例說RMI原則在高中函數、方程、不等式中的應用

【摘 要】高中階段，已經常常需要大量地利用RMI原則（關系映射反演原則）來解決數學問題。在教學中，特別是在解題方面，應用這個原則，更有利于學生思維素質的培養和解題能力的提升。本文結合2014年高考數學題，具體分析RMI原則在函數、方程、不等式中的應用。

【關鍵詞】RMI原則 函數 方程 不等式

【中圖分類號】G【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2014）09B-0119-04

徐利治先生曾說過：“數學上的RMI原則（即關系映射反演原則，它由關系 （relation）映射（mapping）反演（inversion）構成，簡稱RMI 原則）對數學工作者很是有用。小而言之，可利用該原則解決個別數學問題。大而言之，甚至可以利用該方法原則作出數學上的重要貢獻。”高中階段，要求綜合運用中學階段的各種數學知識，除繼續應用簡單性原理與等價變換原則外，已經常需要大量地利用關系映射反演原則來解決數學問題。關系映射反演原則，是一種分析處理問題的普遍方法或準則，它的基本含義可用框圖表示如下：

即通過“關系——映射——定映——反演”四個步驟便可把所要求的目標原象確定下來，這是一個一般性方法原則，也就是數學上的RMI原則。這一原則與現代高中數學大部分新型問題的技巧性解決極相關聯。在教學中滲透該原則的具體應用，特別是在解題方面的應用，將更有利于學生思維素質的培養和解題能力的提升。

因其函數與方程思想、數形結合思想隸屬于RMI原則的數學思想方法，本文選擇近幾年來高考數學常考題型——函數、方程、不等式，結合今年高考數學題進行闡述，以期對如何運用RMI原則指導解高考題提供些許建議。

一、RMI原則在函數、方程、不等式的應用說明

函數、方程、不等式作為一個有機整體，其中函數是核心，函數作為高中代數內容的主干，其函數思想貫穿于整個高中數學的始終，是對數學內容更高層次的抽象、概括與提煉，從函數各部分內容的內在聯系與整體角度來考慮問題、研究問題和解決問題。而函數思想與方程思想反映了函數、方程、不等式之間的密切聯系，它們之間是可以進行相互轉化的。比如，對于函數 ，當 時，函數 就轉化為方程 ，或亦可將函數 直接看作二元方程 。函數與不等式之間也可相互轉化，對于函數 ，當 時，函數 轉化為不等式 ，此時，可以借助函數圖象與性質解決不等式的有關問題。要掌握函數基本性質、方程實根分布條件、不等式的轉化策略，則要求在研究方程的解時，能夠把方程問題映射到函數中去，然后通過進一步研究函數的性質、圖象得出結論，最后反演到方程問題。同樣地，不等式問題也可以映射到函數或方程上，經過研究得出結論，再反演到不等式原問題中。如此，就將函數、方程、不等式相結合起來了。

以下是筆者結合2014年數學高考試題進行舉例說明。

二、RMI原則在2014年高考題型——函數、方程、不等式中的應用

例1（2014年高考山東數學理科卷第15題）已知函數 。對函數 ，定義 關于 的“對稱函數”為函數 ， 滿足：對任意 ，兩個點 ， 關于點 對稱。若 是 關于 的“對稱函數”，且 恒成立，則實數 的取值范圍是 。

用RMI原則分析如下圖1：

解：函數 可以映射為圓 在 軸上方的半圓，此時再將問題映射為求直線 與半圓 的位置關系，由于 是 關于 的“對稱函數”，且 恒成立，說明函數 的圖象恒在 的圖象上方，所以直線 在半圓 的上方且與圓相離，即滿足 ，故 。

例2（2014年高考江蘇數學理科卷第15題）已知 是定義在R上且周期為3的函數，當 時， 。若函數 在區間[-3，4] 上有10個零點（互不相同），則實數 的取值范圍是 。

