解題后學會反思

【摘要】 數學思維能力在學生的學習能力中處于核心的地位. 數學思維能力主要是指：會觀察、實驗、比較、猜想、分析、綜合、抽象和概括；會用歸納、演繹和類比進行推理；會合乎邏輯地、準確地闡述自己的思想和觀點；能運用數學概念、思想和方法，辨明數學關系，形成良好的思維品質.

【關鍵詞】 學會反思；數學思維能力；發揮潛能

心理學研究指出，思維是人腦對客觀事物的本質和事物內在規律性關系的概括與間接的反映. 數學思維能力是數學能力的核心，是運用數學知識分析和解決問題能力的前提. 數學思維能力的培養是數學教學的目的所在. 現代數學教學，把培養學生的數學能力提到了應有的高度. 的確，數學教學中傳授知識是一方面，更重要的是發展學生的數學能力，使學生學會用數學的思維去思考、研究和解決問題.

七年級學生思維能力中形象思維能力優于抽象思維能力，為了后續學習的需要，要加強抽象思維能力培養. 學生在數學學習中花費時間較多的就是解題，解題成為培養學生思維能力的重要途徑，解題后的反思更是必不可少的，它會有醍醐灌頂的收獲，因此引導學生學會反思有利于深化學生對數學知識和方法的認識，真正領悟到數學的思想和知識的結構，促進其創造性思維能力的發展，從而充分地發揮學生的智能和潛能.

在新課程改革中，更加注重知識的形成過程，關注學生獲取知識的過程，不斷地培養學生創新能力和實踐能力，而提高學生的思維能力是其核心. 七年級的學生，其形象思維優于抽象思維，并以形象思維為主，立體發散思維較為薄弱，在數學中，要引導學生構筑起一個有序、有效，邏輯嚴密的思維體系，盡快提高學生的數學素養，不斷培養學生的數學能力. 培養學生思維能力的方法很多，解題后學會反思就是其中一種. 何謂“解題反思”？一道數學題經過一番艱辛，苦思冥想解出答案之后，必須認真進行如下探索：命題的意圖是什么？考核我們哪些方面的概念、知識和能力？驗證解題結論是否正確合理，命題所提供的條件的應用是否完備？求解論證過程是否判斷有據，嚴密完善？本題有無其他解法——一題多解？眾多解法中哪一種最簡捷？把本題的解法和結論進—步推廣，能否得到更有益的普遍性結論——舉一反三，多題一解？……如此種種，就是“解題反思”.

下面我從五個方面介紹解題后如何進行反思：

一、反思解題本身是否正確

由于在解題過程中，可能出現這樣或那樣的錯誤，因此解完一道題后，就很有必要審查自己的解題是否混淆了概念，是否忽視了隱含條件，是否特殊代替一般，是否忽視特例，邏輯上是否有問題等等，這樣做是為了保證解題無誤. 教學中教師應有意識選用一些錯解或錯題，使學生真正認識到解題后思考的重要性.

例：某種商品進價８００元，出售時標價１２００元，后來由于該商品積壓，商店準備打折出售，但利潤率要保持５％，則商品打幾折？

解：設打ｘ折出售，根據題意得：

１２００ｘ － ８００ ＝ ８００ × ５％，解得ｘ ＝ ０．７.

解題后引導學生反思，這樣解對嗎？通過學生反思得知，如果將ｘ ＝ ０．７代入原題目中進行背景分析，驗證，其矛盾是明顯的，其錯誤是售價表示有誤.

正確解法：設打ｘ折后出售，現售價為１２００ × ■，方程應列為１２００ × ■ － ８００ ＝ ８００ × ５％，則ｘ ＝ ７.

學生反思至少有以下兩點收獲：① 所設未知數與所列方程中未知數含義要一致. ② 商品打ｘ折出售表示在售價基礎上乘以■，這樣遇到類似的題目不會出錯.

二、反思有無其他解法

對于同一道題，從不同的角度去分析、研究，可能得到不同的啟示，從而引出多種不同的解法，當然我們的目的不是去湊幾種解法，而是通過不同的觀察側面，使我們的思維觸角伸向不同方向、不同層次去發展學生發散思維能力.

七年級下冊“三角形”中，證明三角形內角和定理其思路是把三個內角拼到一起，構成平角，可以把三個角“湊到”頂點處，也可以把三個角湊到一邊上，那么能否把三個角“湊到”三角形的內部和外部呢？

如下圖：

過P點分別作三邊的平行線ST，MN，QR.

在左上圖中，∠Ａ ＝ ∠ＱＳＴ ＝ ∠ＳＰＮ，∠Ｂ ＝ ∠ＳＱＰ ＝∠ＮＰＲ，∠Ｃ ＝ ∠ＮＲＰ ＝ ∠ＳＰＱ.

∵ ∠ＳＰＮ ＋ ∠ＮＰＲ ＋ ∠ＳＰＱ ＝ １８０°，

∴ ∠Ａ ＋ ∠Ｂ ＋ ∠Ｃ ＝ １８０°.

在右上圖中，∠Ａ ＝ ∠ＡＴＳ ＝ ∠ＳＰＮ，∠Ｂ ＝ ∠１ ＝ ∠ＮＰＲ，∠Ｃ ＝ ∠２ ＝ ∠ＳＰＱ．

∵ ∠ＳＰＮ ＋ ∠ＮＰＲ ＋ ∠ＳＰＱ ＝ １８０°，

∴ ∠Ａ ＋ ∠Ｂ ＋ ∠Ｃ ＝ １８０°.

