《軸對稱變換在幾何最值中的應用》教學設計

摘 要：利用軸對稱變換求幾何最值的問題歷來是中考的重點和難點，按照情景導入，引出主題；及時練習，鞏固新知；知識遷移，拓展新知；結合生活，應用新知；小結升華，形成結論五個階段設計，使學生切實掌握利用軸對稱變換解決幾何最值問題，同時能培養學生動手實踐、自主探索、合作交流的能力。

關鍵詞：軸對稱變換；幾何最值；教學設計

軸對稱變換是幾何中一種基本變換，如何利用軸對稱變換解決實際問題中的路徑最短問題、軸對稱變換的作圖和性質以及“兩點之間線段最短”是本節課應用的基礎，本節課內容為進一步學習幾何變換在實際問題中的應用提供了方法和經驗。“動手實踐、自主探索與合作交流”是《義務教育數學課程標準》所提倡的學生學習數學的重要方式，畫圖找點解決實際問題中最短路徑問題的探究過程是體現這一理念很好的素材，它對培養學生的探究精神以及動手實踐能力，發展數學應用意識等有重要的作用。

教學片斷一：情境導入，巧妙轉化

例題（中考原題）已知正方形ABCD，P是AC上任一動點，E是AB上一點，要使BP+EP之和最小，請確定點P的位置。

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【課堂場景】

師：同學們，請看一道中考原題，你會做嗎？你認為它難嗎？

（學生乍看到這個問題時，絕大多數一時束手無策，找不到本題的切入口，極少數學生會想到利用軸對稱變換的性質找到點B關于AC的對稱點就是點D，連接ED與AC交于點P，點P為所求。）

師：若去掉圖1中的正方形ABCD，E，B是直線AC同側的兩點，其他條件不變，請確定點P位置。（這時幾乎全班學生都恍然大悟，氣氛一下活躍了很多，打破了一開始的寂靜，大家都記得這是課本上的一道作圖題。）

師：同學們，中考題就是課本上的基礎題綜合了其他知識點改編而來的，圖2是課本上一道原題，請同學們回憶這類問題的規律與做法。

師：此類問題的規律是什么？

生：同側變異側，兩點之間線段最短，折線段變直線段。

師：所用到的知識點？

生：點關于直線作軸對稱變換。

師：所用的數學思想？

生：轉化思想。

師：本節課的主題：軸對稱變換在幾何最值中應用。

【教學反思】

在導課的設計中講究的是“第一錘就敲在學生的心上”，像磁石把學生吸引住。因為本節課是一節復習課，學生已有一定的基礎知識，所以直接用一道中考原題導入，使學生都躍躍欲試，產生求知的欲望，從而引起學習的興趣。

在日常的聽課和觀摩課中，我們發現許多教師精心設計了教案，但講解時卻將課本棄之一邊，不善于將教材中知識延伸、拓寬的內容和方法及時回歸課本，巧妙使用課本。結果是許多學生對課本的使用價值認識不足，認為課本沒有什么看頭，對課本中的概念、方法掌握得模棱兩可，一聽就懂，一看就會，一做就不對，教材的作用退化成做課后作業的習題集。當筆者將圖1去掉正方形后轉化為圖2時，學生忽然眼前一亮，原來這竟是課本上一道簡單的作圖題，讓學生意識到其實中考題也不難，是課本上一些基礎題目的拓寬，從而樹立扎實學好課本基礎知識的意識。

教學片段二：及時練習，鞏固新知

題1（中考原題）已知平行四邊形ABCD，E是AB上一點，P是AC上一動點，確定點P的位置，使得PE+PB之和最小。

題2（中考原題）已知梯形ABCD，AD∥BC，AD=DC=4，BC=8，點N在BC上，CN=2，E是AB的中點，在AC上找一點M，使得EM+MN值最小，此時最小值= 。

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【課堂場景】

師：經過剛才的熱身學習后，已經歸納出本節課的中心內容。這兩道題請同學們獨立完成。（學生認真解題，筆者觀察學生，進行個別輔導，及時給予評價與反饋，并根據學生作答情況適當調整教學進度與方向。等大部分學生做完后，筆者叫兩位學生分別講解解題步驟，然后對學生易錯的地方進行分析。）

