探究數(shù)學(xué)概念本質(zhì) 提高課堂教學(xué)實(shí)效

數(shù)學(xué)概念是人腦對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的一種反映形式，即一種數(shù)學(xué)的思維形式．概念是數(shù)學(xué)的思維細(xì)胞，是數(shù)學(xué)知識(shí)的核心，是數(shù)學(xué)思想方法的載體．正確地理解和形成一個(gè)數(shù)學(xué)概念，必須明確這個(gè)數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵（即對(duì)象的“質(zhì)”的特征）及其外延（即對(duì)象的“量”的范圍）．

一、概念教學(xué)存在的問(wèn)題

數(shù)學(xué)概念是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，教師如何進(jìn)行概念教學(xué)顯得尤為重要.多年的聽(tīng)課評(píng)課，發(fā)現(xiàn)初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)主要存在以下幾個(gè)問(wèn)題：

１． “一個(gè)定義幾個(gè)注意”

“一個(gè)定義幾個(gè)注意”，這在老教師課堂更加突出，教師想把概念迅速給學(xué)生，也可以說(shuō)一步到位，就從字面上提煉概念中的幾點(diǎn)，提醒學(xué)生注意，接下來(lái)就是抓緊訓(xùn)練．在整個(gè)過(guò)程中教師都只是告訴學(xué)生“什么是”或“什么叫”，這樣的課堂形式依然是教師為主體，學(xué)生僅僅只是接受，學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)的概念沒(méi)有生成過(guò)程，學(xué)生不知道這個(gè)概念是從哪里來(lái)還要到哪里去，學(xué)的是表面，做題也是直接利用概念，題型略有變化學(xué)生就不會(huì)，結(jié)果就是教師一味埋怨學(xué)生，學(xué)生自己也失去信心，這樣的癥結(jié)并不在學(xué)生，而是概念教學(xué)的失敗.如三角函數(shù)一節(jié)課，教師只是告訴學(xué)生在直角三角形中對(duì)邊比斜邊叫這個(gè)角的正弦，鄰邊比斜邊叫這個(gè)角的余弦，對(duì)邊比鄰邊叫這個(gè)角的正切，馬上進(jìn)入練習(xí)．三角函數(shù)是一類(lèi)函數(shù)，是在動(dòng)態(tài)下產(chǎn)生的，而本節(jié)課中并沒(méi)有讓學(xué)生經(jīng)歷三角函數(shù)的生成過(guò)程，教師只是把基本內(nèi)容講述清楚，簡(jiǎn)單的把一節(jié)有血有肉的概念課變成一節(jié)練習(xí)課，學(xué)生的邏輯思維沒(méi)建立起來(lái)，只是變成單純的強(qiáng)化記憶．

２． “掐頭去尾要中間”

一個(gè)數(shù)學(xué)概念的生成需要一個(gè)過(guò)程，概念的產(chǎn)生與發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)起著重要作用．走進(jìn)新課程大部分教師認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)，但卻很難改變傳統(tǒng)的教學(xué)模式，總是怕浪費(fèi)時(shí)間，概念生成的過(guò)程采取“掐頭去尾講中間”．如平面直角坐標(biāo)系的生成不僅僅是生成平面直角坐標(biāo)系的相關(guān)概念內(nèi)容，更要讓學(xué)生了解知識(shí)是從哪里來(lái)的，是誰(shuí)發(fā)現(xiàn)的，概念生成之后都有誰(shuí)進(jìn)行過(guò)使用，它又有怎樣的應(yīng)用，解決過(guò)哪些重要問(wèn)題，這一系列的內(nèi)容都是生成平面直角坐標(biāo)系內(nèi)容的主材．而這主材正是學(xué)生對(duì)平面直角坐標(biāo)系的理解以及后續(xù)應(yīng)用的根本所在，很多老師卻忽略了，盲目地進(jìn)行做題．

３． “只探討不歸納”

