例談有關整數點的解決方法

【摘要】 近幾年的中考試卷中出現了一些有關整數點的問題，此類題目所涉及的知識面較為廣泛，解題方法也較為特殊，值得一線教師的關注.

【關鍵詞】 中考試題；整數點；規律探索；應用研究

縱觀近幾年的全國中考試卷，出現了一些有關整數點或整數解的問題，此類題目涉及方程、不等式、勾股數、平面直角坐標系、三角形、平行四邊形、相似形、圓等知識，它以探究、綜合的方式命題，主要考查學生分類討論的數學思想方法、數形結合方法的應用，這正是培養學生“四基”能力的一個具體體現，解題時要細心觀察、分析、作圖，尋找解題規律，值得廣大的數學教育工作者深入研究.

一、用作圖來探究整數點

例１ （２０１２年北京第１２題）在平面直角坐標系xOy中，我們把橫縱坐標都是整數點的叫作整點．已知點Ａ（０，４），點Ｂ是ｘ正半軸上的整點，記△ＡＯＢ內部（不包括邊界）的整數點個數為ｍ，當m = 3時，點Ｂ的橫坐標的所有可能值是；當點Ｂ的橫坐標為4n（ｎ為正整數）時，m = ．（用含ｎ的代數式表示）

如圖1，當點Ｂ在（３，０）點或（４，０）點時，△ＡＯＢ內部（不包括邊界）的整點有（１，１），（１，２），（２，１），共三個點，所以當ｍ ＝ ３時，點Ｂ的橫坐標的所有可能值是３或４.

第二小問解法：根據題意畫出圖形，根據圖形可得當點Ｂ的橫坐標為８時，ｎ ＝ ２，此時△ＡＯＢ所在的四邊形內部（不包括邊界）每一行的整點個數為４ × ２ ＋ １ － ２，共有３行，所以此時△ＡＯＢ所在的四邊形內部（不包括邊界）的整點個數為（４ × ２ ＋ １ － ２） × ３，因為四邊形內部在ＡＢ上的點是３個，所以此時△ＡＯＢ內部（不包括邊界）的整點個數為ｍ ＝［（４ × ２ ＋ １ － ２） × ３ － ３］ ÷ ２ ＝ ９.

同理，當點Ｂ的橫坐標為１２時，ｎ ＝ ３，△ＡＯＢ內部（不包括邊界）的整點個數為ｍ ＝［（４ × ３ ＋ １ － ２） × ３ － ３］ ÷ ２ ＝ １５.

所以根據以上規律即可得出當點Ｂ的橫坐標為４ｎ（ｎ為正整數）時，ｍ ＝ ［（４ × ｎ ＋ １ － ２） × ３ － ３］ ÷ ２ ＝ ６ｎ － ３.

本題是一道圖形操作型規律探究性問題，考查觀察能力、作圖能力和計算能力，對于此類題目首先應找出哪些部分發生了變化，是按照什么規律變化的. 對于本題而言難點就是 Ｂ點的運動位置及運動特點的分析，然后采用圖形操作及驗證法判斷符合要求的整點個數，學生很容易發現部分整點個數變化規律，但是如何用一個統一的式子表示出變化規律是本題最大的難點.

二、用特殊點來探究整數點

例２ （２０１１年山東東營第１２題）如圖2，直線y = ■x + ■與ｘ軸、ｙ軸分別相交于Ａ，Ｂ兩點，圓心Ｐ的坐標為（１，０），圓Ｐ與ｙ軸相切于點Ｏ． 若將圓Ｐ沿ｘ軸向左移動，當圓Ｐ與該直線相交時，橫坐標為整數的點Ｐ的個數是 （）.

