線性代數中逆矩陣的幾種討論方法

【摘要】本文結合實際教學情況，對逆矩陣的幾種討論方法進行歸納總結，說明多種方法可靈活運用。

【關鍵詞】逆矩陣;初等變換;滿秩

逆矩陣在實際中的應用非常廣泛。例如在經濟數學模型中，我們時常研究投入產出問題，一般情況下需要建立形如的矩陣方程，并在一定條件下求解未知矩陣，這一實際問題的提出，就引出了矩陣的逆。在《線性代數》課程中，逆矩陣本身也是矩陣運算中的一大類重點、難點問題，因此，矩陣逆的計算也備受關注。筆者就這一問題展開討論，并將幾種方法歸納總結如下：

一、定義法：

定義：對于階方陣，若存在階方陣，使得（為階單位陣），則稱方陣可逆，且方陣稱為方陣的逆矩陣。

（由于、互逆，故只需驗證或其中一個成立即可）

例1.已知方陣滿足，驗證可逆并求。、

證：由原式，得：，

由分配率，有：，

故可逆且。

二、公式法：

可逆，且（其中為的伴隨陣）

例2.討論的逆。

解：，可逆，且又，。

三、分塊法：

1. 假設，且、可逆，則;
2. 假設，且可逆，則。

1. 求的逆。

解：令，則，，故。

例4.求的逆。

解：令，則

。

五、初等變換法：

初等行變換： 或初等列變換：

例5.討論的逆。

解：

故：。

六、利用矩陣的秩討論可逆：

可逆滿秩

將化為上三角陣（階梯陣）

例6.判定是否可逆。

解：，故，滿秩，

可逆。

以上給出的討論矩陣逆的5種方法各有優劣，從例2、例5、例6看出，對同一矩陣可一題多解，希望廣大同學在今后解題中靈活運用。

參考文獻：

[1] 趙樹嫄.線性代數[M].4版.2013.北京：中國人民大學出版社

[2] 王萼芳，石生明.高等代數[M].3版.2003.北京：高等教育出版社