在數學教學中滲透數學思想方法的實踐探究

【摘 要】通過對人教高中數學必修5第一章解三角形中三角形的解的個數的判斷方法的介紹，分析其方法背后所蘊含的數學思想，并把這些教學思想滲透在數學中，使學生掌握數學的精髓，促進學生數學能力的提升和數學思維的發展。

【關鍵詞】高中數學 三角形的解 數學方法

【中圖分類號】G【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2014）07B-0024-02

通常求解三角形會遇到四種類型，其一，已知一邊和兩角，此種情況只需結合正弦定理和三角形的內角和為180度即可求解；其二，已知二邊和夾角，由于滿足余弦定理四個量知其三的特性，可以通過余弦定理來求解；其三，已知三邊，同樣滿足余弦定理四個量知其三的特性，選用余弦定理即可求解；其四，已知三角形兩邊及其中一邊的對角，用正弦定理，同時還要分類討論。前三種情況比較簡單，它們只會出現一解或無解的情況，學生處理起來會比較順暢，而第四種由于會出現無解、一解和兩解的情況，學生處理起來會出現錯解或漏解。而它恰恰又是解三角形中的重點和難點。重點是因為此種三角形的判斷方法中蘊含了多種數學思想；難點是因為其討論過程比較復雜，抽象能力差的學生并不能輕松理解。

一、三角形解的個數判斷方法歸納

（一）教材中的判斷方法

（二）聽課中的判斷方法

在一節公開課上，學生們再次遇到已知兩邊及一邊的對角，要求討論三角形解的問題。上課老師在講完前一種解法的過程后，提出利用余弦定理來求解這一類型的問題。其理論推導過程如下。

在已知a，b及∠A的情況下討論三角形的個數，即討論c的個數，根據余弦定理公式，式子中四個量已知其三，剩余的未知量為c，此時余弦定理可轉化為一個關于c的一元二次方程，即，此時，可以通過對一元二次方程根的個數的判斷來判斷三角形解的個數，即，若，則有兩解；若，則有1解；若，則無解。

（三）文獻中的判斷方法

公開課后，筆者查閱了相關資料，尋求解三角形的另類解法，在一篇名為《利用等價轉化思想判斷三角形解的個數》的文獻中，筆者發現了另一種有趣的解題思路。

可以直接解讀出三角形解的個數，當∠B≤∠A，即0

筆者認為，在已知a，b及∠A的情況下討論三角形解，可以逆向思維，要求三角形有兩解，必然存在同時有意義，此時，根據大角對大邊的原則，；要求三角形有1解，此時 或∠B，即b

二、判斷方法背后蘊含的數學思想

（一）函數與方程的思想

函數與方程的思想，是高中數學思想的重點內容，將題目中的數量關系以函數或方程的方式展現出來，再利用函數的性質、方程的方法來分析和解決問題。

方法二是方程思想使用的典型范例，它通過余弦定理將解三角形的問題轉化成一元二次方程求根的問題，要判斷三角形的個數，只需用根與系數之間的關系判定△的大小，以此來判定三角形解的個數。方法三中利用正弦定理的等式構造出兩個函數，利用三角函數圖象的性質來判定三角形的個數。

（二）數形結合的思想

數形結合思想是數與形相互轉化的一種處理方法，它通常利用數的精確性來解釋形的基本屬性，又或用形的直觀性來解釋數與數之間存在的關系。正如華羅庚所言，數缺形少直觀，形少數難入微。數與形是數學的兩個重要方面，是高中數學解題的重要策略。

方法一和方法三中運用了數形結合的思想，方法一中利用圖形對三角形解的個數進行判斷，將三角形解的可能性轉化成B點在射線上運動的可能性，以圖形的形式展現三角形存在的可能的情況，從而生動形象地呈現了三角形的解的判斷過程，便于學生對此類問題的理解。方法三更是數形結合的典型，將三角形的解轉化為兩個函數交點的問題，借助正弦函數的圖象可以直觀地看出交點個數。

（三）轉化與化歸的思想

轉化與化歸的思想即在解決數學問題的過程中利用問題的等價性，將現有問題轉化為更簡單的問題。利用轉化與化歸思想可以實現陌生與熟悉的轉化，實現復雜與簡單的轉化，實現抽象與直觀的轉化，實現正面與反面的轉化。

方法二與方法三均明顯地展現了轉化與化歸的思想，方法二中將待求三角形的問題轉化成一元二次方程解的個數的問題，利用根與系數關系的知識點，可以輕松判定三角形的解的個數。方法三將正弦定理的等式構造成了兩個函數的形式，根據函數零點的知識，成功地將三角形解的問題轉化成兩個函數圖象交點的問題。

通過上述數學思想的分析，可以知道數學中的思想并不是單一使用的，而是多種思想并存的，因此，教學中應當多方面地去滲透數學思想，使學生更全面地提升自己的能力。

三、課例教學滲透數學思想

例1 已知b=2，c=4，∠B=60°，判斷三角形是否有解？

根據方法二，可知，代入數值，即，，所以三角形無解。

例2 已知在三角形ABC中，a=x，b=2，∠B=45°，當x的取值范圍為多少時三角形會有兩解。

通過對題目的分析，我們發現這道題目中是無法利用正弦定理來求解的，因為方法一要求a已知，而題目中恰恰是要求a的取值范圍。此時我們可以考慮用方法二余弦定理或方法三函數與圖象來解決。

解一 根據余弦定理可知，代入數值后，可將余弦定理變形成一個關于c的一元二次方程，即，要求三角形有兩解，即要求 c 邊有兩解，此時方程有兩不同的實數根，則，解得，結合大角對大邊的原則，當時，，此時只有一解，所以要有兩解需使。

解二 根據方法三，可以畫出如下圖形。

數學思想是解決定數學問題的重要途徑和手段，也是隱含在數學問題中數學本源性的知識。高中數學常用的數學思想包括分類討論、數形結合、函數與方程、化歸與轉化思想等，在求解數學問題時，我們應當先對題目進行分類，將其劃歸到某種數學思想的題型中，利用數學思想就可以相對輕松地解決所求問題。因此，在平時的教學過程中，注重數學思想的歸納與總結，在教學過程中逐步滲透數學思想，來提升學生解決問題的能力。

（責編 盧建龍）