師：老師剛才檢查大家做題時，發現部分同學在做第1題時仿照例題連接DE，DE與AC的交點為所求點P，同學們仔細思考錯在什么地方呢？

生：點B關于AC的對稱點不是點D。

師：對，因為平行四邊形是中心對稱圖形，而不是軸對稱圖形，B的對稱點不是點D，通過仔細規范地作圖后，找到點B關于AC的對稱點F，連接FE，FE與AC的交點即為所求點P。

同樣，在做第2題時，部分學生也沒有找對點M關AC的對稱點F。由已知條件AD∥BC，得∠DAC=∠ACB，由AD=DC=4得到∠DCA=∠DAC，從而得到∠DCA=∠ACB，由軸對稱的性質得點N關于AC的對稱點F恰好落在DC上，且F為DC的中點，連接EF與AC交于點M，再利用梯形的中位線的性質就可以解決問題了。

【教學反思】

課內確保有練習對所學知識進行鞏固。有些課堂教學，教師認為自己講解得很清楚，學生理應掌握；有些內容學生當堂課上好像掌握了，時間不久又會迅速遺忘，所授知識在課堂教學中沒有及時訓練，是出現此類情況的關鍵原因。為確保每一個重要的知識點和方法能讓學生牢牢地正確掌握，課堂教學中必須及時訓練、評估、反饋和鞏固，根據反饋情況，有時教師要調整自己的教學進度和安排，確保每一個知識點和方法的教學落到實處，不能指望在后面補習時再去炒冷飯。

本題組中的兩道考題除了要運用軸對稱變換外，第1題還涉及平行四邊形的性質，第2題還涉及梯形的性質，綜合性較強，考查的是學生的綜合運用能力。很多學生一直認為中考問題難度很大，綜合性很強，計算量也大，通過練習，使學生掌握中考題目中知識點的巧妙結合與特有的解題技巧，讓他們明白中考題的雛形都來源于數學課本，并且綜合了平時最基礎的數學知識，使學生不再害怕中考，敢于面對中考，為今后參加中考考試培養自信心。

教學片段三：知識遷移，拓展新知

題3（中考原題）已知平面直角坐標系內點A（5，5），B（2，1），x軸上一動點P（x，0）到點A、B的距離分別為AP、BP，求AP+BP的最小值與點P的坐標。

題4（中考原題）已知平面直角坐標系A（-5，3）B（-3，5）及動點C（0，n），D（m，0）。求當■為何值時，四邊形ABCD的周長最小，并求最小值。

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【課堂場景】

師：同學們，請快速作答題3。（經過前面的訓練，學生很快做出。筆者讓一位學生講解求解過程）

生：過點A（或B）關于x軸作對稱點C（或D），連接BC（或AD）與x軸的交點為P。

師：同學們，第三小題是一個動點在直角坐標系中的應用，那么兩個動點在直角坐標系中的問題你能解決嗎？請看第四小題。（學生看完題目后開始七嘴八舌地討論起來，然后在練習本上嘗試解答。）

師：同學們，一個動點的問題做一次軸對稱變換，類比想一想兩個動點的問題作幾次軸對稱變換呢？（經過筆者的提示，大部分學生有了解題的思路。）

生：將A與B分別關于x軸與y軸作軸對稱，對稱點分別為點E，F，連接EF與坐標軸的交點就是所求點C與點D。

師：請同學們思考為什么這么做四邊形的周長最小？我們一起小結作此類問題的方法。一個動點問題：同側變異側，兩點之間線段最短，折線段變為直線段；兩個動點問題：一點關于兩條直線做軸對稱變換，利用兩點之間線段最短，把折線段轉化為直線段。（大家贊不絕口，感受數學的巧妙與奇特。）

【教學反思】

課堂教學高潮如同“駝峰”，在教學中起著不可忽視的作用。如果缺少課堂教學高潮，教學的重點與難點將難以突破，課堂氣氛也將難以調動。課堂教學高潮是指給學生留下最深刻鮮明的印象并得到學生最富于感情反應的時刻，這時師生雙方的積極性達到最佳配合狀態。教師在設計教學高潮時應找準時機，或設在重點、難點處，或設在疑問叢生處。本例采用類比與對比過渡的形式，由一個動點的問題遷移到兩個動點的問題，自然地引向本節課的高潮。

