線性代數(shù)中逆矩陣的幾種討論方法

【摘要】本文結(jié)合實(shí)際教學(xué)情況，對(duì)逆矩陣的幾種討論方法進(jìn)行歸納總結(jié)，說明多種方法可靈活運(yùn)用。

【關(guān)鍵詞】逆矩陣;初等變換;滿秩

逆矩陣在實(shí)際中的應(yīng)用非常廣泛。例如在經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型中，我們時(shí)常研究投入產(chǎn)出問題，一般情況下需要建立形如的矩陣方程，并在一定條件下求解未知矩陣，這一實(shí)際問題的提出，就引出了矩陣的逆。在《線性代數(shù)》課程中，逆矩陣本身也是矩陣運(yùn)算中的一大類重點(diǎn)、難點(diǎn)問題，因此，矩陣逆的計(jì)算也備受關(guān)注。筆者就這一問題展開討論，并將幾種方法歸納總結(jié)如下：

一、定義法：

定義：對(duì)于階方陣，若存在階方陣，使得（為階單位陣），則稱方陣可逆，且方陣稱為方陣的逆矩陣。

（由于、互逆，故只需驗(yàn)證或其中一個(gè)成立即可）

例1.已知方陣滿足，驗(yàn)證可逆并求。、

證：由原式，得：，

由分配率，有：，

故可逆且。

二、公式法：

可逆，且（其中為的伴隨陣）

例2.討論的逆。

解：，可逆，且又，。

三、分塊法：

1. 假設(shè)，且、可逆，則;
2. 假設(shè)，且可逆，則。

1. 求的逆。

解：令，則，，故。

例4.求的逆。

解：令，則

。

五、初等變換法：

初等行變換： 或初等列變換：

例5.討論的逆。

解：

故：。

六、利用矩陣的秩討論可逆：

可逆滿秩

將化為上三角陣（階梯陣）

例6.判定是否可逆。

解：，故，滿秩，

可逆。

以上給出的討論矩陣逆的5種方法各有優(yōu)劣，從例2、例5、例6看出，對(duì)同一矩陣可一題多解，希望廣大同學(xué)在今后解題中靈活運(yùn)用。

參考文獻(xiàn)：

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[2] 王萼芳，石生明.高等代數(shù)[M].3版.2003.北京：高等教育出版社