經管類高等數學教學中數學思想傳授的重要環節

【摘要】文章分析了經濟管理類專業高等數學課程教學中存在的問題，結合近年來的教學實踐，對經濟管理類專業高等數學教學改革的目標定位進行了探討，并從培養學生學習興趣、鼓勵學生積極主動學習、改進教學方法、加強數學建模教學等方面提出了一些改革的設想和措施.

【關鍵詞】高等數學； 教學； 數學思想；經濟管理專業

引 言

高等數學（微積分、線性代數、概率統計學等）是高等學校經管類學生的重要的基礎課，在課程設置中高等數學一般專指微積分，開設兩個學期，內容包括一元微積分、空間解析幾何、多元微積分、級數、微分方程等，對學生素質、能力的培養起著舉足輕重的作用.恩格斯指出：“在一切理論成就中，未必再有什么像17世紀下半葉微積分的發明那樣被看作人類精神的最高勝利了.”美國著名數學家柯朗指出：“微積分，是人類思維的偉大成果之一，它處于自然科學與人文科學之間的地位，使它成為高等教育的一種特別有效的工具……這門學科乃是一種撼人心靈的智力奮斗的結晶.”

數百年來，在大學所有理工類、經管類專業，高等數學一直被列為重要的理論基礎課.作為一門科學，高等數學有其固有的特點，這就是高度的抽象性、嚴密的邏輯性和廣泛的應用性.抽象性和計算性是數學最基本、最顯著的特點.有了高度抽象和統一，我們才能深入地揭示其本質規律，才能使之得到更廣泛的應用.嚴密的邏輯性是指在數學理論的歸納和整理中，無論是概念和表述，還是判斷和推理，都要運用邏輯的規則，遵循思維的規律.所以說，數學也是一種思想方法，學習數學的過程就是思維訓練的過程.人類社會的進步，與數學這門科學的廣泛應用是分不開的.現代數學正成為科技發展的強大動力，同時也廣泛和深入地滲透到了社會科學領域.因此，經管類學生學好高等數學相當重要.

通過高等數學的學習，不僅能使學生獲得微積分知識的基本思想方法、基本運算技能和應用手段，而且也為學生學習后繼課程及以后的研究和應用提供必要的數學基礎.通過相應的教學環節，逐步培養學生的理性思維、邏輯思維、抽象思維及分析問題和解決問題的能力，使學生能夠綜合運用數學手段和方法分析、解決經濟管理類學科領域內的實際問題.同時，高等數學課程在培養經濟管理類專業學生的綜合素質和創新意識方面也起著十分重要的作用.正因為如此，我們要對經濟管理類專業高等數學的教學進行不斷的探索、實踐和改革.

一、明確課程教學目標

文獻[1，2]對學生學習高等數學的態度調查反映，在學習是否有用方面，大多數同學都認為高等數學有點用處，但認為有很大用處的很少，說明同學們學習這門課程的目的不明確，對其重要性認識不足.

應將任務驅動法應用到高等數學教學中，幫助學生樹立正確的學習目的，從而產生真正的學習動力.任務驅動法強調將實際的問題或任務引入學生的學習活動中，以探索問題來引導和維持學習者的學習興趣和動機.

1.重視高等數學教育的價值

數學是一種工具，也是一種文化，高等數學的教育價值是：不但為學生學習其他學科提供工具，而且為他們講授解決實際問題、與外界交流的數學知識，還要在教學中培養學生的數學素養、理性精神和創新思維.

數學教育追求的目標，從宏觀上來說是讓學生把數學作為實際生活中的財產、工具和交往的媒介，而從微觀上來說是使學生有合格的數學技巧和技能，能將數學思維轉化為日常思維，提高數學素養、思維品質，培養學生的責任心和創新意識，以便他們在生活和工作中面對真實具體的問題時，能夠適當并準確地應用數學.

因此，高數教師在教學中除了重視數學知識的傳授之外，還應重視數學知識之外的其他教育目標的落實，比如：充分利用數學史來展現數學發生發展的過程，讓學生從中感受到理性精神和社會責任感；利用數學概念的形成過程來促成學生對數學思維的體驗，培養學生的思維品質；利用數學結構嚴密的特點來培養學生嚴謹的思維習慣和理性精神；利用數學在生活和技術中的應用來提高學生的實踐能力.

2.注重培養學生的數學能力

數學教學中數學能力與數學思想的培養是至關重要的，數學能力主要包括抽象思維能力、數學語言表達實際問題的能力、推理能力、論證能力等.調查表明，學生數學學習不好的一個很重要原因，就是忽略數學語言的表達.解答數學題目甚至是實際問題中，很多就是用數學語言表達了，問題往往就迎刃而解了，比如七橋問題等.