教學片段四：結合生活，應用新知

題5.兩條河交匯于點O，夾角45°，旅行家住在點P，離點O有200米，他希望到AO上一點C欣賞風光，再折到河岸BO上任一點D處眺望景物，最后回到住地，則旅行家最少走多少米呢？

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【課堂場景】

師：同學們，兩個動點的問題已經探究過了，大家能否用所學知識獨立解決一些生活中的問題呢？（大部分學生很感興趣，專心致志地動手做題了，筆者叫了兩個學生上臺板演。等兩個學生板演結束，筆者一邊分析問題，一邊糾正做題的規范性，并及時給予肯定。）

師：剛才兩位同學已基本掌握了本道題的解法，請大家一起總結下解這道題的關鍵是什么？

生：是點P通過兩次軸對稱變換后把原圖形轉化為等腰直角三角形的性質應用。

【教學反思】

本問題求解的過程中，教師幫助學生充分體會軸對稱變換在解決問題中的轉化作用，學習將實際問題轉化為數學問題的方法，發展應用數學的意識，讓學生真正體驗探究的快樂，從而激發學習數學的興趣。

教學片段五：小結升華，形成結論

【課堂場景】

師：同學們在本節課接近尾聲的時候請回顧本節內容，今后你會解決哪些方面內容？解決此類問題用哪些方法？哪些知識？（學生七嘴八舌，都能說到一部分內容或方法，但都不夠完整。教師適時進行引導性的提問。）

師：所用到的知識點？

生：軸對稱變換。

師：所用到的方法？

生：折線段轉化為直線段——刻畫出數學中的基本圖形。

師：此類問題的規律？

生：同側變異側，兩點之間線段最短，折線段變直線段。

師：所用的數學思想？

生：轉化思想、類比思想。

師：會解決的問題？

生：一個動點、兩個動點所涉及的最值問題。（教師根據學生的回答進行板書總結。）

師：同學們總結得非常好，請同學們繼續思考下面的問題，課后作答。這是一道三個動點求最值的問題，有興趣的同學課后可以思考。

題6.已知銳角三角形ABC中，點D、E、F分別為BC、CA、AB上的動點，試確定三動點的位置，使得三角形DEF的周長最小。

【教學反思】

一堂好的課，課堂教學結構設計十分重要。學生的個體差異是一個客觀存在，為了讓每個學生都能在原有基礎上有所提高，體驗學習的快樂和進步的樂趣，達到全面提高學生素質的目的，最好的方法就是題組式的例題與練習交替設置。不同的學生根據自己的認知特點，選擇相應的層次接收，真正實現人人學必需的數學，不同的人在數學上得到不同的發展。本節課通過題組的形式從一個動點到兩個動點再升華到三個動點，難度從低到高。一個動點最值問題要求所有學生都能靈活運用，兩個動點的最值問題要求多一半學生能理解與掌握，三個動點的最值問題讓極少數學生繼續自主探究，提高學習的興趣，讓數學課堂從課內拓展到課外。

教師在傳授知識的同時，更為重要的是指導學生的學習方法，授之以魚，不如授之以“漁”。因此，在教學過程中重視對學生進行學法指導，就等于抓住了教學的重要環節，讓學生通過教師的學法指導，把知識轉化為技能，促使教學達到“教是為了不教”的境界，從而大大提高教學質量。本節課在講一個動點的最值問題時，引導學生巧妙轉化，建立基本的數學模型，即授之以“漁”，讓學生繼續解決兩個動點和三個動點的最值問題。在整堂課結束之際，及時引導學生總結本堂課的知識點及所運用的數學方法與數學思想。

參考文獻：

[1]張昕，任奕奕.新課程教學設計[M].北京：北京理工大學出版社，2004.

[2]關文信.新課程理念與初中數學課堂教學實施[M].北京：首都師范大學出版社，2008.

（作者單位 杭州北苑實驗中學）

？誗編輯 郭曉云