淺談幾何基本圖形的建模思想

平面幾何是研究圖形性質的一門學科，識圖是學習幾何的基本功，正確地從一般圖形中分解出基本圖形正是這種基本功的體現．一般說來，幾何定理和一些典型例習題給出的圖形屬于基本圖形，識圖的目的實際上就是創造條件實現使一般圖形向基本圖形的轉化．在這個轉化過程中，基本圖形的“模型”功能調控著大腦，并驅使大腦完成圖形的分解與構造，以實現圖形和結論的統一，最終完成轉化．因此，可以想象，幫助學生建立“模型”，利用 “模型”創立“模式”，能極大限度地發揮學生思維定式的優勢，調動學生思維的積極性．同時，也增強了解題的透明度，有利于問題的解決．

在教學實踐中，筆者也深深地體會到加強對基本圖形的全方位透視，教會學生發現和挖掘基本圖形的思想方法，重視并發揮其“模型”的數學功能，對培養學生的能力是十分重要的．現以“平行線分線段成比例定理”的教學為例，談談自己在這方面的一些淺薄之見．

一、從定理中析出基本圖形，建立“模型”，加強對“模型”特點的認識

定理所給出的圖形，稱之為“三線越二線圖”（如圖１），在學習中，要求學生用運動變化的觀點對該圖進行細致剖析，找出對應線段，剔除非本質的東西，最后析出基本圖形.（１）Ｅ型圖（圖ａ）．特點：有公共上底的兩個拼合梯形ＡＣＦＤ，形似大寫“Ｅ” ．（２）Ａ型圖（圖ｂ）．特點：有一公共角的兩個拼合三角形ＡＣＦ，且ＢＥ∥ＣＦ，形似大寫“Ａ”．（３）Ｘ型圖（圖ｃ）．特點：對頂三角形ＡＢＤ和ＣＢＦ，且ＤＡ∥ＦＣ，形似大寫“Ｘ”．三線越二線圖模型要求將這些基本圖形和其結論作為“模型”儲存到大腦之中，為提高學生對圖形的感知覺方面的敏銳性打下良好的基礎．

二、利用基本圖形“模型”作用，培養學生善于在較復雜的圖形中發現、尋找和挑選出三種基本圖形的能力

Ｅ型圖、Ａ型圖和Ｘ型圖，應用十分廣泛，特別是后兩種，無論是三角形內、外角平分線性質定理，還是相似三角形的各種判定定理和性質定理，都以這兩種基本圖形作為模型進行推理．所以，要求學生必須從思想上重視這兩種基本圖形的存在. 還要有—種“模型”與“基本圖形”相互對應的強烈意識感，只有這種意識感，才能產生一種內驅力，完成基本圖形的發現、尋找和挑選工作．

同時，還要讓學生意識到，在實際題目中，往往出現的是某種圖形的變式或多種圖形的組合，所以要善于對較為復雜的圖形學會分解識圖，舍去混淆視線的次要圖形（相對而言），突出基本圖形．

例１ 如圖2，Ｐ是平行四邊形ＡＢＣＤ一邊ＤＣ延長線上一點. 求證：ＡＥ２ ＝ ＥＰ·ＥＦ．

分析 基本圖形被選應從“求證”著眼，看求證所需，等求式ＡＢ２ ＝ ＥＰ·ＥＦ可化為■ = ■. 從題圖中可找到與■，■有關的兩個Ｘ型圖，即△ＡＢＥ∽△ＰＤＥ，△ＡＥＤ∽△ＦＥＢ，到此問題便容易得證. 教學實踐證明，分解法是幫助中差生在識圖的旅途中，拾級而上的得力“拐杖”，而“模型”的定格作用，常能迅速捕捉問題的核心，使得問題迎刃而解.

三、充分利用心理的“完形趨向”，加強作輔助線構造基本圖形方法的指導與訓練，培養學生靈活的構圖能力

格式塔心理學研究表明，當不完全的形呈現于眼前時，視覺中有一種強烈追求完整、和諧、簡潔的傾向，換言之，會激起一股將它“補充”獲得應有的“完整”的沖動力，在這種“心理趨向”的作用下，大腦一旦對基本圖形形成“模型”定格，在解題中，就會形成一種自覺意識，去構造“模型”，讓“模型”自始至終參與思維.

在題圖中，更多的情況是，Ａ型圖和Ｘ型圖呈隱形式，需動員一些手法去尋找、挖掘，使之明朗并顯現出來，這就需要恰當地添置平行線，何為恰當？仍應從“求證”著眼，看求證所需.

例２ 如圖3，ＢＤ ＝ ＣＥ，求證：ＡＣ·ＥＦ ＝ ＡＢ·ＤＦ.

分析 按照“遇等積改等比”的思路，將ＡＣ·ＥＦ ＝ ＡＢ·ＤＦ化為■ = ■，欲求■ = ？聯想Ａ型圖，恢復Ａ型圖的原貌，則可通過Ｅ作ＥＭ∥ＤＢ交ＥＦ于Ｍ，于是出現兩個Ａ型圖，即△ＦＥＦ∽△ＦＤＢ和△ＣＥＭ∽△ＣＡＢ，問題結論已明.

由此可見，重視并發揮基本圖形的數學模型功能，有意識地強化它在解題中的調控作用，對提高學生的幾何綜合分析能力是十分有益的. 因此，我們要把學習幾何的方法很好地教給學生，讓學生獲得學習的主動權.