x2+y2=z2本原解的素數定理

【摘要】尋找不定方程x2+y2=z2本原解個數的計算公式，對解不定方程x2+y2=z2是十分有意義的.在解決這一問題的過程中，又進一步發現了不定方程x2+y2=z2本原解個數的奇偶性與4k+3形式的素數有著十分密切的聯系，得到4k+3形式的素數定理.

【關鍵詞】初等數論；不定方程；本原解；素數

二次不定方程：x2+y2=z2 （1-1）

y為偶數的全體本原解由以下公式給出：

x=a2-b2，y=2ab，z=a2+b2 （1-2）

其中a，b滿足條件：a>b>0，（a，b）=1，2不整除（a+b） （1-3）

（1-1）式本原解的個數隨a值的變化而變化，它有以下幾個重要結論.

引理 設φ（n）為正整數集上的歐拉函數，那么

（1）當n為偶數時，1，2，3，…，n-1中與n互素的奇數的個數等于φ（n）；

（2）當n為奇數時，1，2，3，…，n-1中與n互素的偶數的個數等于

問題探究：

1.費馬（1640年）給出了4k+1形式的素數都可以表示為兩個整數的平方和（二平方定理），1747年被歐拉證明；而4k+3形式的素數也一樣存在完美的素數定理，即本原解的素數定理.這兩個定理之間有什么本質的聯系？

2.不定方程mx2+ny2=kz2，其中m，n，k是整數，求它的本原解表示和本原解個數計算公式.m，n，k是否可以擴展到有理數？

【參考文獻】

潘承洞.初等數論.北京大學出版社，2003.