從2013年高考數學安徽卷理科20題所想到的

這道題與2012年高考陜西卷理科21題有很高的相似度，函數模型基本相同，所考查的點也基本相同（考查函數零點的存在性和唯一性以及函數零點間大小關系），只是考查的深度有所不同，安徽卷不僅要證明xn的單調性，還要證明零點之間距離的范圍，因此解決的問題更深入；解決問題的方向基本一致，只是解決問題的方法安徽卷更獨特，但不如陜西卷那樣有梯度，更具有“普適性”.

這是一道以能力立意為考試目標的綜合題，所考查的知識在函數、數列、不等式等知識交會處，從命題思想看，本題主要考查函數的導數及其應用、函數零點定理的利用、等比數列的求和以及不等式的放縮等基礎知識和基本能力，考查學生綜合運用知識，分析和解決問題的能力，推理論證和運算求解能力，對學生的視覺、解決問題的方法和學生臨場應變能力都是極大的沖擊.從閱卷教師處了解到的信息是：本題13分平均得分只有0.5分左右，從命題思想、考查目的這一層面上看愿望是好的，但是0.5分左右的平均分足以說明，良好愿望沒有實現.筆者認為原因有兩個，其一是高三學生的數學能力與命題者的期望有較大的差距，其二是中學數學教學、命題者的命題思想與《中學數學課程標準》《高考考試大綱》之間不太和諧，中學數學教學對《中學數學課程標準》和《高考考試大綱》的理解尚不到位，對學生在某些方面能力的要求上處于低層次，導致學生解決此類問題能力不足.說到這里我們作為一線教師沒理由談論本次命題的思想與課程標準、考試大綱的要求是否貼切的問題，我們只能從中學數學教學的角度來分析這種低得分情況出現的原因.

一、當前我們對“不等式”這部分知識的要求有些模糊，我們應當把握好《課程標準》和《考綱》對不等式的要求

傳統的中學數學教學對不等式有著很高的要求，2002年經全國中小學教材審定委員會審定通過的人教版高中數學教材對不等式有這樣的要求：

①要求學生會用差值比較法比較兩個實數的大小；

②能運用不等式性質、定理、推論解決一些簡單問題；

③學會推導并掌握兩個正數的算術平均數不小于它們幾何平均數這個重要定理；

④了解常見不等式證明方法：比較法、綜合法、分析法、反證明等步驟，并掌握用這些方法證明簡單的不等式并能綜合運用各種方法完成不等式的證明.

上述要求多處提到：會用、掌握、運用和綜合運用等各種行為動詞，在這一要求下中學數學教學對不等式這部分內容是“深挖洞、廣積糧”，各種不等式的證明方法一時間是“喧囂塵上”、“層出不窮”，其中“放縮法”和：“構造函數法”教師們很推崇，但也很頭痛，原因是掌握不了其中的規律，技巧性也太強，教學中盡量花費大量的時間但收效甚微，學生對這類問題解決的能力似乎也沒有多大的提高，也許是這些原因，那些年的高考對不等式的證明有弱化的趨勢.2013年實行新課程改革之后，不等式進入選修系列，對不等式要求有所降低，對不等式主要有如下要求：通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法.新課程標準特別給了以下的說明和建議：利用代數恒量變換以及放大、縮小方法是證明不等式的常用方法，例如比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法等，在很多情況下需要一些前人為我們創造的技巧，對于專門從事某些數學領域研究的人們掌握這些技巧極為重要，但是，對大多數學習不等式的人來說，常常很難從這些復雜的代數恒量變換中看到數學的本質……不對恒量變換的難度特例是一些技巧做更多的要求，不希望不等式的數學通過于形式化的和復雜的恒量變換的技巧之中，并特別提出要求教材的編寫者和教師不要選擇那些代數恒量變換比較復雜或過于技巧化的問題或習題，正是在這一思想的指導之下，不等式的教學我們把主要精力放在不等式的性質和基本不等式的介紹、推導及其應用上，把學習重點放在了解不等式深刻的數學意義和背景（特別是幾何背景）上，對用放縮法和構造函數證明不等式的方法是浮光掠影，在技巧上作淡化處理，尤其在放縮技巧上沒有作過多的強調，而2013年高考數學安徽卷理科第20題恰恰與放縮法有直接的關系，學生不得分與放縮法不熟悉、放縮技巧不熟悉有直接的關系，具體來說，要證明綜觀上述解題過程的分析，問題的關鍵還是出在不等式放縮技巧上，那么我們是否應當在這方面做些更深入的工作呢？那“淡化解題技巧、注重通性通法”這一考綱和課程標準的基本要求又怎么去理解和落實呢？淡化解題技巧不是不要解題技巧，尤其是一些常見、必要的解題技巧不僅要而且要落實到位，注重通性通法需要但不能停留.

二、對數學符號的教學不能忽視，我們有義務為學生未來的數學學習打好基礎

2013年高考安徽卷理科第20題得分低還有一個重要的原因，學生對fn（xn）、fn+p（xn+p）這一符號既看不清更弄不懂，導致學生入不了門，更入不了題，其實這樣的符號在日常教學中確定很少見，更談不上在此基礎上的運算了，《普通高中數學課程標準》對此有以下一段論述：形式化是數學的基礎特征之一，在數學教學中，學習形式化的表達是一項基本要求，但是不能只限于形式化的表達要強調對數學本質的認識，這一論述有兩層含義，形式化需要，但不能只停留在形式化表達這一層面上，然而現實情況是形式化表達這一要求我們還沒有達到，這方面不僅意識不強，所做的工作也微乎其微，比如f（x）=-1+x+有關系；又如x1為f（x）的零點，x2是f2（x）的零點，那xn即為fn（x）的零點，xn+p即為fn+p（x）的零點.可惜類似這種從特殊到一般來理解形式化表達的諸多方法，我們平時的教學中講得太少，在高考那樣一種壓力之下，讓學生再去理解形式化表達的實質是不是一種既不合邏輯也不合理的要求.

學生高考成績的好壞是反映日常數學教學成敗的晴雨表，某些知識點、某些模塊、某些方法在平時的教學中我們給予足夠的重視學生自然就能取得理想的成績，一樣的道理，對某些問題平時的教學不夠重視，或者說教師們僅憑個人主觀就認為是考點和非考點，那自然就會出問題，但是我們所能做的就是能緊抓數學課程標準和考試大綱來指導平時的教學.羅僧儒教授在《數學新課程高考考什么，怎么考？》一文中指出“高考命題”特別要降低兩類數學題的難度：（1）降低微積分難度，（2）降低遞推數列的難度.《基礎教學課程》2011年第9期上刊文《2011年高考數學試題“紅黑榜”》中指出：“多年來，主要靠數列遞推關系來選拔優秀學生的做法，實際上是一種偷懶的、不夠負責的做法，其影響也很不好.”這些類似的觀點對我們一線教師來說都很贊同，也能夠理解，對這些觀點我們一線教師要有所了解.中學數學教師與高考命題教師在方向上更不能缺少溝通，因為中學數學教師與高考命題教師有著共同的追求，那就是為了學生的發展.筆者以為高考不僅重視“考”的功能和選拔功能，高考也在為中學數學教學指明方向，或者往大的方向說高考在為如何培養出高素質的人指明方向，我們既要在高考的大潮中經受考驗，更要把握規律，掌握方向，理清思路，讓我們的數學教學與高考能和諧發展.

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（實驗）[M].北京：人民教育出版社，2003.

[2]教育部考試中心.普通高中學校招生全國統一考試大綱（理科，課程標準實驗版）.北京：高等教育出版社，2012.