大部分教師都在轉(zhuǎn)變觀念，在教學(xué)設(shè)計(jì)過(guò)程中，注重概念的生成，給學(xué)生探究的時(shí)間和空間，讓學(xué)生參與教學(xué)的過(guò)程，經(jīng)歷知識(shí)生成的過(guò)程，也讓我們看到了一個(gè)有生命力的課堂. 但也有一部分教師雖然注重了知識(shí)的生成，也給學(xué)生時(shí)間進(jìn)行探究了，但在探究的過(guò)程中只做到“放”，沒(méi)有及時(shí)“收”，這樣的生成過(guò)程缺少完整性，歸納是學(xué)生對(duì)一類(lèi)問(wèn)題的再認(rèn)識(shí)過(guò)程，也是知識(shí)提煉的過(guò)程，更是知識(shí)升華的過(guò)程．如“一次函數(shù)”一節(jié)課，教材給了很多貼近學(xué)生生活的實(shí)際例子，通過(guò)實(shí)際問(wèn)題，列了很多關(guān)系式，教師不去讓學(xué)生分析這些關(guān)系式的共同特點(diǎn)，而是急于下結(jié)論，告訴學(xué)生這些函數(shù)我們就叫一次函數(shù)，這個(gè)生成的過(guò)程學(xué)生只做了一部分就被教師給扼殺了．

二、概念教學(xué)的實(shí)施策略

認(rèn)識(shí)到了概念教學(xué)的重要性，也了解到目前在概念教學(xué)中存在的問(wèn)題，如何進(jìn)行概念教學(xué)，正是數(shù)學(xué)教師關(guān)注的．個(gè)人有幾點(diǎn)粗淺看法，供大家參考．

１． 借助直觀觀察，生成數(shù)學(xué)概念

生活中的實(shí)物、教具模型或多媒體呈現(xiàn)的圖片等都能幫助我們對(duì)所學(xué)概念進(jìn)行認(rèn)識(shí)和理解，需要經(jīng)過(guò)反復(fù)實(shí)驗(yàn)、反復(fù)觀察才能對(duì)所學(xué)概念有所理解，由表層向里層進(jìn)行深化，借助概念的直觀背景對(duì)抽象的概念進(jìn)行分解，達(dá)到提高教學(xué)的實(shí)效．如“軸對(duì)稱(chēng)圖形”一節(jié)課，學(xué)生對(duì)生活中的軸對(duì)稱(chēng)有一定的了解，但沒(méi)有完全形成什么叫軸對(duì)稱(chēng)圖形，生活中的軸對(duì)稱(chēng)到平面軸對(duì)稱(chēng)圖形的認(rèn)識(shí)還需要一個(gè)過(guò)程，這個(gè)過(guò)程就是從直觀到形成數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識(shí)過(guò)程，究竟這些圖形有什么共同特點(diǎn)學(xué)生沒(méi)有進(jìn)行過(guò)思考，我們只有通過(guò)大量的實(shí)物、圖片進(jìn)行直觀觀察，再歸納它們的共同特點(diǎn)，才完成對(duì)“軸對(duì)稱(chēng)圖形”的認(rèn)識(shí)．這樣生成的概念具體生動(dòng)，印象深刻．借助直觀化生成的數(shù)學(xué)概念要求學(xué)生對(duì)這個(gè)問(wèn)題必須有一定的認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)，只是沒(méi)有真正認(rèn)識(shí)這一類(lèi)事物的共同屬性，借助直觀化就可以使學(xué)生對(duì)這個(gè)知識(shí)進(jìn)行強(qiáng)化，達(dá)到對(duì)概念本質(zhì)的真正理解．

