加邊三對角矩陣特征值及其應用

【摘要】文章給出了加邊三對角矩陣的若干性質， 利用矩陣的特征多項式， 討論了加邊三對角矩陣特征值和特征向量問題.

【關鍵詞】加邊三對角矩陣；特征值；特征向量

引言

加邊三對角矩陣在圖像處理、隨機過程和數值分析等學科中有廣泛的應用[1]-[3]， 該類矩陣的有關研究一直受到人們的關注[4]， 本文考慮加邊三對角矩陣的特征值問題， 并給出了一個例子.

定義1 n-階對稱矩陣形式如下：

和矩陣D=diag（λ1，λ2，…，λn-1）的特征值嚴格交替的充分必要條件是b2b3…bn≠0.

證明 充分性：因為b2b3…bn≠0，由上述引理知Ρn和D的特征值是嚴格交替的.

必要性：若存在bi=0（2≤i≤n），那么我們可以得到μ=λi為Ρn的特征值，這與上述引理中λj（j=2，…，n）不是Ρn的特征值矛盾，故b2b3…bn≠0.

引理 給定n-1個實數λ1<λ2<…<λn-1和n個實數μ1<μ2<…<μn，可以得到個不同的形如矩陣Ρn∈Rn×n，其特征值為μ1<μ2<…<μn，并且滿足μ1<λ1<μ2<λ2<…<λn-1<μn.

加邊三對角矩陣的特征值：

引理2[6] （Perron定理）設A是一個n階非負不可約矩陣，則ρ（A）為A的單特征值， 并且其相應的特征向量x>0，滿足Ax=ρ（A）x.

定理2 若加邊三對角矩陣Βn的元素bi>0 （i=1，2，…，n-1），μn為其最大特征值，那么存在實向量x，使得Βnx=μnx.

【參考文獻】

[1]Hubert Pickmann， J.E.Extremal inverse eigenvalue problem forbordered diagonal matrices[J].Linear Algebra and its Applications，427， pp.256-27， 2007.

[2]Hubert Pickmann， R.L.S.An inverse eigenvalue problem for symmetrical tridiagonal matrices[J].Computers and Mathematics with Applications， 54， pp.699-708， 2007.

[3]冉瑞生， 黃廷祝.三對角矩陣的逆[J].哈爾濱工業大學學報，38（5）， pp.815-817， 2006.

[4]楊勝良， 馬成業.一種三對角矩陣的特征值及其應用[J].大學數學，25（6）， pp.182-187， 2009.

[5]張錦， 郭文彬， 王慧敏.加邊對角矩陣的逆特征值問題[J].聊城大學學報，21（3）， pp.34-37， 2008.

[6]徐樹方.矩陣計算的理論和方法[M].北京大學出版社，1995.