數學思想方法教學的三個著力點

【摘要】數學思想方法教學的三個著力點：深入研究教材，挖掘教材背后蘊含的數學思想方法；細化教學過程，有意識地落實數學思想方法；突出數學思想方法在解題教學中的指導與統攝.

【關鍵詞】數學思想方法；數學教學；著力點

數學思想方法是指支配學習者如何學習、如何思考、如何解決問題的一套程序.這套程序支配的不是外在的數學符號，而是學生自己的思維過程，因而從心理學角度看，它屬于策略性知識范疇，即數學認知策略.數學思想方法蘊含于數學知識與技能之中，需要結合數學知識與技能的學習來進行教學. 然而中學數學課程內容的編排一般是沿知識的縱方向展開的.大量的數學思想方法只是蘊涵在數學知識的體系之中，并沒有明確的揭示和總結.這就產生了如何在數學課中怎樣進行數學思想方法教學的問題？下面筆者結合自己的教學實踐就數學思想方法教學的三個著力點作一探討.

一、深入研究教材，挖掘教材背后蘊含的數學思想方法

數學思想方法是前人探索數學真理過程的積累，但數學教材并不是這種探索過程的真實記錄，恰恰相反，教材對完美演繹形式的追求往往掩蓋了內在的數學思想方法，因此我們必須深入分析教材，挖掘教材背后蘊含的數學思想方法，使教材發揮更大的學習功能.

例如，絕對值是初一數學中的一個重要概念，在初二數學“二次根式的性質”中得到加深，到高三“復數的模的定義”才算劃上一個句號.可見絕對值概念幾乎貫穿整個中學數學教學的始終.在初中進行絕對值概念教學設計時，教師要理解絕對值概念背后蘊含的核心的數學思想，即分類討論思想和數形結合思想.具體地說，從研究表示一個有理數的點在數軸上的三種可能位置入手，相應地將絕對值的意義分三部分敘述：即正數的絕對值是其本身，負數的絕對值是它的相反數，零的絕對值是零.使學生初步認識數學中研究某個有理數的問題，常把它分為正數、負數和零這三種類型，定義的過程體現了無限集（這里指有理數集）的一種分類方法.以滲透分類討論的數學思想.同時，從數軸上表示一個正數的點在原點右方，表示一個負數的點在原點左方，使學生嘗試到“數”和“形”是相互表示的，滲透數形結合的思想.在初二教學算術平方根的概念的基礎上，引導學生觀察、分析

這樣，對初中階段絕對值概念及其反映的數學思想方法就有了一個完整的認識.于是教師對絕對值概念的教學可以重點地進行如下兩方面的設計：引入絕對值概念時，有意識地滲透數形結合、分類討論的思想方法； 運用絕對值概念解題時，運用分類討論、數形結合等常用的數學思想方法來指導學生的思考，讓學生對絕對值概念及其反映的數學思想方法不斷地得到領悟.

又如，“一元二次方程”這一章，化歸思想是本章的主導思想.一元二次方程化歸為一元一次方程來解，無理方程化歸為有理方程來解，分式方程化歸為整式方程來解，高次方程化歸為一元一次方程或一元二次方程來解，二元二次方程組化歸為一元二次方程或二元一次方程組來解.還有整體思想，根與系數關系的應用就體現了整體思想. 這章還滲透了配方法、消元法、降次法、換元法等數學方法.教師對教材中數學思想方法理解的深度和廣度，直接影響著教學方法的設計，決定著教學的成敗，所以我們必須把研究教材放在第一位，全面把握教材，理解教材背后蘊含的數學思想方法，以制訂出良好的教學策略.

二、細化教學過程，有意識地落實數學思想方法

1.在數學概念、定理的教學中，有意識地落實數學思想方法

數學概念、定理本身就蘊含者數學思想方法，教學時要有意識地落實.所謂有意識地進行數學思想方法教學，就是對數學概念、定理教學的過程進行精心設計，將凝結在數學概念、定理中的數學家的觀察、試驗、歸納、概括、邏輯推理與證明等思維活動打開，并設計一定的載體（如教學情境、教師講解、學生探究和反思、變式訓練等），用以展開這些數學思維活動，從而使數學的思想方法、思維方法及研究方法得以滲透和提煉，充分地向學生展現如何思考的過程，使學生領悟其中的數學思想方法.

例如，在教學“圓周角”一節時，教師有意識地設置下面的問題情境，來滲透數學思想方法.

問題1：請你畫出同一條弧對應的圓心角及圓周角的基本圖形.

設計意圖：訓練學生畫圖能力，滲透分類的思考方法，讓學生通過畫圖（如圖1、圖2、圖3）觀察到：一條弧對應一個圓心角，但一條弧對應著無數個圓周角，培養學生的觀察能力.

問題2：一條弧所對的圓心角與它所對的圓周角有什么大小關系？

設計意圖； 讓學生動手測量、觀察，發現它們之間的關系，并得出猜想：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.培養學生觀察、歸納、猜想的數學思維方法.

問題3：根據圖1，請說一說你的思路：如何證明上面得到的猜想.

