退\\變則蛻變,退\\變則質(zhì)變

含參數(shù)不等式恒成立問題具有較強(qiáng)的抽象性，運(yùn)用了大量的數(shù)學(xué)符號(hào)語言，蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)學(xué)生的抽象思維能力和邏輯思維能力有較強(qiáng)的要求. 含參數(shù)不等式恒成立問題在歷年的高考試題和模擬題中經(jīng)常出現(xiàn)，是考查函數(shù)、方程、不等式等知識(shí)交匯點(diǎn)的好素材. 但在現(xiàn)行的教材中，課本沒有專門的內(nèi)容介紹這一方面的問題，很少有例題或習(xí)題涉及，因此，筆者在上完數(shù)學(xué)必修５不等式之后，以專題的形式向?qū)W生介紹此類問題. 筆者在備課碰到了兩個(gè)問題：（１）學(xué)生目前的知識(shí)體系還不全面，剛學(xué)完必修的內(nèi)容，知識(shí)水平有限，本內(nèi)容所涉及的思想方法又較多，很多方法在此無法展開；（２）筆者所帶的班級(jí)的生源是屬于中等生居多的普通班級(jí)，他們在抽象思維的意識(shí)和能力明顯較低 ，多數(shù)學(xué)生在形式化材料的閱讀理解與運(yùn)用方面存在困難，抽象符號(hào)表示能力較差，思考問題缺乏嚴(yán)密性，理解問題浮于表面，不及本質(zhì). 為此，筆者專門參閱了大量的資料，學(xué)習(xí)他人在此類問題的很多優(yōu)秀的做法，但總覺得大部分涉及的問題面很廣，對(duì)知識(shí)層次要求很高，對(duì)學(xué)生的要求高，這與我們的學(xué)情不太相符.

基于此，筆者在想，根據(jù)學(xué)生的心理需求，調(diào)整自己的教學(xué)思路，是否可以大膽取舍，降低教學(xué)門檻，把此類問題退到最簡單、最原始的問題，以退為進(jìn)，以期取得更好的教學(xué)效果呢？

下面以“含參數(shù)不等式恒成立問題的解題研究”為例，談?wù)劰P者本節(jié)課的一些教學(xué)設(shè)計(jì)和教學(xué)設(shè)想.

本節(jié)課筆者的引入如下：若任意x∈｛15，7，8，4，2，3｝都有m ≤ x，則實(shí)數(shù)m的取值如何？若m ≥ x，情況如何？變式： 任意x∈［-２，３）都有m ≤ x，則實(shí)數(shù)m的取值如何？ 若m ≥ x，情況如何？

課題引入用明確一點(diǎn)的問題啟發(fā)學(xué)生，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容的興趣和求知欲，引起學(xué)生的積極思維，從而自然地引入新課內(nèi)容. 這個(gè)引例對(duì)本節(jié)課起著至關(guān)重要的意義，符合中等生的思維起點(diǎn)，簡潔易懂，循序漸進(jìn)，不會(huì)造成中等生對(duì)此類問題的恐懼心理，增加他們學(xué)習(xí)的信心. 同時(shí)也引入了此類問題的基本類型和解決問題的基本方法. 所以筆者認(rèn)為所謂萬事開頭難，適當(dāng)降低起點(diǎn)，做好開頭，可以讓中等生更加順利地入門.

例1 已知不等式x2 - 2x - a > 0對(duì)任意的實(shí)數(shù)x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

法一：由題意得Δ < 0，即4 + 4a < 0，解得a < -1.

法二：令ｆ（ｘ） ＝ ｘ２ － ２ｘ － ａ，則ｆ（ｘ） ＝ ｘ２ － ２ｘ － ａ ＝ （ｘ － １）２ － １ － ａ.

∵ ｘ∈Ｒ，∴ ｆ（ｘ）ｍｉｎ ＝ ｆ（１） = -1 - a.

由題意得：ｆ（ｘ）min > 0，解得a < -1.

這是以“三個(gè)二次”為背景的恒成立問題，學(xué)生能通過熟悉的問題背景，快速切入問題，找到解決問題的方法，為解決本節(jié)課問題做個(gè)鋪墊，引出解決此類問題的一般方法. 把問題退到學(xué)生最熟悉的地方，用最熟悉的方法游刃有余地解決問題，提高中等生的信心和興趣，觸動(dòng)中等生的思維，使其逐漸活躍起來. 此時(shí)，趁熱打鐵，適時(shí)進(jìn)行問題的變式，讓停留在表面的思維向更深層次發(fā)展，使其認(rèn)識(shí)到問題的本質(zhì)，對(duì)此類問題產(chǎn)生深刻的理解，達(dá)到質(zhì)的飛躍.

