矢量圖分析在電磁場教學中的應用

摘要：電磁場是在電氣專業中重要的基礎課，該課程特點是比較抽象，學好該課程不僅需要扎實的數學基礎，還要具有較強的空間理解能力。學習電磁場的主要難點是如何應用矢量分析來解決電磁場中的基本定理，以及應用矢量方法解決實際問題。矢量圖分析是在矢量代數計算或公式推導過程中充分利用矢量的幾何圖形的直觀性來簡化計算和公式推導，這種分析方法相比單純依靠公式推導來說具有直觀性和可視性。通過矢量圖分析可以使學生加深電磁場基本概念的理解，提高解決電磁場實際問題的能力。

關鍵詞：矢量計算；矢量圖分析；電磁場教學

中圖分類號：G642.1#8195；#8195；#8195；#8195；#8195；文獻標識碼：A#8195；#8195；#8195；#8195；#8195；文章編號：1007-0079（2014）18-0048-03

電磁場課程是高等學校工科電類專業的一門技術基礎課。它所涉及的內容是電類專業學生應具備的知識結構的必要組成部分，同時又是一些交叉領域的學科生長點和新興邊緣學科發展的基礎。[1-4]矢量分析是電磁場的重要的數學工具，電磁場中場的建立及分析、坐標系定義、重要定理的推導都采用了矢量分析的方法。[5]矢量分析就其數學性質而言是比較抽象難以理解的，學生普遍反映沒有理解矢量的計算方法，從而無法靈活應用矢量數學來解決實際問題。[6]

本文介紹在電磁場問題中可通過矢量圖分析來指導學生學習矢量分析，包括矢量代數運算、多變量矢量微積分。這種方法基于矢量圖的幾何直觀性，引導學生利用矢量圖來直觀描述問題，利用問題的特殊性，如對稱性來簡化問題求解，將解題過程從矢量圖形轉換成相應的公式描述。在本文中舉了幾個典型的例子來說明如何將問題轉化成具體的矢量圖進行矢量計算，并與傳統的矢量代數方法進行了對比，幫助學生真正理解定理內容及如何采用矢量解決問題的方法，增強學生對問題的分析，加深對矢量代數運算的理解。

一、電磁場中矢量圖分析

矢量的兩個要素是矢量的大小和矢量的方向，在矢量圖中矢量大小用線段長度來表示，矢量的方向用箭頭來代表，矢量圖分析是側重矢量在空間中的方向。采用矢量圖來解釋對線、面、體的多變量微積分，相比直接用公式來計算多重積分可以清晰、直觀理解沿著線、面、體的積分。例如計算通過高斯球面的通量，這個問題可以轉化為球面坐標系下應用高斯定理做積分運算，對這個問題所構成的矢量圖分析之后，根據通量的定義，通過球面的通量是E與球面的表面積S的乘積，所以通量等于ES=E4πr2，其中r為球面的半徑，4πr2為球面的表面積計算公式，而采用矢量代數法解決高斯積分就要在球面坐標系下建立關于球面的雙重積分，這個雙重積分的包含球面坐標兩個角度坐標參數θ與φ來表示面積微元ds，然后用坐標變換來求解積分。實際上積分計算也可以用矢量圖分析來解釋計算意義，在球面坐標系下曲面微分ds等于在θ軸與φ軸上各取一段弧長，兩段弧長的乘積就等于曲面微元的大小，其中弧長等于半徑與角度的乘積。相似的例子也可以應用在體積分中，例如函數對球體的體積分，經矢量圖分析可將體積微元dv看成是底面為球面S，厚度為dr的球殼，因此dv=Sdr，體積等于底面積乘以高，而球面面積S=4πr2，這樣dv=4πr2dr，對體積的積分轉化成為對參數r的一重積分，而不是原來對體積的三重積分。通過矢量圖分析來簡化矢量代數運算的例子還有很多，可以適用于各種空間方程的推導、計算，如梯度、散度、旋度的方程推導及計算，能使矢量運算直觀，也使得概念的物理意義更加明確。