用RMI原則分析如下圖2：

解：設，，函數在 上互不相同的10個零點映射為函數上與 的圖象有10個不同的交點，然后在同一坐標系中作出兩個函數在一個周期內的圖象，通過觀察圖象（如下圖3）得出，當 時滿足題意。

例3 （2014年高考浙江數學理科卷第15題）設函數 若 ，則實數 的取值范圍是 。

解：首先，將函數 進行一個等價變形，令 ，則 ，等價于 ①或 ②，解①得 ，解②得 ，∴ . 于是 ，等價于 ③或 ④， 解③得 ，解④得 ，∴ 。

解：首先應將 轉變成，然后再令 ， 時，將 映射為 ， ，再令 ， ，則 ，此時將求 的最小值問題映射為求 的最大值問題，因為 ，顯然在 時， ，所以 的最大值為 ，再反演回 ，則得到 。同理，當 時，， ，此時將求的最大值問題映射為求 的最小值問題，因為 ， 時， ， 單調遞減； 時， ， 單調遞增，則當 時，的最小值為 ，再反演回 ，得到 . 當 時，顯然不等式恒成立，綜上，得 . 故選C。

例5 （2014年高考遼寧數學文科卷第10題）已知 為偶函數，當 時， 則不等式 的解集為（ ）

A. B.

C. D.

用RMI原則分析如下圖6：

解：作出函數 與直線 的圖象如下圖（7）所示，通過觀察圖象，可知，當 ，時，函數 的圖象在直線 下方，此時解得 ，故不等式 的解集為 ，選A。

例6（2014年高考浙江數學文科卷第21題）已知函數 。 若 在[-1，1] 上的最小值記為 。（Ⅰ）求 ；（Ⅱ）證明：當 時，恒有 。

解：（Ⅰ） （求解過程略）

（Ⅱ）用RMI原則分析如下圖8：

令，（1）當時， 。若 ， ，，這說明在 上是增函數，所以 在上的最大值是 ，由于 ，所以 ，即 ；若 ， ， ，則 在 上是減函數，所以 在 上的最大值是 。此時，要求出 的值，則需將 映射成函數，即求出 的最大值。因為，所以 在（0，1）上是增函數，即，故. 故 。（2）當 時， ，故 ， ，此時 在（-1，1）上是減函數，因此 在[-1，1] 上的最大值是 。故 。

綜上，當 時，恒有 .

（上接第121頁）

三、建議

通過對上面例題的分析，我們可以看出在解函數、方程、不等式高考題型中大部分體現的正是RMI原則這種思想方法。要想掌握并應用好這一原則的關鍵在于要有應用RMI原則進行變換、解題的意識和把原問題映射成另一系統中的對應問題的意識。

RMI原則作為中學階段常用的思想方法，在指導解題上有著化生為熟、化繁為簡、化難為易的功能。教師在指導學生解題過程中，可以向學生明確指出這種思想方法，讓學生有所體悟并掌握該思想方法的形成，了解它們之間的內在聯系，并使學生明白在解題時可以尋求一種將“未知、復雜、困難”的問題轉化為“已知、簡單、容易”問題的“映射”，將問題轉化成另一個形式的問題來思考，在解決完以后再將其“反演”回到原來問題中的方法，使學生能站在RMI原則的高度上來認識問題、解決問題，從而減少學生在解決數學問題時的盲目性，提高學生解決數學問題的能力。

【參考文獻】

[1]徐利治.數學方法論選講[M].湖北：華中工學院出版社，1983

[2]張奠宙，過伯祥，方均斌，等.數學方法論稿[M].上海：上海教育出版社，2012

[3]唐松，陳遠生.高中數學教學中RMI原則應用初探[J].林區教學，2007（5）

[4]陳歷敏.淺議RMI原則與數學教學[J].湛江師范學院學報（自然科學版），1994（1）

（責編 盧建龍）