雙曲丟番圖方程正整數解數的估計及其應用

【摘要】隨著我國科學技術的不斷發展，在網絡信息以及數字工程領域也取得了相當優異的成績，作為現代科技的主要學科之一，對數學中函數及其方程的研究也顯得更加具有實際意義，其作為教育過程中的傳統學科，數學函數及其方程計算被廣泛應用于農業、工業以及國防建筑等領域之中，并且在我國國民經濟發展的過程中也發揮著越來越重要的作用，對于數學函數及其方程運算的靈活應用，在一定程度上可以滿足人們生產過程中的數據整理需求。本文采用了逐步分析以及數學方程舉例的方法對雙曲丟番圖方程正整數解數的估計及其應用進行分析研究，以期對數學函數及其方程運算的發展提供相應的幫助。

【關鍵詞】雙曲丟番圖方程;正整數解數;估計;應用

前言：數學函數及其方程運算是現今社會工業及其他生產業所關注的熱點之一，由于這項學科類技術的應用能夠將生產效果通過數據的形式表達出來，所以一直以來也得到了國家的足夠重視。數學領域的發展和工業社會是相互促進的，現今，由于我國的數學教學歷史悠久，甚至可以追溯到幾千年以前，所以在較長的時間內取得了相當大的進步，但隨著時代的不斷更新，如果想要數學函數及其方程運算能夠順應時代并且進一步的發展，就需要在數學函數及其方程運算研究方面做出更大的努力。

一、丟番圖方程（Diophantine Equation）的概念

未知數個數對于方程個數的方程組或者方程被稱為不定式方程，丟番圖方程是不定式方程中的一種，主要針對整數解或者整系數有理解的一類方程，丟番圖方程名稱的由來是源自古希臘數學家丟番圖（Diophantus）而得到的，不僅是數論的一個非常重要的分支，更是歷史上數學領域最活躍的一個分支。在丟番圖方程中，包含著很多不同種類的丟番圖方程，由此，在對丟番圖方程進行求解的時候，需要涉及到初等數論以及現今代數的多方面數學分支，具有一定的復雜性和嚴謹性。

二、理論研究

在這個系統中進行加減乘除的計算，去永遠不會超出這些數字的范圍以外，這個系統就大概的表示出我們所需要的全部了，但是數的歷史不能止步于此，還有更加長遠的發展道路要走。

但是有的理論即使是在最初等的幾何領域也是不夠用的，假設讓我們來思考一個邊長為一厘米的正方形，研究它的對角線的長度，我們就可以將這個數記為C由勾股定理原則它應該滿足一定的數學公式，換種說法我們就要求解C2=2這個方程，這個數專門的稱呼叫做2的平方根，記為C=12，這個數所代表的東西是一個近似的答案，但實際的事實卻不盡人意，沒有一個分數能夠恰好的完全符合這樣的無理性的數學條件，用現代的術語來說，12則屬于無理數的類別，作為反駁事物而存在的，這就代表著它無法被恰好表示成為一個完整的分數[1]。

三、雙曲丟番圖方程正整數解數定理研究及結論

定理 基于丟番數方程有整數解的必要條件進行分析求解

根據相關已知條件，不失一般性設，那么且存在gt;0，gt;0。

假設有整數解的必要條件為。以下分析求解過程[2]。令

將

改為

根據相關文獻所給的求解方法，方程的解集由整數的全部因子（含1和本身）決定[3]。

四、基于定理研究與結論的相關推論

從定理證明我們大致得到下面幾個重要的推論。

推論，設k是指定正整數，6k-1、6k+1可視作孿生素數充分的必要條件可以看成是下面三個方程同一時間正整數解都沒有的情況。

6xy+x+y=k，"""""" （21）

6xy+x- y=k，"""""" （22）

6xy- x- y=k。"""""" （23）

證明 根據方程（6），方程（21）、（22）、（23）可以被分別寫成下面幾個方程形式：

（6x+1）（6y+1）=6k+1，

（6x- 1）（6y+1）=6k- 1，

（6x- 1）（6y- 1）=6k+1。

假使6k-1、6k+1都為素數，那么參考下后解方程（8）可以馬上推出方程（21）、（22）、（23）都無正整數解。依據數論方面的知識，比如像6k+1數只能有像6x+1或者是偶數個形比如像6y-1的因子，像6k-1的數只可以像6x+1因子與奇數個形像6y-1這些因子[4]。

五、雙曲丟番圖方程正整數解數的估計及其應用發展討論

（一）促進機械工程的模塊化

由于數字化產品的生產廠家的逐漸增多，開發和研制具有標準動力接口、電氣接口以及機械接口的數字化產品單元又是一個十分重要又非常復雜的工作，導致了功能模塊化成為了一項重要而艱巨的工程，如研制將電機、減速以及智能調速集為一體的多功能動力數字化分析系統，以及能完成典型操作的各種機械裝置的制造和成本預算，這樣一來，就可以通過標準單元的數學函數運算盡快的開發出具有現實意義的新產品，與此同時也對生產規模進行了擴大。

（二）促進工程機械系統智能化

在科技不斷發展的新時期，工程機械系統的智能化也是數學函數及其方程運算發展的一個重要發展方向，智能化系統指的是一種由人類專家和智能機器共同組成的人機一體化智能系統。在對這種系統具備推理、分析、構思、判斷和決策等一系列智能活動的研究時加入了一定的數學函數及其方程運算的重要理論，由于在科學技術在不斷地的探索研究中，人工智能越來越被人類專家所重視，這也導致數控機床的智能化與機器人也成為了數學函數及其方程運算應用發展中的明顯代表。

基于以上兩點來說，在對社會各領域發展的過程中，都有一定程度的對數學學科的應用，這就為雙曲丟番圖方程正整數解數的估計及其應用的發展打好了基礎，相信在不久的將來，更多的雙曲丟番圖方程正整數解數的估計及其應用成果能夠體現在人們的生活和生產中，得到進一步的完善與改進。

結論：近些年來，我國在網絡信息以及數字工程領域取得了相當大的發展，并且伴隨著科學技術的逐漸提升，數學學科技術逐漸的被應用在各行各業之中，在很大程度上促進了我國經濟的增長，在生產過程中引進數學學科技術，能夠將生產效率大大提高并且還能夠對生產效果進行數字體現。正是由于數學學科技術的重要性，使得我國更加重視學校的數學學習教程，這就使得在數學函數及其方程運算方面，一批又一批的新人才被不斷被培養，為我國各行各業的發展與創新，打下了良好的基礎。

參考文獻：

[1]王興波.雙曲丟番圖方程正整數解數的估計及其應用[J].佛山科學技術學院學報（自然科學版），2014（03）：10-14.

[2]杜先存，萬飛，楊慧章.關于丟番圖方程X～3±1=1267y～2的整數解[J].數學的實踐與認識，2013（15）：288-292.

[3]韓云娜.關于一類丟番圖方程整數解的討論與研究[J].西北大學，2011（06）：351-352.

[4]王興波.雙曲丟番圖方程正整數解數的估計及其應用[J].佛山科學技術學院學報（自然科學版），2014（03）：10-14.