由概率概念引發的幾點思考

【摘 要】隨著社會的進步，人們認識水平的不斷提高，隨機現象愈來愈多地受到了人們的關注，普通人對概率知識的需求也越來越強烈。掌握概率的基本概念，以確定未來事件發生的可能性，用于預測選舉結果、生意前景、比賽結果、研究結果等，把概率應用于決策過程中。

【關鍵詞】隨機現象 可能性 概率 隨機結果

【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2014）20-0084-02

隨著社會的進步，人們認識水平的不斷提高，隨機現象愈來愈受到人們的關注，普通人對概率知識的需求也越來越強烈。美國在21世紀中學數學教學的基本要求中明確提出：中學生要掌握概率的基本概念，以確定未來事件發生的可能性，用于預測選舉結果、生意前景、比賽結果、研究結果等，把概率應用于決策過程之中。我國近來也已把概率統計初步知識普及到了小學課程中，真正做到了從娃娃抓起。然而，現實中仍有一部分人對概率概念存在模糊認識。概率是什么，怎樣正確理解隨機現象呢？下面談一下筆者的看法，供大家思考。

一 概率的三種定義形式及由此引發的思考

1.概率的統計學定義

由上表得出結論：隨著試驗次數的逐漸增多，正面向上這一事件發生的頻率總在0.5附近擺動，而逐漸地穩定于0.5，數字0.5就稱為拋硬幣試驗正面向上這一事件發生的頻率。這時我們也認為它的概率為0.5。這就是概率的統計定義。從這個定義的過程中我們不難看出：隨機事件的概率不能從試驗中直接得到，無論我們進行多少次試驗，也不可能從試驗本身得到這個精確值0.5。而且，這個值也不是頻率的極限值，而只是我們認為的一個穩定值。大家也許會產生疑問：這個值為什么不取0.49、0.499、0.501、0.5001……呢？結論是：概率不是頻率的近似，也不是頻率的極限，是大量次試驗所得頻率的一個穩定值。我們完全可以通過大量次試驗接近它。歷史上第一個對“當試驗次數逐漸增大，頻率穩定在其概率上”這一論斷給以嚴格的意義和數學證明的是早期概率論史上最著名的學者雅各布貝努利（公元1654年～1705年）。相同條件下一個事件發生的概率是一個常數，而頻率會隨著樣本空間的變化而變化，但隨著樣本的增加，頻率會越來越集中于一個常數，該常數就是概率。所以用頻率估計出來的概率是不準確的，會有誤差。

2.概率的公理化定義

1933年蘇聯數學家AH柯爾莫哥洛夫給出了概率的公理化定義。設E為任一隨機試驗，A是它的一個事件，對事件A賦予一個實數P（A），若P（A）滿足非負性（P（A）≥0）和規范性（P（A）在0和1之間），則稱P（A）為事件A發生的概率。這就是概率的公理化定義。我們可以想象數值P（A）是怎么得出的。我們不會疑惑為什么要賦值、怎樣賦值、為什么不賦其他數值？顯然定義本身并沒有給出明確的答案。

3.概率的古典定義

設某隨機試驗E的樣本空間是由n個（有限）基本事件組成，每次試驗中每個基本事件的發生都是等可能的，若事

件A包含m個基本事件，則事件A發生的概率為 ，這就

是概率的古典定義。普通人容易接受這個概念，而且是最實用的、最原始的。因此，稱為古典概率定義。然而，它也有明顯的局限。試想定義中的等可能是怎么得到的，怎樣保證等可能？基本事件是無限多時怎么辦？

從以上概率的三種定義形式，我們可以得出這樣的結論：概率是隨機現象本身所固有的屬性，是偶然現象之中的必然，是不定事物中的確定結果，是隨機事件結果發生可能性的定量表示，我們可以量化它。但是，用確定值表示不確定情況本身就有缺陷，概率論和其他數學理論一樣，往往尋求最規則、最理想、最簡單的問題解決模式（如古典概型、貝努利概型），它的結論是基于邏輯而不是直觀。如拋硬幣試驗正面向上的概率為0.5，它就是一個理想、規則、合理化的數字，它是由邏輯推出的。這種試驗符合理想狀態，試驗人、試驗器具也完全符合理想規則。總之，嚴格的推理比感官知覺的對象更真實，因為感官的對象是易變的、不完備的，而理想的東西是永恒的。如何定義概率，如何把概率論建立在嚴格的邏輯基礎上，是概率理論發展的困難所在。數學家們對這個問題的探索持續了近三個世紀，17世紀末逐步形成并誕生了概率論。20世紀初完成的勒貝格測度與積分理論及隨后發展的抽象測度與積分理論使概率論更加完善。

二 對現實生活中兩個隨機現象的概率解釋

1.對“某地區明天下雨的概率為0.8”的理解

這句話有以下兩層意思：（1）說明了過去發生的情況。它表明在過去有記錄的若干年中，類似氣象條件下有80%的時候下雨了，這種是已經發生了的，統計結果是準確無誤的。（2）可以推斷明天的情況：明天下雨的可能性大些，但具體是否下雨不確定。我們不能說概率大就發生，甚至，明天下雨的概率為0.99，也不一定下雨。我們要有正確的思想認識，概率是針對大量重復試驗而言的，試驗反映的規律并非在每一次中都反映出來。從這個意義上來看，即使某一事件發生的概率很大，在一次試驗中也不一定發生；同樣某一事件發生的概率非常小，在一次試驗中也可能發生，發生的概率是0.01和0.99在對試驗的結果確定上沒有質的區別。這些思想對我們處理現實問題是有幫助的，我們盡可能地避免做必輸無疑的事情，但也不能忽略細小的安全問題。

2.對購買體育彩票的看法

從上面的計算可知，它們中獎的可能性是相同的，即為十萬分之一，這完全符合隨機現象結果隨機性的理論。不然，數學家就不工作而轉去投注彩票了。一些彩民往往費盡心思尋找數字發生的規律性，甚至有的說應驗了自己總結的規律，猜到了結果，這純屬巧合，從概率本身來講這種規律是不可靠的，下一次發生什么結果是不可預測的，所以說彩票行業無專家。我們必須認清理論的指導性，以平常心看待隨機結果。不中大獎是正常的，中了則是出現了奇跡，是小概率事件發生了。但是，隨著彩民的不斷增多和投入時間的延長，產生大獎是可能的，這就是小概率事件發生的規律性。

參考文獻

[1]龍永紅主編.概率論與數理統計（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2004

[2]盛驟、謝式千、潘承毅編.概率論與數理統計（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2001

〔責任編輯：龐遠燕〕