問題4，對于圖2、圖3的情況，請你獨立證明.證明后與同伴交流.

設計意圖； 有意識地滲透轉化、類比的數學思想方法.

事實上，中學數學概念、定理在教科書中往往是在抽象意識、化歸意識、分類、一般化思想指導下設計的，教學時，要把這些數學思想方法的精神實質傳遞給學生，讓學生在探索思考的過程中獲得對數學思想方法的體驗和領悟，進而形成運用這些數學思想方法進行思考的意識和習慣.

2.重視歸納總結，落實數學思想方法的概括和提煉

數學思想來源于數學基礎知識與基本方法，又高于數學基礎知識與基本方法，它指導知識與方法的運用，能使知識向更深更高層次發展. 在數學課上，由于能力，心理發展的限制，學生往往只注意了數學知識的學習，而忽視了聯結這些知識的觀點，以及由此產生的解決問題的方法與策略.即使有所覺察，也是處于“朦朦朧朧”，“似有所悟”的境界.所以在反復滲透數學思想方法的同時，要引導學生進行對數學思想方法進行歸納總結.例如，涉及比較大小的問題，可這樣提問：“到今天為止，比較兩個數的大小或兩個代數式的大小，你會那些方法了？”來引導學生進行歸納總結.在課堂小結中，既要讓學生小結數學的基礎知識與技能，又要讓學生小結基礎知識與技能背后蘊含的數學思想方法.例如，“同底數冪的乘法（1）”這節課的小結可這樣設計：今天我們發現、歸納運用了一個新的法則，請同學們思考：

（1）法則的內容是什么？

（2）我們是怎樣發現和歸納這個法則的（從特殊到一般、觀察歸納發現等數學思想方法）？

（3）在運用法則過程中要注意什么？

通過概括和提煉，使學生對數學思想方法的理解由“朦朦朧朧”到逐漸明朗.

3.突出數學思想方法在解題教學中的指導與統攝

1.解題教學，不是搞題型訓練，更不是搞題海戰術，它的正確含義是要通過解題和反思活動，在解題的基礎上總結歸納解題方法，并上升到思想的高度. 學生學習數學思想方法一般來說可分以下三個階段：模仿形式階段；初步應用階段；自覺應用階段.

在模仿階段，教師應及時引導學生進行總結.如學生開始學習用換元法解分式方程時，對換元法的理解是按老師要求：設未知數，換元，解換元后的方程等解題步驟，這些解題步驟教師要引導學生進行總結.此時，學生是把換元法當作解題步驟來記憶，而未能體會出換元思想是數學中常用的思想方法.

在初步應用階段，教師應設計變式訓練，有意識地引導學生運用和反思數學思想方法.讓學生慢慢理解解題過程中所使用的探索方法和策略，并會概括總結出來.如換元法解分式方程，由題目注明要求用換元法解分式方程，到題目沒有注明換元法時，學生能主動地用換元法解方程.這說明學生對數學思想的認識已經比較明朗.能夠初步應用.

隨著學生對數學思想方法有深入的理解與應用，學生能依據題意，恰當運用某種思想方法進行探索，以求得問題的解決.

例如，對于解下列關于x的方程：

=5，解出y后再求x，那么說明學生能主動根據方程特點自覺地運用換元的方法解無理方程，其換元的方法也已上升到了思想的高度.

事實上，學生學習數學思想方法，是不可能一步到位的，應有一個相應的循序漸進，由淺入深和循環反復的過程.

2.充分發揮數學思想方法對發現解題途徑的定向、聯想與轉化功能，突出數學思想方法對解題的統攝與引領作用.

例如，對“簡單的二元二次方程組的教學”，教師在講每一道例題時，要從總體上把握住消元和降次這兩種數學方法，將其確立為解這類題的指導思想，并由此設計教學方法，促使學生明白，什么情況下可以考慮用消元法，如何運用消元的方法（代入、加減），什么情況下可以考慮用降次的方法，如何運用降次的方法（因式分解），這樣，學生在數學思想方法這一層次上，就能比較全面和確切地把握解二元二次方程組的解法.

又如，比較 |a|+|b|與|a+b|的大小.

解這道題要分析數a，b，a+b的符號，如按常規仍將a，b分別劃分為正數、負數和零，那么問題就有九種可能情況，顯然很繁雜，但如果引導學生將a，b的符號分為“同號”、“異號”、“至少一個為零”，那么問題就只有三種可能.由此，滲透分類思想的本質屬性，使學生領悟到分類思想方法的重要作用.

結束語：數學思想方法的形成絕不是一朝一夕可以實現的，必須要日積月累，長期滲透才能逐漸為學生所掌握.學生通過對數學思想方法的反復學習和領悟，對數學思想方法的認識不斷提高，可以逐漸內化為自己的行動方式，這時就可以使他們對自己的學習過程、解決問題的過程以及解題時所采用的數學方法的合理性等進行自覺的、及時的調控.一旦學生的數學思想方法具備了這樣的水平，我們就可以說學生的思考達到了策略水平.

【參考文獻】

邵光華.作為教育任務的數學思想方法[J].上海：上海教育出版社，2009.