合作博弈中的夏普利值應用

[摘要]合作博弈亦稱為正和博弈，是指博弈雙方的利益都有所增加，或者至少是一方的利益增加，而另一方的利益不受損害，因而整個社會的利益有所增加。

[關鍵詞]合作博弈；夏普利值

博弈根據是否可以達成具有約束力的協議分為合作博弈和非合作博弈。合作博弈研究人們達成合作時如何分配合作得到的收益，即收益分配問題。合作博弈存在的兩個基本條件是：

（1）對聯盟來說，整體收益大于其每個成員單獨經營時的收益之和。

（2）對聯盟內部而言，應存在具有帕累托改進性質的分配規則，即每個成員都能獲得比不加入聯盟時多一些的收益。

一、提出背景

Shapley在1953年提出了夏普利值（shapley值）這一概念，為如何決策一個在n人討價還價的博弈，也就是合作博弈中，每個人參與的所得分配比例提供了一種很好的方法。Shapley從有效性公理、對稱性公理和可加性公理出發，提出了合作對策的解的概念，并證明了它存在的唯一性，這種解也就是后來人們所稱為的夏普利值。由于夏普利值是建立在幾個公理之上，所以在這里需要先介紹一些定義。在夏普利的設定中，存在著一個包含所有博弈者的宇集U，而每個博弈中的所有博弈者集合N，都是宇集的子集，并稱為一個載形，何謂載形：

定義1 在一個支付可轉移的聯盟型博弈，聯盟N?U稱為一個載形，當且僅當對于任何一個聯盟S?U，都存在著以下的關系：

根據定義1，一個載形包含了所有會對至少一個聯盟作出貢獻的博弈者，也就是說，任何不屬于載形的博弈者都不會對任何聯盟作出貢獻。

定義2 博弈者i和j在博弈中是可互換的，當對于所有包括博弈者i但不包含博弈者j的聯盟S，都存在著以下的關系：

根據定義2，博弈者i和j對于聯盟S的用處和貢獻都是完全一樣的。

根據以上的定義，我們稱n維向量為一個值，這個值包含了n個實數，分別代表著在博弈中的n位博弈者所分得的支付。這個值可以理解為每位博弈者在博弈開始之前對自己所分得的支付的合理期望，而這個值必須滿足以下的三個公理：

公理1 如果集合N是一個載形，那么

此公理又稱為效率公理，要求的是整體理性。

公理2 如果博弈者i和j是可互換的，那么

此公理又稱對稱公理，要求的是博弈者的名稱并不會對影響博弈起任何作用。

公理3 如果和是兩個博弈，那么

此公理又稱集成定律，要求的是任何兩個獨立的博弈聯合在一起，那么所組成的新博弈的值是原來的兩個博弈的值的直接相加。

根據上述的定理和公理，可以得到一個能滿足夏普利公理的函數：

定理1（夏普利定理）函數是唯一能夠滿足以上三個公理的函數，這函數可以表達為：

其中，

則為聯盟S的成員數目，我們稱為夏普利值。

在定理1中，可以理解為博弈者對聯盟S的邊際貢獻，而則是每個聯盟S的加權因子。

二、應用舉例

現有三家工廠，分別為：汽車制造商（1）、汽車分銷商（2）和汽車零售商（3），為了適應現在管理的要求，提升企業的競爭力，三家工廠擬構成供應鏈系統，組建合作聯盟，則局中人的集合為{1，2，3}，根據市場狀況和實際資料顯示，在不同的聯盟情況下的預期收益v如表1所示：

根據夏普利值法，含有制造商（1）的子集有：{1}、{1，2}、{1，3}、{1，2，3}，制造商（1）利潤分配結果如表2所示：

表2 制造商（1）利潤分配表

由此可得，制造商（1）的分配利潤為：

同理可得出后面兩個值，因此，夏普利值為（18，16.5，19.5）

三、結論

通過夏普利值的運用，我們可以看到整體利益和集合中個體的利益都得到了提升，產生了效用的最大化。因此，在平時的經濟生產和合作中，充分應用夏普利來提高生產效益是十分必要的。但是由于它需要假設條件的嚴格性，會使得結果和真實產出有一定的出入，這也是夏普利值在經濟活動中的局限性所在，只有將假設和生產環境及條件充分聯系起來，才能使其發揮最大的作用。