矢量圖分析應用在電磁場的教學中，可作為解決電磁場中關于體積積分和面積積分的一般性方法，通過矢量圖分析可以用低階微元表示高階微元，如用面積微元來表示體積微元，用線性微元來表示面積微元，這樣對于一個函數在體積V或表面積S的積分時積分公式就變得簡單、容易，比如計算一個不規則幾何形體的電量，在球面坐標系下，電荷的分布密度隨半徑變化而變化，不規則幾何形體的總電量就是函數對不規則形體的體積分，而球面坐標系下體積分微元dv是一個薄球殼，即dv=4πr2dr，計算電量Q只需沿半徑方向做一重積分，相對采用體積微元的三重積分計算上要容易很多。

矢量圖分析能夠側重矢量的物理性質以及矢量與電磁場理論概念的聯系，通過矢量圖分析與電磁場理論內容相結合，會使電磁場理論教學直觀并且物理意義明確，諸如梯度、散度、旋度和拉普拉斯算子的數學定義，同線（環流）面（通量）體積分一樣，起源于物理現象（電磁場），這些概念是電磁場定理的基礎，用矢量圖來解釋會使得這些概念物理意義更直觀。此外，如果矢量代數和矢量微積分都能夠用矢量圖來解釋，不熟悉矢量分析的同學可以通過在電場和磁場的矢量圖分析中得到學習。

二、矢量圖分析應用

1.矢量代數

設帶有等量正電荷Q的三個電荷分別放在等邊三角形的三個頂點上，三角形的邊長為a，計算三個電荷所受到的電場力。根據矢量代數方法，第一步建立直角坐標系，設定x和y軸的坐標，因為是二維平面，z軸為0。電荷在直角坐標系下所對應的向量分別為，和。第二步應用庫倫定律來計算電荷之間所受的電場力，用Fe12電荷1與電荷2之間的電場力：

（1）

代表著從電荷1指向電荷2的矢量。同樣的方法可以寫出其他兩個力的表達式，分別用Fe13和Fe23來表示。第三步利用力的合成計算每個點所受到的靜電力，這里以電荷3所受到的電場力為例，該電荷所受到的電場力是與電荷1和電荷2所受到的電場力的合力，用公式表達為：

（2）

相似的方法可以計算電荷1和電荷2上所受的電荷力。最后，電荷3所受到的靜電力及力的方向與坐標軸的角度可以分別表示為：

（3）

以上是計算靜電力的通用方法，可以應用到更多的等電荷靜電力計算，但這種力的計算方法很抽象，并且沒有反映物理特點，比如說帶電體的相互作用力的大小和方向是決定于帶電體之間的距離和相互位置，沒有反映出一個電荷受到的靜電力是多個力的合成和力的分量之間的平衡，沒有考慮到問題中電荷分布的特殊性，并且在計算過程中如果出現問題也只能通過最終的計算結果來檢驗。

與上述矢量代數運算相比，矢量圖分析首先針對問題畫出相應的矢量圖，從矢量圖分析所求問題，根據矢量圖的幾何特性建立解題思路，再將解題思路對應到公式中。在分析矢量圖時，要優先考慮矢量圖的對稱性，并要注意問題的特殊性。針對上面三個電荷放在三角形頂點的例子，依據矢量圖的對稱性和庫倫定律形式，不用經過計算就可以進行推斷每個電荷所受到的合力Fe1、Fe2和Fe3有同樣的大小，三個力位于電荷點所決定的平面上，如圖1a所示，從庫倫定律中可以得出電荷3所受到的靜電力每個分量形式計算如下：

（4）

這兩個力是獨立的，如圖1b中所示，依據力的合成定理即平行四邊形法則，兩個力矢量之間的角度為，最終電荷所受的靜電力Fe3是任意分量Fe13或Fe23在對稱軸投影的兩倍，因此可以計算出Fe3，結果為：

