正態(tài)分布及其擴(kuò)展綜述

【摘要】本文綜述了正態(tài)分布的最新發(fā)展?fàn)顩r，給出了正態(tài)分布的概念和公式，主要論述了正態(tài)分布的各種擴(kuò)展，包括漸近正態(tài)分布、二元正態(tài)分布、離散正態(tài)分布、廣義正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布、多元正態(tài)分布、廣義逆正態(tài)分布、偏正態(tài)分布和截尾正態(tài)分布等，并論述了其最新進(jìn)展和應(yīng)用動(dòng)態(tài).

【關(guān)鍵詞】正態(tài)分布；廣義正態(tài)分布；多維正態(tài)分布；偏正態(tài)分布

一、正態(tài)分布及其應(yīng)用

1.正態(tài)分布定義和性質(zhì)

生產(chǎn)與科學(xué)實(shí)驗(yàn)中很多隨機(jī)變量的概率分布都可以近似地用正態(tài)分布來描述，正態(tài)分布是當(dāng)今應(yīng)用最為廣泛的連續(xù)概率分布.17世紀(jì)，棣莫弗和拉普拉斯最早使用了正態(tài)分布，18世紀(jì)早期德國數(shù)學(xué)家高斯研究了正態(tài)分布的性質(zhì)并應(yīng)用正態(tài)分布分析了天文數(shù)據(jù)，所以在科學(xué)界正態(tài)分布也叫作高斯分布.正態(tài)分布的概率密度函數(shù)為：f（x）=

2.正態(tài)分布的應(yīng)用

由于正態(tài)分布具有很多優(yōu)良性質(zhì)，根據(jù)中心極限定理，諸多數(shù)據(jù)集合可以用它來近似擬合，所以生產(chǎn)與科學(xué)實(shí)驗(yàn)中很多隨機(jī)變量的概率分布都可以近似地用正態(tài)分布來描述.例如，在生產(chǎn)條件不變的情況下，產(chǎn)品的口徑、長度等指標(biāo)，同一種生物體的身長、體重等指標(biāo).一般來說，如果一個(gè)量是由許多微小的獨(dú)立隨機(jī)因素影響的結(jié)果，那么就可以認(rèn)為這個(gè)量具有正態(tài)分布，還有一些常用的概率分布也是由它衍生而來的，例如對數(shù)正態(tài)分布、t分布、F分布等.

二、正態(tài)分布的新發(fā)展

實(shí)際應(yīng)用中由于正態(tài)分布的不易滿足性，故針對不同問題對正態(tài)分布進(jìn)行了擴(kuò)展，在一般正態(tài)分布的基礎(chǔ)上，導(dǎo)出了漸近正態(tài)分布、二元正態(tài)分布、離散正態(tài)分布、廣義正態(tài)分布、廣義逆正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布、多元正態(tài)分布、偏正態(tài)分布和截尾正態(tài)分布等，各擴(kuò)展有不同的特點(diǎn)和應(yīng)用.

1.漸近正態(tài)分布

漸近正態(tài)分布在因子分析中應(yīng)用很廣泛，因子分析主要用在行為和社會(huì)科學(xué)，如隨著年齡的增長，兒童的身高、體重會(huì)隨著變化，因?yàn)橛绊懮砀吲c體重的生長因子相同故有一定的相關(guān)性.漸近正態(tài)分布主要用于弱假設(shè)情況下的最大似然因子分析，通過漸近正態(tài)性可以使因子分析適用于更廣泛數(shù)據(jù)分布的分析.因子分析模型對于p可觀測隨機(jī)向量xα可以表示為：xα=μ+Λfa+ua （α=1，…，N） （7），其中μ是p維向量參數(shù)，Λ是p×k階因子載荷矩陣，fα是非觀測可能包含隨機(jī)誤差的k階向量，uα是一個(gè)非觀測隨機(jī)誤差向量，而且fα和uα互相獨(dú)立.

Anderson和Amemiya分別在1956年和1987年討論了最大似然估計(jì)在弱假設(shè)情況下的性質(zhì)，后者指出對于探索性因子分析，如果uα服從正態(tài)分布，因子載荷和誤差的漸近分布將對fα有更好的適應(yīng)性.對于因子分析模型，Aerson和Rubin在1956年通過最大似然估計(jì)得出漸近正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量上提出一般性結(jié)論，指出用漸近分布來做一般分布的因子和誤差分析的可靠性.隨后在1988年Anderson 和Amemiya對該結(jié)論做了證明，并把模型拓展到Λ是λ的非線性函數(shù)上這種更一般的情況.

2.二元正態(tài)分布

二元正態(tài)分布是多元正態(tài)分布的一個(gè)特例，它的很多性質(zhì)可從多元正態(tài)分布中推出.定義：兩個(gè)連續(xù)的隨機(jī)變量x和y，x～N（μx，σ2x），y～N（μy，σ2y），它們的聯(lián)合概率密度可用下式表示：

它是左截尾的離散正態(tài)分布，同時(shí)像半邊連續(xù)正態(tài)分布一樣也是有確定期望和方差的最大熵分布.Kemp同時(shí)推出半邊正態(tài)分布是qhyperPoissonI分布，說明它和M/M/1 隊(duì)列的關(guān)系，推導(dǎo)了它的期望和圖形的單峰性質(zhì).

4.廣義正態(tài)分布

廣義正態(tài)分布在1972年最早由Miller et.al提出，它是作為一個(gè)非隨機(jī)誤差的模型用于粗差探測模型.它具有對稱的單峰概率密度曲線，很多其他的分布通過它概率密度式參數(shù)的指數(shù)衰減推導(dǎo)而出.由于廣義正態(tài)分布的強(qiáng)適應(yīng)性、穩(wěn)定性，只需一個(gè)參數(shù)就可確定和可逼近大批量數(shù)據(jù)，所以它在各個(gè)領(lǐng)域獲得了廣泛應(yīng)用.

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