２． 借助對(duì)比方法，生成數(shù)學(xué)概念

有比較才有鑒別，對(duì)同類(lèi)概念進(jìn)行對(duì)比和探究，可以概括要生成概念所具有的共同屬性，突出要定義的概念的特有性質(zhì)，這類(lèi)概念的生成學(xué)生要有一定的知識(shí)儲(chǔ)備基礎(chǔ)，對(duì)于要生成的概念和關(guān)聯(lián)的概念都要有所了解，才能用即將生成的新概念與以前掌握的概念進(jìn)行對(duì)比，有哪些相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，達(dá)到對(duì)新生成概念的理解和認(rèn)識(shí)．如分式這個(gè)概念，我們已經(jīng)掌握了大量的代數(shù)式，在諸多的代數(shù)式中進(jìn)行分類(lèi)，整式是我們已經(jīng)掌握的一個(gè)概念，剩下的式子與整式比較，有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，相同點(diǎn)都是代數(shù)式，不同點(diǎn)是這個(gè)式子分母含有字母，分母含有字母就是分式的屬性，我們把分母含有字母的代數(shù)式就叫分式．這樣形成的概念實(shí)現(xiàn)了新舊知識(shí)的相互對(duì)比，在某種意義上達(dá)到了相互作用，使生成的概念更有實(shí)效性．

３． 借助實(shí)際問(wèn)題，生成數(shù)學(xué)概念

數(shù)學(xué)是來(lái)源于生活又應(yīng)用于生活，很多概念的生成都是在實(shí)際背景中產(chǎn)生的，從大量的實(shí)際例子出發(fā)，找出一類(lèi)事物的共同屬性，也就是這類(lèi)事物的本質(zhì)特征，同時(shí)對(duì)所發(fā)現(xiàn)的屬性進(jìn)行不斷的分析，最后通過(guò)概括歸納形成新的概念．教材中也給我們提供了大量的實(shí)際例子，供教師教學(xué)使用. 如華師版的教材中“變量與函數(shù)”提供了四個(gè)例題，問(wèn)題一是氣溫變化圖，問(wèn)題二是存款問(wèn)題，問(wèn)題三是收音機(jī)頻率問(wèn)題，問(wèn)題四是圓的面積問(wèn)題；人教版的這一節(jié)提供了五個(gè)實(shí)際例子．為我們教學(xué)設(shè)計(jì)搭設(shè)平臺(tái)，為概念生成做了充分的準(zhǔn)備，在大量實(shí)際問(wèn)題中感受兩個(gè)變量的關(guān)系，找出這些實(shí)物的本質(zhì)屬性，生成函數(shù)概念．又如合并同類(lèi)項(xiàng)，買(mǎi)進(jìn)５個(gè)球又買(mǎi)進(jìn)同樣的８?jìng)€(gè)球，一共買(mǎi)進(jìn)多少個(gè)球？學(xué)生都知道是１３個(gè)，列式為：５ ＋ ８ ＝ １３；接著問(wèn)：２米 ＋ ３元 ＝ ？學(xué)生一定回答不能相加，為什么不能相加，學(xué)生只要回答不是一類(lèi)的，就不能相加. 那下面單項(xiàng)式：２ａ２，４ａ，－５ａ２，■ａ２，－３ａ，１２ａ，１．３ａ2，哪些是一類(lèi)的，哪些可以相加，怎樣相加？這個(gè)問(wèn)題的研究過(guò)程就是概念和法則的生成過(guò)程，同時(shí)對(duì)同類(lèi)項(xiàng)的概念也會(huì)探究清楚，知道了一個(gè)道理，同類(lèi)的就可以相加，不是同類(lèi)的就不能相加. 又如分式的另一種形式的引課，教材上的引入是：“做一做：（１）面積為２平方米的長(zhǎng)方形一邊長(zhǎng)ｂ米，則它的另一邊長(zhǎng)為 米；（２）面積為Ｓ平方米的長(zhǎng)方形一邊長(zhǎng)ａ米，則它的另一邊長(zhǎng)為 米；（３）一箱蘋(píng)果售價(jià)ｐ元，總重ｍ千克，箱重ｎ千克，則每千克蘋(píng)果的售價(jià)是 元.”對(duì)以上得到的結(jié)論進(jìn)行分析，它們的共同屬性就是分母中含有字母，我們把具有這樣特點(diǎn)的代數(shù)式就叫分式．以上兩個(gè)例子都是借助實(shí)際問(wèn)題生成數(shù)學(xué)概念，學(xué)生易接受．

