數學思想方法在“圖形世界”中的滲透

數學學習有兩條線：一條是明線，即數學知識的學習；一條是暗線，即數學思想方法的學習. 而數學思想方法是數學的精髓，是我們形成良好認知結構的紐帶，是知識轉化為能力的橋梁. 數學思想在“走進圖形世界”這章也有所滲透，下面讓我們一起來感受一下.

一、 分類思想

分類是通過比較數學對象本質屬性的相同點和差異點，然后根據某一種屬性將數學對象區分為不同種類的思想方法.

例1 將圖1所示的幾何體進行分類，并說明理由.

【分析】 幾何體的分類不是唯一的，我們首先觀察各個幾何體，努力發現其共同點，然后可根據其共同點進行適當的分類. 若按柱體、錐體、球體分：①③④⑤是柱體；②⑦⑧為錐體；⑥是球體. 若按幾何體表面有無曲面分：①②④⑤⑧都是平面圍成的幾何體；③⑥⑦都是帶曲面的幾何體；若按有沒有頂點分：①②④⑤⑦⑧都是有頂點的幾何體；③⑥是無頂點的幾何體.

【點評】 分類的原則是“不重不漏”. “不重”也就是說同一個幾何體不能隸屬于統一分類標準下并列的兩個種類，“不漏”就是說題中所列舉的所有圖形都要能屬于某個種類.

二、 轉化思想

所謂“轉化”就是將要解決的問題歸結為另一個較易問題或已經解決的問題. 常見的轉化有：未知向已知轉化，復雜問題向簡單問題轉化，空間向平面轉化，多元向一元轉化等，都是轉化思想的體現.

例2 已知O為圓錐的頂點，M為圓錐底面上一點，點P在OM上. 一只蝸牛從P點出發，繞圓錐側面爬行，回到點P時所爬過的最短路線的痕跡如圖2所示. 若沿OM將圓錐側面剪開并展開，所得側面展開圖是（ ）.

【分析】 蝸牛繞圓錐側面爬行的最短路線應該是一條線段，因此選項A和B錯誤；又因為蝸牛從點P出發，繞圓錐側面爬行后，又回到起始點P處，那么如果將選項C、D的圓錐側面展開圖還原成圓錐后，位于母線OM上的點P應該能夠與母線OM′上的點（P′）重合，而選項C還原后兩個點不能夠重合.

【點評】 解決路線最短問題，應轉化為“在同一平面內，兩點之間線段最短”，也就是將原來的曲面或多面體表面展開成一個平面，然后連接需求最短路線的兩點.

三、 數形結合思想

數形結合思想是一種通過數的抽象嚴謹、形的直觀表意之間的相互轉化來研究和解決問題的數學思想.

例3 在一個正方形的紙板內有若干個點（稱為內點），用這些內點和正方形的4個頂點為三角形的頂點，能畫出多少個不重疊的三角形？如圖3中分別畫出了正方形內有一個內點、兩個內點、三個內點的情形.

（1） 根據上圖，完成下表.

（2） 正方形內有100個內點，能畫出多少個不重疊的三角形？

【分析】 （1） 有1個點時，內部分割成4個三角形；有2個點時，內部分割成4+2=6（個）三角形；那么有3個點時，內部分割成4+2×2=8（個）三角形；有4個點時，內部分割成4+2×3=10（個）三角形；有n個點時，內部分割成4+2×（n-1）=（2n+2）（個）三角形；（2） 求出n=100時，2n+2的值即可解答問題.

【點評】 解決此類探究性問題，一方面觀察圖形，根據圖形的形成過程探究規律，另一方面分析已知數據，根據數量特征探究規律，將數與形有效結合起來，尋找它們之間的聯系，從而解決問題.

四、 類比歸納思想

歸納也叫做歸納推理，是從個別或特殊的事物所作的判斷擴大為同類一般事物判斷的一種推理. 類比就是相似，換言之，類比就是類似比較.

例4 18世紀瑞士數學家歐拉證明了簡單多面體中頂點數（V）、面數（F）、棱數（E）之間存在的一個有趣的關系式，被稱為歐拉公式. 請你觀察下列幾種簡單多面體模型，解答下列問題：

（1） 根據上面多面體模型，完成表格中的空格：

（2） 你發現頂點數（V）、面數（F）、棱數（E）之間存在的關系式是______.

（3） 某個玻璃飾品的外形是簡單多面體，它的外表面是由三角形和八邊形兩種多邊形拼接而成，且有24個頂點，每個頂點處都有3條棱，設該多面體外表三角形的個數為x個，八邊形的個數為y個，求x+y的值.

【分析】 第（1）題只要數一數即可；第（2）題利用表格中的數據類比歸納得出E=V+F-2；第（3）題要注意每個頂點引出3條棱，但每條棱都計算了兩次，所以棱數實際只有36條.然后根據前面關系式求出面數即可.

【點評】 在“走進圖形世界”這一章中，用類比歸納的思想去研究圖形中的數量關系的問題有很多，希望同學們能仔細品味，領悟其真諦！

（作者單位：江蘇省常州市武進區湖塘實驗中學）