細說初中《有理數》的幾種常用算法

【關鍵詞】《有理數》 初中數學

常用算法

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2014）08A-

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數學作為各個學科中極具挑戰性的一門課程，其教學方式關系著最終的教學效果。在教學過程中，有理數的運算是初中數學學習的一個重點，也是難點，更是學生學好初中數學的一個關鍵點。靈活巧妙地運用有理數運算方法，可以大幅度提高學生的運算速度以及準確度，更有助于學生思維能力的鍛煉。下面，筆者根據多年的教學經驗，對初中數學中有理數運算的幾種常見算法進行詳細的介紹和簡單的分析。

一、倒序相加法

倒序相加法應用于有一定規律的數字求和中，具體表現在前后數字的差值一定，首尾以及距離首尾等距離的數字之和一定，這樣的有理數題型就能夠使用倒序相加法進行解答。例如，計算5+10+15+20+……+1990+1995的和。首先，我們可以明顯地看出題目中的數字的規律性。其次，在進行題目分析時，我們不難發現，5+1995=2000，10+1990=2000……以此類推，首尾項以及距離首尾項等距的數字和都是2000。因此，本題型適用于倒序相加法。具體的解題步驟如下：首先設s1=5+10+15+……+1990+1995，其次將上式采用倒序的方法寫下來，設為s2=1995+1990+……+15+10+5。這樣便可以簡單地將s1與s2的和算出，得出原題目的答案就是s1與s2總和的一半。從中我們不難發現，如果相鄰的項之間存在固定的差值關系，那么就可以運用倒序相加法來解決。

二、錯位相減

為了方便多個有理數求和，還有一種看似增加了加數，實質上卻簡便了算式的錯位相減法。錯位相減法也是解決有理數算式的重要方法。利用錯位相減法解答的有理數題型也有著明顯的特征。例如，計算3+6+12+24+……768+1536的和是多少。在這個題型中，我們可以很輕易地發現其中的數字排布規律，即從第一項以后，每一項都是前一項的2倍，這就是本題的突破口。試想，如果將這道題目中的每一個數字乘以2，那么得到的新的式子只有最后一項和原式第一項不同，我們就可以利用這一個特點來進行有理數的簡便運算。具體的解法如下：令s=3+6+12+24+……768+1536，那么2s=6+12+24+……768+1536+3072，可以利用他們之間的相同項進行消除運算，即2s-s=-3+3072=3069，解得s=3069。從中我們可以看出，如果項與項之間存在固定的倍數關系，就可以運用錯位相減法進行解決。

三、拆項法

在進行有理數運算時用對了方法，就會有一種“山重水復疑無路，柳暗花明又一村”的感覺。拆項法就是這樣一種神奇的方法。它經過簡化可以將相同項進行消除，讓看似復雜繁瑣的計算變得簡潔清晰。拆項法，顧名思義，就是將題目中的項進行拆分，從而達到消除相同項的目的。因此，拆項法又叫做裂項相消法。例如，=1-、=-，利用這種性質，我們可以解決相類似的一系列有理數計算問題。例如，計算1++++……+的和是多少。這個題目就完全滿足拆項法的解答條件。原式根據上述方法進行拆項后可以轉化為1+1-+-+……-=1+1-=。這樣，相同的項就被輕而易舉的消除，原來復雜的項被拆分、簡化，為有理數的計算提供了解答的可能。

四、換元法

換元法就是通過引入一個或幾個新的變量來替換原來的某些變量的解題方法。利用換元法進行解題，能夠簡化分式，簡便運算。例如，計算題：（++++……+）（1+++++……+-（1+++++……+）（++++……+）.通過觀察可以發現，在這個復雜的分式混合運算中有著共同的一部分就是++++……+，為了方便計算，我們可以將這個共同的部分用M代替，那么原式就變成了（M+）（1+M）-（1+M+）M.再進行拆分，就能夠讓原式變成（M+M·M++）-（M+M·M+）.再進行運算就相當簡單了，得出最終結果。

總之，有理數相關題型千變萬化，但是萬變不離其宗，學生在初中時期能夠熟練地掌握有理數的解題技巧，就一定能夠提高解題的速度和質量，提高教學效率。

（責編 林 劍）