４． 借助知識(shí)遷移，生成數(shù)學(xué)概念

數(shù)學(xué)知識(shí)與其他知識(shí)不同，它具有連續(xù)性，很多數(shù)學(xué)概念都是在相應(yīng)的原有概念基礎(chǔ)生成的，新舊知識(shí)是有一定聯(lián)系的，是將舊知識(shí)遷移過(guò)來(lái)再加上新的條件生成新的知識(shí)，但思考問(wèn)題的過(guò)程是相似的．如學(xué)習(xí)了一元一次方程、二元一次方程、二元一次方程組，再學(xué)習(xí)一元二次方程時(shí)就應(yīng)該通過(guò)復(fù)習(xí)舊知識(shí)，猜想一元二次方程是什么形式，同時(shí)還要與前面學(xué)習(xí)的方程進(jìn)行聯(lián)系，將前面學(xué)習(xí)的“元”和“次”在一元二次方程中再次呈現(xiàn)，這種猜想過(guò)程就是概念生成的過(guò)程．又如學(xué)完全等三角形再學(xué)相似三角形時(shí)，要研究相似三角形有怎樣的判定定理，就應(yīng)該先研究相似比是１的三角形有怎樣的判定定理，比方說(shuō)“兩邊及夾角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形全等”可以改為“兩邊相似比為１及夾角相等，兩個(gè)三角形相似”，這就可以再繼續(xù)遷移“兩邊相似比都為ｍ及夾角相等，兩個(gè)三角形就相似”．這是用知識(shí)遷移完成了定理的生成，實(shí)現(xiàn)了兩個(gè)概念或兩個(gè)定理間的聯(lián)系與遷移，形成更牢固的知識(shí)結(jié)構(gòu)．

５． 借助知識(shí)結(jié)構(gòu)，生成數(shù)學(xué)概念

在原有的知識(shí)范圍研究新的問(wèn)題時(shí)，往往原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)不能解決我們需要解決的問(wèn)題，原有概念的內(nèi)涵在新概念的定義過(guò)程中已被揭示一部分，它們之間存在著一部分包含關(guān)系，只要抓住它們的本質(zhì)特征，把新概念和原有概念進(jìn)行對(duì)比聯(lián)系，就可以形成新的概念．比如，引進(jìn)開(kāi)方時(shí)，學(xué)生已知的是通過(guò)邊長(zhǎng)可以求正方形的面積，但是給出正方形面積能不能求邊長(zhǎng)？在現(xiàn)有的知識(shí)領(lǐng)域找不到這樣的數(shù)，才引進(jìn)了開(kāi)方，將知識(shí)領(lǐng)域擴(kuò)大，這種擴(kuò)大是解決問(wèn)題的需要．又比如學(xué)習(xí)了正數(shù)之后，我們遇到了ａ ＋ １ ＝ ０，ａ是什么數(shù)，這個(gè)數(shù)我們以前學(xué)過(guò)的數(shù)中是找不到的，就要引進(jìn)一個(gè)新數(shù)叫負(fù)數(shù)．這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程，是培養(yǎng)學(xué)生思考問(wèn)題的方法，在學(xué)習(xí)過(guò)程中不斷尋求新的知識(shí)產(chǎn)生．

數(shù)學(xué)概念的生成方法雖然不同，但是目標(biāo)是一致的，都是讓學(xué)生通過(guò)自己的學(xué)習(xí)掌握新的知識(shí)、理解新的知識(shí)，真正明白所學(xué)的知識(shí)從哪里來(lái)還要到哪里去，在這個(gè)過(guò)程中也學(xué)會(huì)了思考和研究問(wèn)題．同時(shí)也對(duì)教師在教學(xué)上提出了更高的要求，我們不僅是教學(xué)生，還要體現(xiàn)學(xué)生是怎么學(xué)，要把課堂交還給學(xué)生，因?yàn)橹挥袑W(xué)生才是課堂的主人．