（5）

2.空間微分矢量操作符

梯度是一個重要的空間矢量操作，它的定義可由標量函數的空間變化來引入，如溫度場T，設在笛卡爾坐標系下點

P1（x，y，z）的溫度為T1（x， y， z），在P1附近的一點的溫度為T2（x+dx， y+dy， z+dz），以P1點為參考點的矢量長度微元dl為：

（6）

P1與P2兩點的溫度差為：

（7）

因為，，，上式可以重新改寫為：

（8）

函數T的梯度函數如（8）式括號中的部分寫成grad T，常用希臘字符-del符號來表示，即T，表達式為：

（9）

將上式轉化到柱面坐標系下，如圖所示2，在柱面坐標系下任意點的坐標為（r，φ，z），通過笛卡爾坐標與柱面坐標的變換公式改寫梯度公式9，笛卡爾坐標與柱面坐標的變換公式為：

（10）

微分運算轉化為：

（11）

因為z軸與x軸方向是互相垂直，因此，再根據公式（10）可以得：

（12）

將式（12）帶入式（11）得：

（13）

將上式帶入式（9）替代x變量，同樣的方法可以得到。

同樣方法采用柱面坐標系和笛卡爾坐標變換公式：

， （14）

可以求出柱面坐標系下梯度表達式為：

（15）

梯度也可以通過靜電場中的電場強度E和電勢V微分關系引入。比如在靜電場中，A點具有電勢為VA，從A點沿著x軸移動到B點，移動的距離dl=dx，兩點的電勢差為：

（16）

兩點之間的電勢差（電壓），等于E從A點到B點的線性積分，這里因為距離非常短，就不需要積分號，即：

（17）

Ex代表E在x方向的分量，等于E在x軸方向的投影，如圖2（b）所示。結合式（16）和式（17）可得：

（18）

相似可以得到和，因此E的完整表達式為：

（19）

上式括號內的部分是電勢V=V（x，y，z）在直角坐標系中的梯度公式。電勢V梯度轉化為柱面坐標系下的表達式時，要注意軸是角度坐標軸，直角坐標系下長度微元dl與柱面坐標系下的相對應，等式關系為。在圖2（a）中，M點的電場矢量在方向的分量可以表示為：

（20）

而不是。r軸和z軸是長度坐標軸，則不需要修改公式，在r軸與z軸的分量分別為和，因此電勢V=V（r，，z）梯度在柱面坐標系下的表達式為：

（21）

推導梯度結果與式（19）推導結果相同。

比較兩種梯度引入方法，顯然后一種引入方法更容易理解，相似的方法可以用于其他空間微分操作的推導，如旋度、散度等。笛卡爾坐標中，公式16～19中，梯度公式是從電場強度和靜電場的電勢之間的積分關系推導出來，即用實際中兩個相距很近的電荷電壓等于電場矢量在兩個電荷連線方向的分量乘以兩個電荷之間的距離，如圖2b所示，梯度表示出E與V之間的微分關系，這樣給出梯度直觀物理意義而不是抽象的物理定義，梯度等于電勢在方向的負增長率，通過矢量幾何方法從笛卡爾坐標過渡到柱面坐標系下也非常自然，在式（21）完整導出。在圖2a中，電勢變化本質上距離由角度的增加所對應的弧度即距離變化而產生。

三、結論

本文詳細介紹了電磁場課程中矢量圖分析方法，同時舉例說明了該方法在分析和解決電磁場問題中的應用，充分利用了矢量圖的幾何直觀性，可以使學生加深電磁場的基本概念的理解，簡化電磁場計算過程。在電磁場教學應用矢量圖分析可有效提高學生學習效率，提高電磁場授課質量。

參考文獻：

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（責任編輯：王意琴）