-1）<0，也就是x1x2-（x1+x2）+1<0。

根據韋達定理x1+x2=-b/a x1x2=c/a，則有（m+2）+2（m-1）+1<0，解得m<-1/3。

設x1<0，x2>0，則x1x2<0，根據韋達定理x1x2=c/a，則有m+2<0，解得m<-2。

方法二用函數思想解析：將一元二次方程左邊看成是一個二次函數f（x）=x2+2（m-1）x+（m+2），那么一元二次方程x2+2（m-1）x+（m+2）=0的根就是函數f（x）=0中自變量x的值，也就是f（x）=x2+2（m-1）x+（m+2）這條開口向上的拋物線與x軸的交點。所以只需x=1時，f（x）<0。

則有1+2（m-1）+（m+2）<0，解得m<-1/3。

將一元二次方程左邊看成是一個二次函數f（x）=x2+2（m-1）x+（m+2），那么一元二次方程x2+2（m-1）x+（m+2）=0的根就是函數f（x）=0中自變量x的值，也就是f（x）=x2+2（m-1）x+（m+2）這條開口向上的拋物線與x軸的交點。所以只需x=0時，f（x）<0。

則有m+2<0，解得m<-2。

從兩種解析方法的比較中，不難看出：對于（1）的解析中運用函數思想解決方程問題可以大大減輕計算量，使復雜問題簡單化；對于（2）的解析中運用函數思想解決方程問題并沒有表現出很明顯的簡化效果。所以，解決方程問題我們要靈活把握，具體問題具體分析，本著化繁為簡的原則選擇合適的數學思想進行解題。

三 用方程思想解決函數問題

周末王芳騎自行車和小伙伴一起到郊外游玩。她從家出發后2小時到達目的地，游玩3小時后按原路以原速返回，王芳離家4小時40分鐘后，爸爸開車沿相同路線迎接王芳，如圖是他們離家的路程y（千米）與時間x（小時）的函數圖像。已知王芳騎車的速度為15千米/時，爸爸開車的速度為60千米/時。王芳家與游玩

地的距離是多少？爸爸出發

多長時間與王芳相遇？

根據題意可知王芳騎自

行車的速度為15千米/時，

而她到達游玩地所用時間是2小時，所以王芳家與游玩地的距離是15千米/時×2小時=30千米。

設爸爸出發后x小時與王芳相遇，根據題意，在王芳原路返回前20分鐘即1/3小時，爸爸開車出發，爸爸開車的速度為60千米/時，王芳騎車的速度為15千米/時，因此60x+15（x-1/3）=15×2。解一元一次方程求得x=7/15。

所以爸爸出發后7/15小時即爸爸出發后28分鐘與王芳相遇。

對于本題的解答，我們不能想當然地看到函數圖像就試圖求出函數的解析式。采用方程思想進行解答是把復雜的函數問題變成了簡單的一元一次方程問題和相遇問題，這樣大大降低了解題的難度。由此類行程問題看，函數思想和方程思想是一致的，它們都是以實際問題中的數量關系為切入點。而從難易程度上來說，方程思想更有利于學生接受。

在初中數學問題中，還有很多可以采用方程思想與函數思想互換方式解決的題型，我們只是希望通過本文的分析對轉化思想起到拋磚引玉的作用。希望在以后的數學教學中，能恰當地轉化思維解決復雜問題。

參考文獻

[1]柳曉燕.數學思想在初中數學應用題中的應用分析[J].中學時代，2013（14）

[2]馬新良.在初中數學教學中滲透數學思想方法[J].理科考試研究，2014（14）

[3]周偉揚.第七講 專題復習精講 方程思想和函數思想專題精講[J].中學生數理化（初中版·中考版），2010（6）

〔責任編輯：林勁〕