學習數學除了了解數學作為工具外，很大程度上還有數學的學習是一種思維訓練課程，數學思想思維的培養，有利于解決經濟管理類學科領域內的實際問題，培養經濟管理類專業學生的綜合素質和創新意識方面也起著十分重要的作用.

二、培養學生學習興趣

“成功就是興趣”，針對任何學科的學習成功，興趣是關鍵，這句話在對待高等數學學習中同樣適用.要想提高經濟管理類高等數學教學質量，首要是要提高學生的學習興趣.

數學教育家華羅庚說過：“興趣是最好的老師.”興趣對學習活動極為重要，它是學生掌握知識、發展智力的內在動力.經管類學生來源一般是文理兼收，高等數學教學效果不好的主要原因就是學生興趣不足（尤其文科），教師可以從以下幾個方面入手，以此來激發學生的學習興趣：

1.趣味故事引入概念

利用趣味故事進行教學引入，主要是針對高等數學相關內容，結合數學史知識，在知識講解之前，穿插一些與教學內容相關的歷史故事、趣味事件，其效果是往往能激發學生的好奇心與求知欲，提高學生的學習興趣，引導學生積極思考和主動學習.

在講解等比數列求和公式時，可以引入“印度的舍罕王失算”的故事：“……在棋盤的64個空格上，第一格放一粒麥，以后每格放的粒數是前一格的2倍，64 格放完為止……”結果國王失算了，他不知道這樣放需要的麥粒數竟然是一個具有20 位的大數，相當于全世界許多年生產的全部小麥總和.學生聽后都覺得吃驚，覺得好奇，這是如何計算的？使學生帶著一種迫切的、激動的心情去認真聽課并思考，這樣教學效果當然顯著.

數學本身是枯燥無味的，在教學中一個有趣的故事、一則笑話，都能改變課堂教學氣氛.再比如，學習概率論之前，向學生介紹歷史上有名的“賭金分配問題”：“……在一場賭博中，某一方先勝6 局算贏家，那么，當甲方勝了4 局，乙方勝了3 局的時候，因出現意外，賭局被中斷無法繼續，此時，賭金應該如何分配？多少年后，人們經過計算應按照11 比5 的比例分配，為什么？”這個問題大家都覺得有趣，學生們對眼前展現的數學知識感到驚奇，意識到智慧的力量.

2.注重從實際背景引出概念，幫助學生理解

文科生比較擅長形象思維和發散思維，在講授文科高等數學時，不僅要注重難點的講解，更要注重直觀教學，概念的引入要遵循由具體到抽象、由特殊到一般的原則.比如，在講授分段函數時，就可以引入日常生活中乘坐出租車，利用函數求乘車費用.這種講解方式還能使學生認識到高等數學非常有用，初等數學不能解決的問題而它能夠解決，從而提高學生的學習興趣.

3.在教學中可以結合所講授內容介紹數學家的軼聞趣事

一方面可以提高學生的學習興趣和熱情，活躍課堂氣氛；另一方面也可以激發學生向數學家學習的熱情，培養學生刻苦鉆研、鍥而不舍的意志品質，有助于培養學生實事求是、謙虛謹慎的作風.另外，在教學中使用多媒體技術，可以使板書規范、清晰、生動，表現力強，課堂教學效率高，信息量大.重點利用計算機展示概念的形成、圖形的形成和發展過程，給學生形象、生動的立體感覺，產生直觀印象，有助于學生理解概念.

三、鼓勵學生積極主動學習

要想提高學習興趣，首要是讓學生獲得學習成功的滿足感.這需要廣大數學教師在教學中充分認清經濟管理類學生的學習特點，始終貫徹循序漸進，以學生為本，多方面激發學習興趣，使得他們不但能夠充分學習數學知識，更應學到數學素養.

高等數學具有內容抽象、邏輯嚴謹等特點，有相當一部分文科生包括一些理科生一提到高等數學，就把它和“難”“枯燥無味”“高不可攀”聯系在一起，有一種談虎色變的感覺，對數學學習有一種潛在的畏難情緒.教師應做好以下幾個方面的工作.

1.教學內容、進度、練習適量精簡抓住重點

根據文科學生的實際情況，對現有教材進行再加工，教學內容不要講得太深，教學進度不宜過快，課后作業要遵循少而精的原則，使學生容易掌握.在進行總結時一定要把復雜問題簡單化，不要把簡單問題復雜化，數學理論的研究就是要很輕松地解決實際問題，講授時抓住重點是非常重要的.