Ａ. ２Ｂ. ３Ｃ. ４Ｄ. ５

根據直線與坐標軸的交點，得出Ａ，Ｂ的坐標，再利用三角形相似得出圓與直線相切時的坐標，進而得出相交時的坐標．∵直線y = ■x + ■與ｘ軸、ｙ軸分別相交于Ａ，Ｂ兩點，圓心Ｐ的坐標為（１，０），∴ Ａ點的坐標為（-３，０），Ｂ點的坐標為（０，■），∴ ＡＢ ＝ ２■. 將圓Ｐ沿ｘ軸向左移動，當圓Ｐ與該直線相切于Ｃ１時，Ｐ１Ｃ１ ＝ １，根據△ＡＰ１Ｃ１∽△ＡＢＯ，∴ ■ ＝ ■ ＝ ■，∴ ＡＰ１ ＝ ２，∴ Ｐ１的坐標為（-１，０）. 將圓Ｐ沿ｘ軸向左移動，當圓Ｐ與該直線相切于Ｃ２時，Ｐ２Ｃ２ ＝ １，根據△ＡＰ２Ｃ２∽△ＡＢＯ，∴ ■ ＝ ■ ＝ ■，∴ ＡＰ２ ＝ ２，Ｐ２的坐標為（-５，０）. 從-１到-５，整數點有-２，-３，-４，故橫坐標為整數的點Ｐ的個數是３個．

此題主要考查了直線與坐標軸的求法，以及相似三角形的判定，題目綜合性較強，注意特殊點的求法是解決問題的關鍵．

三、用數形結合探究整數點

例３ （２００９福州第１５題）已知Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ是反比例函數ｙ ＝ ■（ｘ ＞ ０）圖像上五個整數點（橫、縱坐標均為整數），分別以這些點向橫軸或縱軸作垂線段，由垂線段所在的正方形邊長為半徑作四分之一圓周的兩條弧，組成如圖4所示的五個橄欖形（陰影部分），則這五個橄欖形的面積總和是. （用含π的代數式表示）

解法：由圖易知，五個整數點（橫、縱坐標均為整數）的坐標分別為：Ａ（１，１６），Ｂ（２，８），Ｃ（４，４），Ｄ（８，２），Ｅ（１６，１），所以Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ形成的正方形的邊長分別為１，２，４，２，１，以Ａ點為例，正方形邊長為１，所以：Ａ 橄欖形的面積＝２倍半橄欖形的面積（沿對角線切成２個） ＝ ２ × （■圓的面積 － ■正方形面積） ＝ ２（π × ■ － ■ × １ × １） ＝ ■ － １.

同理得：Ｂ橄欖形的面積為２π － ４，Ｃ橄欖形的面積為８π － １６，Ｄ橄欖形的面積為２π － ４，Ｅ橄欖形的面積為■ － １.

所以總面積為１３π － ２６.

本題考查的是反比例函數和圓的有關計算．首先根據能夠整除１６的正整數，求出圖像上的５個整數點分別為（１，１６），（２，８），（４，４），（８，２），（１６，１），其次利用扇形面積公式求弓形面積，即每個橄欖形面積的一半．當點Ｐ位于點（４，４）時，Ｓ橄欖形 ＝ ２ × （Ｓ扇 － Ｓ等腰直角三角形） ＝ ８π － １６，其余四個計算方法同上．它們的面積從左到右分別為■ － １，２π － ４， ２π － ４，■ － １．所以橄欖形面積總和為１３π － ２６． 本題容易出錯的地方是在不理解什么是整數點的情況下無法求出Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ五點的整數點坐標，這也就是本題的難點所在．

四、 用合情推理來探究整數點

例４ （２０１３年蘇州第２９題）如圖，已知拋物線ｙ ＝ ■ ｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ（ｂ，ｃ是常數，且ｃ ＜ ０）與ｘ軸分別交于點Ａ，Ｂ（點Ａ位于點Ｂ的左側），與ｙ軸的負半軸交于點Ｃ，點Ａ的坐標為（－１，０）．

（１）ｂ ＝，點Ｂ的橫坐標為.

（上述結果均用含ｃ的代數式表示）

（２）連接ＢＣ，過點Ａ作直線ＡＥ∥ＢＣ，與拋物線ｙ ＝ ■ｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ交于點Ｅ． 點Ｄ是ｘ軸上一點，其坐標為（２，０）. 當Ｃ，Ｄ，Ｅ三點在同一直線上時，求拋物線的解析式.

（３）在（２）的條件下，點Ｐ是ｘ軸下方的拋物線上的一動點，連接ＰＢ，ＰＣ，設所得△ＰＢＣ的面積為Ｓ．

① 求Ｓ的取值范圍；

② 若△ＰＢＣ的面積Ｓ為整數，則這樣的△ＰＢＣ共有多少個？

分析 （１）將Ａ（-１，０）代入ｙ ＝ ■ｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ，可以得出ｂ ＝ ■ ＋ ｃ. 根據一元二次方程根與系數的關系，得出-１·ｘＢ ＝ ■，即ｘＢ ＝ -２ｃ.