這種思考就是“一題多解”，讓學生從不同角度觀察、分析、思考，進一步體會新舊知識內在聯系使所學知識融會貫通，使學生思維空間更廣闊，也為多邊形內角和的探索埋下伏筆，提供解題思路.

三、反思題目能否變換引申

改變題目的條件，會引出什么新結論，保留題目的條件能否進一步加強，條件作類似變換結論能否擴大到一般，像這樣富有創造性的全方位思考，常常是學生發現新知識、認識新知識的突破口.

例：有一列車身長２００米，速度為７２千米／時的慢車和一列車身長３００米，速度為１０８千米／時的快車在雙軌線上相向而行，若兩車從車頭相遇到車尾離開，需用多長時間？

分析：此題可采用質點分析法，滲透平移理論，把兩車車尾抽象成兩個質點，其運動方向是相向，其距離因車頭相遇可知為兩車身長之和，目的是錯車完成即兩質點相遇，其間兩車運動狀態位置不加考慮，此問題實質為相遇問題.

變題１：若快車追慢車，從快車車頭趕上慢車車尾到快車車尾離開慢車車頭需用多長時間？（把快車車尾、慢車車頭抽象成兩點，此問題是追及問題.）

變題２：若快車上乘客看慢車完全駛過需用多少時間？（把快車乘客抽象成一個點，他相對于慢車是怎樣運動的？）

變題３：若慢車上乘客看快車完全駛過需用多少時間？（把慢車上乘客抽象成一個點，他相對于快車是怎樣運動的？）

通過這種反思，由一題多變，側重訓練了思維的遞進性，由多題一法，側重訓練了學生思維的深刻性，通過多向探索，訓練學生思維的廣闊性，這樣讓學生掌握解法，以達到事半功倍的效果.

四、反思解決問題后的思維方法的遷移

解完一道題目后，不妨讓學生深思一下解題程序，有時突然發現，這種解決問題的思維模式有時體現一種重要數學思想方法，它對于解決一類問題大有幫助.

七年級上冊中涉及線段的和、差、倍、分和角的和、差、倍、分，學生初學時，對這兩個知識點其思路是清晰的，但書寫有時不規范，其實有關這兩個知識點的題在書寫上是大同小異的，其基本框架相同，應引導學生對比著模仿書寫.

例如：已知直線AB，O為其上任意一點，OE，OF分別平分∠AOC，∠BOC ，求∠EOF的度數.

∵ OE，OF分別平分∠AOC，∠BOC，

∴ ∠EOC = ∠■∠AOC，

∠FOC = ■∠BOC .

∴ ∠EOC + ∠FOC =

■∠AOC + ■∠BOC =■ × 180° = 90°.

即∠EOF = 90° .

已知線段AB，C為其上任意一點，AB = 10，點E，F分別平分AC，BC，求EF的長.

∵點E，F分別是AC，BC的中點，

∴ EC = ■AC，FC = ■BC.

∴ EC + FC = ■AC + ■BC = ■ × 10 = 5.

即EF = 5.

這兩題從圖形上觀察，其圖形構造規律是一樣的，只不過涉及具體不同對象，這也暗含著其書寫格式的大同小異. 也必然讓學生聯想到給一道關于角的和、差、倍、分等的例題，根據其圖形形成規律，進行思維遷移，我們同樣能構造一道類似的關于線段和、差、倍、分的例題.

五、反思條件來源及解題背景

七年級學生解題時，有時為了解題而解題，不注重思考條件背后隱含的意義，和與這道題有千絲萬縷聯系的知識點或背景題型，學生往往無從下手，一籌莫展. 教師在教學中要重點解決此類問題，引導學生層層遞進解決問題，提高解題能力. 以七年級相交線學習為例，有道練習題引人深思.

例：三條直線相交于一點有幾組對頂角？六條直線相交于一點有幾組對頂角？ｎ條直線相交于一點有幾組對頂角？

學生拿上此題后就開始數，第一問可以，第二問就數糊涂了，第三問更是目瞪口呆，教師此時要教會學生學會分析，首先，要讓學生明白對頂角怎樣產生的，來自哪里，學生明白一組相交直線產生兩組對頂角，這是一個基本圖形，下面要引導學生三條直線相交于一點能分解出幾組基本圖形，學生明白有三組，總共六組對頂角，那么六條直線相交于一點能分解出幾個基本圖形呢？這實際是一個組合問題，但學生沒有學，代數中以前講過“握手問題”，就是這道題的背景、本質. 那學生就容易解決了，ｎ條直線相交于一點，每條直線要和剩下的直線“握手”，有（ｎ － １）次，有ｎ條直線，就有ｎ（ｎ － １）次，但ａ和ｂ握與ｂ和ａ握，兩次算一次，所以基本圖形有■個，對頂角有ｎ（ｎ － １）個. 總之，解完一道題目后，作為我們教師應積極地引導學生進行反思，這道題給的條件究竟有何深意，如何有效地轉化為解題“利器 ”，在教材中是否能找到原型，它是怎樣將原題的條件移植、變換得來的，從中能找到怎樣的規律，多思之后必有收獲.

長期的教學經驗表明，不少學生在完成作業或進行大量解題訓練的過程中，普遍欠缺一個提高解題能力的重要環節——解題后的反思. 許多同學完成作業后，因學習態度和心理狀態的不同，或者教師缺少必要的指導和訓練，大部分都缺少這一重要環節，未能形成良好的解題習慣. 解題能力和思維品質未能在更深和更高層次得到有效提高和升華，學習數學，也就只能登堂未能入室. 為了提高學生的數學解題能力，應積極倡導和訓練學生進行有效的解題反思.

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