2.運用啟發式、討論式的教學方法，培養學生的自學能力

學習并非是一個被動的吸收過程，而是一個主動的建構過程.根據學生和教學內容的實際情況，采用“留思考題→自學→精講→自學”，或教師先指導學生學習，最后由學生講解，教師提問，大家討論的課堂教學形式，讓學生由被動變主動.這樣既可活躍課堂氣氛、提高教學效果，又可以培養學生的自學能力，為學生在今后的工作中繼續學習打下基礎.在教學中，還可以開展一些數學應用講座，讓學生體會“學以致用”的樂趣，成立“數學愛好小組”，讓學生之間形成互幫互學的良好氛圍.總之，要讓學生成為學習的主體，積極參與到整個學習過程中.

引導學生養成好的學習習慣，課前做好預習，上課認真聽講，下課總結復習理解后再進行作業的完成.培養學習能力非常重要，學習實際上很重要的就是學習能力的培養，這將伴隨終生.

3.善于發現學生的閃光點

作為一名教師，應樹立全新的教育觀和人才觀，以寬廣的胸懷接納各類學生，善于發現每一名學生的閃光點，多多表揚學生，讓每一名學生都能體驗到成功的快樂.一般來說，文科生的數學基礎比理科生要差一些，作為教師不應對他們的要求過高.對他們的學習過程中的點滴進步要給予充分的表揚，讓學生感受到成功的愉悅，使學生內心形成只要自己“跳一跳就能摘到桃子”的成功感.一名學生這樣說過：“我今天真的很高興，解決了一道難題，老師夸獎了我，我感覺自己還是很棒的.”利用適當的時機贊揚學生，讓他們體會成功的快樂，是消除自卑、增強信心的好辦法.

教師要做好自己的定位，一方面明白教師是要為學生服務的，傳授知識，為人師表，要做好自己；另一方面，教師對學生也有管理督促的作用，對學生要嚴格要求，要公平、公開、公正.服務、管理要做到以人為本，充分調動學生積極進取.

四、在教學環節中融入數學思想

對于經管類學生，數學除了作為一種重要的工具外，數學教育其重點還應該放在對學生的數學文化修養的塑造上.思維是數學的靈魂，數學離不開思維.人們把數學的學習稱為思維的體操，這就是說數學對培養嚴格的邏輯思維有著非常重要的作用.大多數學生可能將來不會成為數學家，但是條理性、邏輯性作為一種文化素質，不管他們將來從事哪種職業都是非常必要的.

1.數學文化貫穿到“數學思想——數學方法——數學應用”之中

數學作為一種文化現象，早已是人們的常識.歷史地看，古希臘和文藝復興時期的文化名人，往往本身就是數學家，最著名的如柏拉圖和達·芬奇.近代以來，愛因斯坦、希爾伯特、羅素、馮·諾依曼等文化名人也都是20 世紀數學文明的締造者.

研究數學文化，有助于培養學生的創新精神，激發學生潛在的創造力.創新是一個民族進步的靈魂，是國家興旺發達的不竭動力.數學是培養學生創新意識的最好途徑之一.我們應該使數學教學成為再創造、再發現的過程.創新又是數學發展的強大活力，如果沒有創新，數學就會停滯不前.在大學數學中融入數學文化是一種啟發式數學教學，揭示“知識發生過程”的教學最有助于學生理解數學的概念和定理，引導學生解決問題，培養學生的理解力和學習力等，使學生與生俱來的潛在創造力得到最大可能的激發.

把數學文化有關內容融入到教學過程中去，在教學實踐中，教師要從多角度、多層面對學生進行數學文化的滲透，培養他們的數學素養.介紹若干數學典故中的數學文化，比如歷史上的三次數學危機、田忌賽馬與運籌學、格尼斯堡七橋問題、莫比烏斯帶與克萊因瓶、黃金分割、斐波那契數列與優選法及數學美、海岸線的長度問題與分形問題、著名的希爾伯特23 個問題及其解決情況，從菲爾茲獎看當代數學、數學與創新思維等以及古今中外一些數學家的經歷與故事：畢達哥拉斯學派以及第一次數學危機、劉徽的割圓術中的極限思想、牛頓與萊布尼茲與微積分的創立、年輕數學家阿貝爾和伽羅瓦對于高次方程求解的貢獻與他們令人嘆息的人生經歷、女數學家熱爾曼的故事、關于“一個困惑了世間智者358 年的問題——費爾馬猜想”的證明過程及其對人們的啟示、鮮為人知的印度青年數學家阿瑪奴江的曲折經歷與偉大的成果、我國數學家華羅庚與陳景潤等人的數學成就與傳奇故事等.

2.重視知識過程教學，激發學生創新的意識

知識的形成過程，公式、定理等的探索發現過程都蘊含著豐富的數學思想、數學方法、數學觀點，充分暴露知識的發生過程，不僅是知識的形成的必要前提和準備，更重要的是能提高學生發現問題和解決問題的能力，培養創造性思維能力，全面提高學生素質.