變式１ 已知不等式ｘ２ － ２ｘ － ａ ＞ ０對(duì)任意的實(shí)數(shù)ｘ∈［２，３］恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

錯(cuò)解：同例１的法一，得a < -1.

正解：令ｆ（ｘ） ＝ ｘ2 － ２ｘ － ａ，由二次函數(shù)性質(zhì)得，函數(shù)ｆ（ｘ） ＝ ｘ２ － ２ｘ － ａ在［２，３］上單調(diào)遞增，可知ｆ（ｘ）ｍｉｎ ＝ ｆ（２） ＝ －ａ ＞ ０，解得a < 0.

分析 把x的取值范圍進(jìn)行改變，在有限區(qū)間考慮恒成立問題，中等生很容易受例１的影響，直接用例１的法一去求解，錯(cuò)因就在于中等生理解問題的片面性和缺乏思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，知識(shí)遷移的不足；變式１的意圖很明顯，就是讓中等生的錯(cuò)誤思維充分暴露，暴露得徹底，教師不用刻意去引導(dǎo)學(xué)生怎么解決此類問題，讓學(xué)生在錯(cuò)誤的基礎(chǔ)上去理解比較變式１與例１的本質(zhì)差別，即函數(shù)定義域?qū)瘮?shù)的影響，教師再抓住契機(jī)，巧妙利用對(duì)與錯(cuò)的矛盾沖突，進(jìn)入深入的辨析，幫助中等生找到最根本的病源，對(duì)癥下藥，優(yōu)化思維品質(zhì). 從而使中等生更加深入理解此類問題的基本方法，即函數(shù)的最值法. 設(shè)計(jì)的另一個(gè)意圖就是能適時(shí)地引入分離變量法，此題能很快的把變量和參數(shù)分離，從而用函數(shù)的最值來考慮恒成立問題，設(shè)置此情景，讓知識(shí)自然生長出來.

變式２ 已知不等式ｘ２ － ａｘ ＋ １ ＞ ０對(duì)任意的實(shí)數(shù)ｘ∈［１，２］恒成立， 求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

設(shè)計(jì)意圖：本題主要是考慮進(jìn)一步引入函數(shù)最值法和分離變量法，把這兩種方法做個(gè)比較，讓學(xué)生理解能否分離變量，明確何時(shí)分離變量，何時(shí)用最值法.

法一： （函數(shù)最值法）

令ｆ（ｘ） ＝ ｘ2 - ax + 1，二次函數(shù)的對(duì)稱軸為ｘ ＝ ■.

① 當(dāng)■ ＜ １，即ａ ＜ ２時(shí)，函數(shù)ｆ（ｘ） ＝ ｘ２ － ａｘ ＋ １在［１，２］上單調(diào)遞增，ｆ（ｘ）ｍｉｎ ＝ ｆ（１） ＝ ２ － ａ ＞ ０，解得a < 2.

② 當(dāng)1 ≤ ■ < 2，即2 ≤ a < 4時(shí)，ｆ（ｘ）min = f■ = 1 - ■ > 0，解得-2 < a < 2，此時(shí)無解.

③ 當(dāng)■ > 2，即ａ ＞ ４時(shí)，函數(shù)ｆ（ｘ） ＝ ｘ２ － ａｘ ＋ １在［１，２］上單調(diào)遞減，ｆ（ｘ）ｍｉｎ ＝ ｆ（２） ＝ ５ － ２ａ ＞ ０，解得a < ■，此時(shí)無解. 綜上①②③得，a < 2.

法二：（分離變量法）由題意知，問題等價(jià)于ａ ＜ ｘ ＋ ■在［１，２］上恒成立，令ｇ（ｘ） ＝ ｘ ＋ ■，由基本不等式得ｇ（ｘ） ≥ ２，當(dāng)且僅當(dāng)ｘ ＝ １時(shí)，ｇ（ｘ）有最小值２，∴ a < 2.

本節(jié)課只以常見的一元二次不等式為背景，圍繞一個(gè)例題展開兩個(gè)變式，變式的問題互相關(guān)聯(lián)，層層遞進(jìn)，符合中等生的思維特點(diǎn)，循序多變. 雖特殊，但可以覆蓋一般，倘若能夠掌握好本節(jié)課的本質(zhì)問題，以后碰到類似問題或者難題只須懂得等價(jià)轉(zhuǎn)化即可解決；雖原始，卻可以激起學(xué)生最深處的思維活動(dòng)；雖不全，但也不失主題，可以清楚地介紹此類問題的基本類型和常見的解題方法，讓學(xué)生知其然而后知其所培養(yǎng)和提高中等生的抽象思維能力，并非一朝一夕就能立竿見影，需要科學(xué)的方法，和足夠耐心與細(xì)心.

退，是為了更好地進(jìn).