（２）由ｙ ＝ ■ｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ，求出此拋物線與ｙ軸的交點Ｃ的坐標為（０，ｃ），則可設直線ＢＣ的解析式為ｙ ＝ ｋｘ ＋ ｃ，將Ｂ點坐標代入，運用待定系數法求出直線ＢＣ的解析式為ｙ ＝ ■ｘ ＋ ｃ；由ＡＥ∥ＢＣ，設直線ＡＥ得到解析式為ｙ ＝ ■ｘ ＋ ｍ，將點Ａ的坐標代入，運用待定系數法求出直線ＡＥ的解析式為ｙ ＝ ■ｘ ＋ ■. 解方程組y = ■x2 + ■ + cx + c，y = ■x + ■，求出點Ｅ坐標為（１ - ２ｃ，１ - ｃ），將點Ｅ坐標代入直線ＣＤ的解析式ｙ ＝ -■ｘ ＋ ｃ，求出ｃ ＝ -２，進而得到拋物線的解析式為ｙ ＝ ■ｘ２ - ■ｘ - ２.

（３）① 分兩種情況進行討論：（Ⅰ）當-１ ＜ ｘ ＜ ０時，由０ ＜ Ｓ ＜ Ｓ△ＡＣＢ，易求０ ＜ Ｓ ＜ ５；（Ⅱ）當０ ＜ ｘ ＜ ４時，過點Ｐ作ＰＧ⊥ｘ軸于點Ｇ，交ＣＢ于點Ｆ．設點Ｐ坐標為ｘ，■ｘ２ - ■ｘ - ２，則點Ｆ坐標為ｘ，■ｘ - ２，ＰＦ ＝ ＰＧ - ＧＦ ＝ -■ｘ２ ＋ ２ｘ，Ｓ ＝ ■ＰＦ·ＯＢ ＝ -ｘ２ ＋ ４ｘ ＝ -（ｘ - ２）２ ＋ ４，根據二次函數的性質求出Ｓ最大值 ＝ ４，即０ ＜ Ｓ ≤ ４，則０ ＜ Ｓ ＜ ５.

② 由０ ＜ Ｓ ＜ ５，Ｓ為整數，得出Ｓ ＝ １，２，３，４．分兩種情況進行討論：（Ⅰ）當-１ ＜ ｘ ＜ ０時，根據△ＰＢＣ中ＢＣ邊上的高ｈ小于△ＡＢＣ中ＢＣ邊上的高ＡＣ ＝ ■，得出滿足條件的△ＰＢＣ共有４個；（Ⅱ）當０ ＜ ｘ ＜ ４時，由于Ｓ ＝ -ｘ２ ＋ ４ｘ，根據一元二次方程根的判別式，得出滿足條件的△ＰＢＣ共有７個，則滿足條件的△ＰＢＣ共有４ ＋ ７ ＝ １１（個）．

本題考查了平行四邊形的性質、函數性質的應用，主要考查學生的理解能力和歸納能力．

以上題目都是以幾何、代數為背景的，所有情景融方程、不等式、勾股數、平面直角坐標系、三角形、平行四邊形、相似形、圓、旋轉、作圖、計算等方面的知識，主要考查學生的觀察能力、轉換能力、建模能力及運算能力. 讓學生在實際操作中知道求整點的方法，進一步發展學生綜合運用數學知識分析問題和解決問題的能力，形成數感的意識，融知識性、科學性、趣味性于一體，對激發學生求知熱情，體驗數學的應用價值，培養學生的創新精神非常有益. 從過程來說是考查學生能否善于變形應用，體現了新課標的基本理念，對培養學生的創新能力是行之有效的. 在求整點的教學中，教師要引導學生感受數學、體驗數學，在實踐中學習數學、運用數學，使數學課堂變為學生自主探索、自主發展的天地，使學生感受到數學的樂趣和力量，同時教師還要注重培養學生收集和處理信息的能力，這樣才能在“拓新多變中固本，反思中求源”，達到鞏固和提高的和諧統一.