例如，高等數學一般在引入曲線的凹向性時，直觀的定義是“如果曲線在任何一點切線的上方，則稱曲線是凹的；如果曲線在任何一點切線的下方，則稱曲線是凸的”.而定理“如在區間（a，b）f″（x）>0（<0）恒成立，則曲線在（a，b）一定是凹（凸）的”.

實際上，我們可以利用拉格朗日定理證明f″（x）>0（<0）時，曲線是在切線的上方（下方）.

設曲線方程為y=f（x），在任何一點x0∈（a，b）處的切線為y=f1（x）.

我們可以利用點（x0，f（x0）），斜率f′（x0）寫出切線方程為

y=f（x0）+f′（x0）（x-x0）.

由拉格朗日定理

f（x）-f1（x）=[f（x）-f（x0）]-f′（x0）（x-x0）

=f′（ξ）（x-x0）-f′（x0）（x-x0）

=[f′（ξ）-f′（x0）]（x-x0）

=f″（η）（ξ-x0）（x-x0）.

上面是兩次使用拉格朗日中值定理，其中ξ位于x和x0之間，η位于ξ和x0之間.

（1）當x>x0時，有ξ>x0，此時

若f″（x）>0，則f（x）-f1（x）>0，曲線在切線上方，為凹的；

若f″（x）<0，則f（x）-f1（x）<0，曲線在切線下方，為凸的.

（2）當x

若f″（x）>0，則f（x）-f1（x）>0，曲線在切線上方，為凹的；

若f″（x）<0，則f（x）-f1（x）<0，曲線在切線下方，為凸的.

因此，如在區間（a，b）f″（x）>0（<0）恒成立，則曲線在（a，b）一定是凹（凸）的.

通過講解或引導學生進行相關研究，不僅可以完善知識體系，也可以加深對曲線凹凸性的理解，對培養學生深入思考和激發創新意識有很大的益處.

數學教科書是經過邏輯加工完成了的數學形式，是一個嚴格的演繹體系，呈現為“概念——公式——定理——范例”組成的純數學系統，看不到概念的形成過程、公式（定理）的發現過程、解題的探索過程，看不到思維過程，只看到完善的結論、順理成章的嚴格證明.至于它們是如何發現的解決問題的方法，是如何構想的，對學生來說有一種神秘感.因此教學中就要精心設計、重新組織教學內容，展現知識的發生過程，暴露知識的背景，為學生創設問題情境，激發學生創新的意識，教給學生發現創造的方法.

3.數學建模的思想、實踐融入教學中，培養學生應用能力

（1）數學建模是應用數學知識解決實際經濟管理問題

經濟管理許多問題的解決需要用到數學建模的知識，數學建模是一種具有創新性的科學方法，它將實際問題簡化、抽象為一個數學問題或數學模型，然后采用恰當的數學方法求解，進而對現實問題進行定量分析和研究，最終達到解決實際問題之目的.在經濟科學數量化的進程中，數學建模為組織和構建新知識提供方法，有力地推進了各門科學的發展.

（2）數學建模思想的融入有助于培養學生的學習興趣、創新思維

數學建模是運用數學思想、方法和知識解決實際問題的過程，是聯系數學與實際問題的橋梁.通過數學建模可以將數學知識合理科學地應用到實踐中，讓學生體會到數學的應用價值.這不僅可以激發學生的學習興趣，提高學習主動性，而且可以培養學生勇于克服困難的頑強毅力、扎實的工作精神，有效地增強了學生應用數學知識的意識和創新思維的能力.

（3）有助于培養學生解決實際問題的能力和數學素養的提高

在課堂教學中，應當不斷加強與經濟管理有關的數學模型的教學內容，如存貯模型、消費者均衡問題、蛛網模型等.通過數學模型在經濟管理領域中的應用實例，讓學生充分了解經濟管理學科與數學的聯系，增強學生的數學應用意識，培養學生運用數學解決實際問題的能力、創新能力、洞察能力及數學語言的表達能力.

五、結 論

高等數學是一門經管類學生的基礎學科，是一種工具，授課時應從簡潔、直觀、結合實際入手，達到既有助于理解教學內容，又可以通過對實際問題的抽象、歸納、思考，用所學的數學知識給予解決.從而使學生體會到數學來源于生活實際，又應用于生活實際之中，以增強學生學好數學的決心，提高他們應用數學思想分析問題、解決問題的能力.

“成功就是興趣”，這句話在對待高等數學學習中同樣適用.要想提高經濟管理類高等數學教學質量，首要是要提高學生的學習興趣，而要想提高學習興趣，首要是讓學生獲得學習成功的滿足感.這需要廣大數學教師在教學中充分認清經濟管理類學生的學習特點，始終貫徹循序漸進，以學生為本，多方面激發學習興趣.同時還要對學生嚴格要求，公平公正公開的嚴把考評關，做好各個教學環節，使得他們不但能夠充分學習數學知識，更應學到數學素養.

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